小题回归课本本源，让复习在变式中绽放精彩

☉甘肃省渭源县第一中学 何伟军

普通高中《数学课程标准》指出：“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验发现和创造的历程，发展他们的创新意识.”数学“变式教学”也是顺应“体验发现”“再创造”绝好的手段.“水本无华，相荡乃成涟漪；石本无火，相击乃发灵光”.学生思想上泛起“涟漪”，思维上闪烁的“灵光”就需要“变式教学”的激活.笔者通过对一道高考填空题一题多解的探究及精心设计变式题、拓展源于课本的知识点，以及在解题中频繁运用这些知识点的方法，找到解决问题的通性通法，激发学生的求知热情，演绎出小题在变式中出彩的高效例题教学.

一、试题呈现

试题分析：本题是2013年全国新课程卷Ⅱ理科第15题，属于一道填空题，处于分题把关“翘尾巴”的题.本题主要考查两角和的正切公式及同角的三角函数公式，考查化归与转化思想、方程与函数思想，考查意图非常明显.从题设到求解目标不难可找到解决问题的“切入点”，容易解答，但深入、全方位探究发现，本题虽小，不妨从解题方法及其变式两个方面进行大做，“大有可为”，顿感又荣光异彩.

二、解法探究

探究多种解法，有助于提高学生解题的能力，掌握从不同角度“切入”方法，促进学生分析问题和解决问题的能力；在体验解题的策略与过程中，引发学生的发散性思维，感受变式探究乐趣的同时，优化了学生思维品质，培养了学生的创新能力.

评注：利用“凑角”易求得角θ的正切值，巧妙地将未知三角函数式平方，再利用“1”（sin2α+cos2α=1）的代换，将弦转化为切，直接代入求解，真让人感到基础与技能“比翼齐飞”.

所以（cosθ-sinθ）2+（cosθ+sinθ）2=2=5（cosθ+sinθ）2，所以（cosθ+sinθ）2=.又因为θ是第二象限角，所以sinθ+ cosθ＜0，所以sinθ+cosθ=-

评注：化异名为同名是解决此问题的“切入点”和“落脚点”，关注点是判断sinθ+cosθ的正负.构建一个恒等式（cosθ-sinθ）2+（cosθ+sinθ）2=2=5（cosθ+sinθ）2，搭建起未知与已知的桥梁.

评注：定义法乃是解决各类数学问题的根本大法，首当其冲，在解题教学中应引起我们的足够重视.

三、变式探究、精彩生成

所谓的变式教学是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化.对已有的问题进行改造、拓宽，不仅能开拓学生的解题思路，而且能达到讲一题、会一类题的效果.三角函数主要从“角”、“函数名”两个角度展开研究，针对此题，笔者给出如下变式：

评注：直接用两角和的正切公式化为关于以未知三角函数为变元的方程求解.

评注：直接给出角θ的正切值，利用两角和的正切公式可以求tan（ θ+），还可以利用二倍角的正、余弦公式将代值求解即可，化“未知”为“已知”是关键，这正是2015年广东文第16题.对于三角变换，只要求掌握最基本的公式和简单的应用，不需要太多的变换技巧和烦琐的变形计算.

评注：逆向思考，变换原题的条件和结论，是变式常用的手段.

变式6已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=-x上，则cos2θ等于（）.

评注：此题由2011年高考新课标卷Ⅰ理第5题改编而来，只要紧紧抓住任意角的三角函数的定义或直线的斜率得知tanθ=-，然后化弦为切可达目标，即cos2θ=.故选D.

评注：此题为2015年高考浙江卷第16题的第（1）问，在三角形这个特定的条件下，由已知求得tanA=，再将未知式化为含tanA的式子求解即可，突出对运算能力的考查.

评注：此题改编后是2011年高考江苏卷第7题，只改为填空题，现将未知三角函数式化简为（1-tan2θ），然后求解得.

评注：此题是2009年高考陕西卷第7题，将未知的三角函数式进行“1”的代换后化为关于tanθ的三角函数式，再将tanθ=-代入即可.

变式10已知3sinθ+cosθ=0，则2sinθcosθ-cos2θ的值是_________.

评注：此题由2015年高考四川卷（文）第13题改编，由已知得tanθ=-，再将未知的三角函数式化为含tanθ

的三角函数式可求解.

评注：此题是2013年高考浙江卷理科第6题，若选择方程思想，将原式与sin2θ+cos2θ=1联立得所以tanθ=3或tanθ= -，所以tan2θ=-.本题亦可用两边平方法得1+ 3cos2θ+4sinθcosθ=，考虑到所求角为2θ，则采用降幂公式、逆用二倍角公式，可化为3cos2θ+4sin2θ=0，两边同除以cos2θ得tan2θ=-.寻找角的差异，并对角的变式也是命题者常用的命题方式，此题的设置，其用意在于用平方法整理后式子的右边为0，降低试题难度.

评注：此题是2012年高考辽宁卷理科第7题，将已知三角恒等式化为关于tanθ为变元的方程求解即可，式变但维系“弦切互化”，方程思想的魂在.

四、追根溯源，充分发挥“四题”的功能

课本是经过资深专家们深思熟虑、千锤百炼而成，汲取了几十年课程改革的经验.课本安排了一定数量的例题、练习题、习题和复习参考题（简称课本“四题”），这些题目是各类考题的“题源”，都具有很强的典型性、针对性、示范性和关联性，它们或渗透着某些数学方法，或体现了某种数学思想，或提供某种结论，往往我们不够重视，以“课本题简单，不足以应对高考”而忽视课本“四题”的演练.人教A版数学必修④P21习题1.2A组第12题：已知求cosα-sinα的值.2013年全国新课程卷理科第15题题目条件和所求几乎一样，命制者只是改动了数字和符号，变为一道极具代表性的三角函数题，可见命题者的良苦用心.

又如2015年江苏卷第8题：已知tanα=-2，tan（α+β）=，则tanβ的值为________；

2015年重庆卷（文）第6题：若tanα=1，tan（α+β）=

以上三题均由人教A版数学必修④P137习题3.1A组第9题、第17题、P71复习参考题B组第4题改编，其实质是配角法，利用两角和的正切公式、同角三角函数间的基本关系和倍角公式求值.因此充分认识“四题”本身所蕴含的价值，只有充分发挥课本“四题”的基础作用及支柱功能，才能全面、系统地掌握基础知识和通性通法，构建数学的知识网络，以不变应万变；吃透课本上的例习题不仅仅是解题能力的生长点，也是高考试题的生长点.

五、结束语

高三复习必须重视对课本习题的变式研究，重视对往年高考试题的研究！高考试题凝结了命题专家巨大的智慧和心血，具有深刻的背景和丰富的内涵，命题专家一直重视经典课本题的传承、重视对往年高考题的传承和相互借鉴，稳中求进，因此，这些题应是备考者首选研究的试题；同时我们注意看到课本“四题”是高考命题人和考生共有的“资源”、“财富”，对课本原题的变形、改造及综合，彰显“源于课本，高于课本”的命题原则，高考题深，课本生根；课本“四题”，链接高考，所以一线教师研究“四题”和高考题成为一种备考习惯，重视“四题”和高考试题潜在功能的挖掘和利用；重视变式训练，触类旁通，优化学生思维品质，减轻学生负担，让小题在变式中绽放精彩.

1.中华人民共和国教育部.普通高中课程标准（实验）［M］.北京：人民教育出版社，2004.

2.倪月英.挖掘课本习题的价值［J］中学数学（上），2015（12）.

3.何伟军.善变陈题，触类旁通，精于设计［J］.中学教研（数学），2016（10）.