☉江苏省无锡市滨湖区教研中心 王华民

通过创设情境与问题跟进、改进课堂

☉江苏省无锡市立人高级中学 阮必胜

☉江苏省无锡市滨湖区教研中心 王华民

顾泠沅先生在世界课堂研究学会（2007，香港）作了“课堂改进是关键”的主题演讲，指出“基于课堂教学改进的教师在职学习，正是中国教师专业化发展的一个重要方面”.笔者觉得，对于进入后课改时代的今天，改革的重心不在教学理念，而在“课堂改进”.改进是改变旧有情况，舍弃一些不合理的元素，吸收一些被实践证明有效的经验，使其有所进步.在数学新授课教学中，其一，创设情境是课堂导入的基本而重要的环节，这一点数学教育工作者已达成共识；其二，情境创设后，提出怎样的问题？如何进行探索？更需要我们深入研讨.以下通过一个概念教学的案例，谈谈我们对创设情境及问题跟进的一些认识.

一、教学案例：必修1“函数单调性”

函数的单调性是函数的重要性质，其中增、减函数的概念是用形式化定义的，较为抽象，构成学生理解的一个难点.

［课本情境再现］

第2.1.1节开头的第三个问题中，气温θ关于时间t的函数，记为θ=f（t）.观察这个气温变化图（如图1），说出气温在哪段时间内是逐渐升高的或下降的.

图1

问题：怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增加气温逐渐升高”这一特征？

一般的，设函数y=f（x）的定义域为A，区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1和x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么称函数y=f（x）在区间I上是单调增函数，I称为y=f（x）的单调增区间……

［说明］从气温图情境中提出问题后，就直接到单调增（减）函数的定义，其增（减）函数概念的形成过程，需教师去填充，通过教师对课标、教材和学生的理解，进行二次备课.以下提供了教师设计的几种方案.

［方案1］图1（见上）为无锡市2015年12月的某一天24小时内的气温变化图.观察该图，请回答下列问题：

问题1：气温在哪些时段是逐步升高或下降的？

问题2：为什么说气温在［4，14］是上升的？

生：气温随着时间的增大而增大.（直观定义）

教师说明：对于气温函数f（t），在［4，14］内的任意两个值t1和t2，当t1＜t2时，都有f（t1）＜f（t2），则函数f（t）在［4，14］上是增函数，［4，14］为f（t）的增区间.

教师给出增函数、减函数及单调区间的定义（见上）.

［方案2］问题1、2（见方案1）.

问题3：因气温θ与时间t的函数关系为θ=f（t），当t∈［4，14］时，气温θ随时间t的增大而增大，你能说出具体的对应关系吗？

（譬如时间t从4到5，4＜5，气温θ随时间增大而增大，则f（4）＜f（5）；让学生多举一些例子）

问题4：在t∈［4，14］时，气温θ随时间增大而增大的例子有多少？你能写出所有的例子吗？

（例子有无数个，不能写出来；产生认知冲突，有少数学生能想到“用字母表示数”，师生一同总结出：对于任意的t1，t2∈［4，14］，当t1＜t2时，都有f（t1）＜f（t2））

问题5：反过来，对于任意的t1，t2∈［4，14］，当t1＜t2时，都有f（t1）＜f（t2），能否说明f（t）在t∈［4，14］上是增函数？

（让学生体会：不论怎样取t1，t2∈［4，14］，当t1＜t2时，前面的函数值总小于后面的函数值，来感知图像总是上升的）

［方案3］第一步，给出具体函数，增加感性体验（1）.

问题1：画出下列函数的简图，并说明函数值y随x的增大而怎样变化？

（1）y=x2；（2）y=（x＞0）.

学生练习后，教师从“形”的直观性对增函数和减函数作了定性描述.

第二步，教师提问，引导学生思考.

问题2：如何从“数”的角度，对“函数值y随着x的增大而增大（或减小）的特征”给以具体地定量刻画呢？（大部分学生感到说不清、道不明，教师再明确如下）

问题3：函数（1）在［0，+∞）是增函数，你能举一些具体数据说明一下吗？

生：当x=0时，y=0，当x=1时，y=1，当x=3时，y=9……

问题4：这样的数据能列举完吗？想一想，用什么办法能解决好这个问题？（同方案2问题4）

第三步，小组讨论、寻求突破.

请学生先思考，再前后四人讨论1～2分钟，教师巡视发现，有少数同学想到了“用字母表示这些数”，“构建一个函数y=f（x）”，设两个自变量a，b，当a＜b时，f（a）＜f（b）.

教师给予充分肯定，再引导学生，把自变量a，b改为x1，x2，逐步得出：对任意的两个自变量x1，x2∈［0，+∞），当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2）.

第四步，尝试定义、形成概念.

由2～3人回答单调增（减）函数的定义，与书中定义对比.（略）

二、教学评析

方案1比课本情境多了一个“教师说明”，引进了两个自变量t1，t2和对应的函数值，3分钟就得出增（减）函数和单调区间的定义，看似高效.但从教学效益看，有三个问题值得我们思考.其一，缺乏对重点知识形成过程的揭示.有的“知识”只需了解即可，而对于“函数增（减）性”的概念，课标要求“理解”.美国有句名言：“你听到了，你忘记了；你看到了，你记住了；你经历了，你学会了.”数学学习是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果.这个过程不会一蹴而就，需要在“做”的过程和“思”的过程中不断探索、逐步积累，也就是必须要展示知识的形成过程，进行“意义建构”.这样学生才能真正理解数学知识，便于今后有效迁移.其二是学生的知识基础，在本案例中，学生在初中已经通过图像的直观性，感知到“函数值随自变量的增大而增大”，学生所不明白的是：增（减）函数的直观定义已经学了，为什么还要形式定义增（减）函数呢？在疑惑不解时，就直接定义，其结果不仅脱离了学生的需要，还让他们感觉到数学仿佛是天外来客，其效果自然不理想.

方案2通过对函数增减性的形式化定义这一难点实施局部探究，充分暴露知识形成的过程.设置问题3，是因情境中已经提出了气温θ与时间t的函数关系θ=f（t），再明确该函数的对应关系，实际上是通过举例使之具体化.设置问题4，让学生多举例不仅是为让学生增多感性体验，更重要的是让学生产生认知冲突，迫使学生想办法——“用字母表示数”.设置问题5，是由定义的内涵去寻找所涉及的外延中的具体对象，从另一个角度揭示增减函数的完备性，反映了增减函数的定义既是增（减）函数的判定，又是增（减）函数的性质，这样的问题设计和学生活动才有效益，学生不仅理解了知识的来龙去脉，而且用数学自身的魅力来吸引学生参与，做到为理解数学而教，为知识的迁移而教，同时培养了学生逻辑思维能力，效果很明显.

方案3与方案2类似，也是对概念的形式化定义实施的局部探究（1），是通过设置由远及近的三个问题.问题1，给出两个已知的具体函数，既为函数的单调性起了铺垫作用，更是为学生创设直观情景.问题2是从“定性”到“定量”的一个转换，它给少数尖子生一个思维的空间，但大部分学生仍缺乏思路问题3是以学生的直观经验为出发点，从最简单的举例开始，多举例是为了让学生增多感性体验，通过亲身尝试、同伴的交流，理解、明晰了概念的产生过程.它与方案2的不同点，其一，没有用课本上的气温图，而是让学生画两个基本函数图像，设置了动手操作情境，也很直观.其二，缺少一个反过来的说明，如能增加方案2的问题5，方案3也不失为一个合理的方案.

文中涉及教材的使用，我们以为，一方面要尊重教材，关注学生，合理整合教材资源，是“用教材教”；另一方面，不唯教材，发挥教师的智慧，寻求更合理的情境及问题，惠及学生.

三、教学感悟

透过上述案例，对创设问题情境方面有了进一步的认识，对于教材中的一些重、难点内容，往往需要创设问题情境.问题情境分两层含义：首先是有“问题”，即数学问题.数学问题是指学生个体与已有认知产生矛盾冲突，还不能理解或者不能正确解答的数学结构.问题的障碍性不能影响学生接受和产生兴趣，学生通过探索能获得解决；其次才是“情境”，即数学知识产生或应用的具体环境.这种环境可以是真实的生活环境、虚拟的想象环境和数学的体系环境.问题之中有情境，情境之中有问题，但核心是问题.问题情境设计的优劣，将直接关系到课堂教学的质量、学生的兴趣和可持续性发展；借助于这些情境及问题，师生进行思想交流和碰撞，从而完成教学任务.因此，一方面要重视创设情境，另一方面，情境创设后，要注意问题跟进.

1.创设情境的主要途径

梳理一下，创设情境主要有以下途径：

（1）联系生活实际创设，学生可以利用自己的生活经验，进行自主探索，如案例中学生每天会感受到的天气温度，从中提出一些问题，学生很容易接受.

（2）根据学生年龄特点创设，学生喜好网络、容易追星，可以利用一些网络热词、热点新闻、生动的故事、有趣的游戏，如从钓鱼岛、奥运会、阅兵式等创设情境，有益于学生激发兴趣，全神贯注.

（3）根据数学内容特点创设，有的内容难在抽象，可以创设让学生动手操作的情景，如案例中让学生画两张基本函数的图像，学生在亲历操作中感受、探索新知.

（4）根据数学逻辑体系的需要创设，数学知识具有内在的逻辑联系，如二项式定理的情境：由多项式法则可以知道：（a+b）2、（a+b）3、（a+b）4的三个展开式，提出问题：你能写出（a+b）n的展开式吗？这样的问题情境，目标明确、清晰，有针对性，费时少，适合高年级的学生.

2.问题跟进的几个要点

“问题是数学的心脏”，数学学习的实质就是解决数学问题.教材中有的内容，创设情境后中间没有过程或者问题的开放度比较高，这样，给教师的二次备课余地比较大，给教师创造性发挥的机会多，譬如案例中从气温图情境中提出问题后，就直接到单调性的定义，中间不提供过程，就是给教师的再创造提供了舞台.因此，在创设“情境”后，问题跟进（提出问题和数学探索）非常重要，关键是问题的设计，总的要符合“通过自主学习和探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程”的理念.具体而言，应把握以下几点：

（1）目标性，问题设计要围绕教学目标和主题进行，如案例中的增（减）函数的形式化定义，就是从一天的气温变化中提出与增减性定义相关的问题，要防止一些过于花哨、偏离主题的问题情境.

（2）可及性，在学生的最近发展区设计，最好要紧扣学生的已有经验，联系生活、学习的实际，这样有利于激发学生学习兴趣.

（3）思考性，能引发学生的思考，能产生认知冲突，最好要有一定的挑战性，有益于促进学生理解数学.譬如方案2中的问题2、4、5，方案3中的问题2、4.

（4）简明性，从情境中提出的问题要自然、简明，不要绕圈子，不宜过长.

对一些重、难点知识，对设计后的问题要进行探索，以暴露知识的形成过程，让学生意义建构新知，获得一些感受与体验.突破难点的过程往往有一个关键点，如突破函数增减性定义的关键是具体化的例子.

让我们创设合理的情境，设计精彩的问题，带领学生步入引人入胜的境地，引起认知上的冲突、语言的交流、情感上的共鸣，激发学生浓厚的学习兴趣，催生火热的学习思考，亲历数学探究，获得成功的体验，从而改进、优化课堂教学.

1.王华民.让局部探究成为数学课堂教学的常态.《中学数学教学参考》（上旬），2008.8.