梅正阳

(华中科技大学数学与统计学院，武汉430074)



诸葛亮“选老板”的数学模型

梅正阳

(华中科技大学数学与统计学院，武汉430074)

东汉末年，诸葛亮为什么出山辅佐刘备？基于网络层次分析法，获得相关权值，建立模糊综合评价数学模型，得到不同政治军事集团的综合得分，解释诸葛亮出山的原因.

诸葛亮； 网络层次分析法； 比较判断矩阵； Super Decision 软件； 模糊综合评价

1 引 言

诸葛亮的人生道路选择是人们津津乐道的话题.熟悉三国历史[1,2]的人都知道，东汉末年，群雄并起，曹操“挟天子以令诸侯”，称霸北方；孙权继承父兄基业，雄踞江东；刘表、刘璋等刘姓宗族，家业雄厚、地广人多.刘备，虽汉室宗亲，“文有孙乾糜竺之辈，武有关张赵云之流”，奋斗拼搏多年，却屡换雇主，长期寄人篱下.读过《三国志》[1]或看过《三国演义》[2]的人都有一个疑问：足智多谋的诸葛亮为什么选择追随穷途末路的刘备呢？本文试图从数学角度来解读.

我们首先建立诸葛亮“选老板”层次结构体系，然后采用网络层次分析法[3]获得相关权值，通过查找三国资料，得到指标量化结果，建立基于网络层次分析法的模糊综合评价模型[4]，获得不同政治军事集团得分，从数学视角解释诸葛亮出山的原因.

2 诸葛亮“选老板” 网络层次结构体系

网络层次分析法(Analytic Network Process，简称ANP)是美国运筹学家T.L.Saaty 教授于1996年提出的一种灵活而又实用的多准则决策方法，主要针对较为复杂、较为定性的问题进行决策，在其本人早期提出的层次分析法AHP基础上，增加指标元素间相互关联、相互影响关系，适用于难以完全定量分析的具有网状结构的实际问题.

《三国志·诸葛亮传》[1]记载刘备“三顾茅庐”时，诸葛亮对刘备的评价是“将军既帝室之胄，信义著于四海，总揽英雄，思贤如渴，…，诚如是，则霸业可成，汉室可兴矣.” 本文由此可以判断诸葛亮“找工作”比较关注三个方面情况：旗帜——领导人情况、队伍——集团目前状况、成长——个人发展空间.

根据历史文献资料和东汉末年的社会背景，我们假设“领导人情况”主要包括：道德仁义、匡扶汉室、求贤若渴、凝聚力等四个方面；“集团目前状况”主要包括：文臣队伍、武将队伍、兵力规模、拥有地盘等四个方面；“个人发展空间”主要包括：工作岗位、忠诚被信任、计谋被采纳等三个方面，建立如图1所示的网络层次结构体系图.

由于不同的决策主体可以选择不同的指标和层级，也可以规定网络层不同元素间的复杂网络关系，因此网络层次结构图与决策者的价值观和偏好相关.

3 确定网络层次结构体系中指标权重

3.1 确定准则层指标权值

准则层共有3个指标，虽然彼此之间有关联，但在诸葛亮看来基本上是独立的.为此，建立准则层的比较判断矩阵[4]，计算判断矩阵最大特征值对应的特征向量，并标准化(也可以使用Super Decisions软件计算)，结果如表1所示

图1 诸葛亮“找工作”ANP网络层次结构

表1 准则层判断矩阵及权值

3.2 确定网络层指标权值

ANP的关键在于网络层元素之间的相互影响，所以要对子准则层元素间的重要程度进行比较.采用两两比较判断方法，以准则层元素为准则，以下级元素为次准则，建立比较判断矩阵.如以“领导人”为准则，以下级指标“道德仁义C11”为次准则，建立C12,C13,C14间比较判断矩阵并计算相关权值如表2所示

表2 网络层判断矩阵及权值

类似地，“领导人”准则下，以C12为次准则，继续建立C11,C13,C14间比较判断矩阵等等，应用Super Decision软件计算，可得到网络层各指标的未加权超矩阵如表3

表3 网络层未加权超矩阵

使用Super Decision计算，得到控制层和网络层未加权权值和极限权值如表4

表4 网络层次结构权值

4 诸葛亮“选老板”模糊综合评价模型

为选择心仪的“老板”，我们建立模糊综合评价数学模型.由“隆中对”判断诸葛亮所注重的只有曹操、孙权、刘备三个军事集团，所以选取这三个集团作为评价对象，由[2]知，诸葛亮在第三十八回随刘备出山，故只须对[2]中三十八回前的内容进行分析，结合[1]，进行数据统计和处理，建立模糊综合评价模型.

4.1 “领导人”下级指标量化处理

网络层指标“道德仁义”非常抽象，正向难以判断某件事情是否“道德仁义”，但反向却可以判断某件事情“不道德仁义”，故对[1,2]中“不道德仁义”事件统计，计数为Mi(i=1,2,3)，如曹操有“为报父仇屠徐州”等十件不道德仁义之事，计数M1=10，其它类似.另外 “匡扶汉室”、“求贤若渴”、“凝聚力”等3项指标可以通过正向事件进行统计，计数分别为Ni、Pi、Qi(i=1,2,3)等，统计结果见表5第一列.

基于表5统计结果均为正整数，按照如下两步处理，得到所需要的量化数值.

第一步，统计数据标准化.如指标“道德仁义”，先对集团三方统计结果求和M1+M2+M3=10+2+1=13，再对每方数据标准化.如曹操方“不道德仁义”标准化数据为M1/13=10/13=0.7692，其它类推.处理结果见表6.

第二步，计算模糊隶属度.又分为两种情况.首先，对“道德仁义”，做“不道德仁义”事件的次数越多，道德水平越差，得分越低，故取偏小型模糊隶属度函数[4]

(1)

其中x为第一步标准化后的值.用(1)计算三方“道德仁义”隶属度，结果见表6.

表5 “领导人”下级指标关键事件统计

对于“匡扶汉室”、“求贤若渴”、“凝聚力”等三个指标，正向事件做的越多越好，得分越高，程度越强烈，故取偏大型模糊隶属度函数[4]

(2)

其中x为标准化后的值.对表5中指标进行标准化，用(2)计算，结果见表6.

表6 “领导人”下级指标关键事件数据处理结果

4.2 “集团目前现状”下级指标量化处理

控制层指标“集团目前现状”的下级指标包括文臣、武将、兵力和地盘等4个指标，其中“文臣”和“武将”指标，根据资料[1,2]进行统计，按10分制给每位文臣武将打分[5]，计数结果分别记为Ri，Si (i=1,2,3)，并合计出总分.统计结果见表7.

“兵力”指标，文献[1]记载刘表治理下荆州“带甲十万”，刘备在荆州借住6年，治理新野有成绩，结合诸葛亮出山后的赤壁之战情况，估计当时兵力在1.5万左右；东吴在被晋所灭时，孙皓投降兵力23万[1]，投降时地盘约为赤壁之战时地盘的3倍，结合赤壁之战时孙权给周瑜的兵力，推算赤壁之战前的东吴总兵力约7万；曹魏兵力数据缺记载，根据司马昭讨诸葛诞时上表所称“今诸军可五十万”，且上表时曹魏土地面积比赤壁之战前增加了约1/3，且稳定地发展了几十年，结合赤壁之战情况，推算赤壁之战前曹魏总兵力在30万左右.统计结果见表7倒数第二行.

“地盘”指标，通过资料[6]判断：赤壁之战时，荆州和东吴所辖面积基本相同，曹魏所辖地域相当于荆州东吴面积之和，故可设东吴地盘为1个单位，则曹魏地盘为2个单位，从“隆中对”不难发现诸葛亮已经把荆州计算给了刘备，但为了增加可信度，在此不妨设刘备地盘为0.5个单位，统计结果见表7最后一行.

表7 “集团目前现状”下级指标统计结果

对表7数据进行标准化处理，数值结果如下表8所示.

表8 “集团目前现状”下级指标数据处理结果

4.3 “发展空间”下级指标量化处理

清朝学者赵翼[7]将三国政治军事集团领导人用人策略总结为：“曹操以权术相驭，刘备以性情相契，孙氏兄弟以意气相投”.曹操集团是臣属参与型，曹操身为董事长兼总经理，对臣僚是利用关系，与信任无关，荀彧、杨修就是例子；孙权当时比较年轻，决策方式是领导参与型，诸葛亮也说孙权“能贤亮而不能尽量”，所以只能部分地信任和采纳臣僚意见；刘备则完全放权，他选诸葛亮就是选CEO，刘备属全权委托型领导，但考虑到刘备个人水平和诸葛瑾在东吴效力，诸葛亮被信任程度应该会受到影响.综合上述情况，结合[1,2]，对各指标在[0,1]区间内打分，结果如表9所示，评分越高，个人发展空间越大，采用偏大型隶属度函数(2)计算，隶属度值结果见表9.

表9 发展空间指标数据处理结果

4.4 模糊综合评价模型

由表8数据构成矩阵R2，由表6、表9数据得到二个模糊隶属度矩阵R1和R3

由表4知网络层指标未加权权值

U1=[0.4774 0.2794 0.1445 0.0988]，

U2=[0.1369 0.1136 0.4101 0.3394]，

U3=[0.1094 0.5815 0.3090]，

模糊评价Ki=Ui∘Ri(i=1,2,3)中模糊关系运算“∘”采用内积型(+,·)运算，得到

由表4知控制层指标权值为W=[0.5278 0.1396 0.3325]，则模糊综合评价模型及结果为

f=W∘K=[0.2845 0.5716 0.6700].

由数学模型结果可得如下结论：

第一，刘备集团综合得分最高，孙权集团次之，曹操集团得分最低.所以，诸葛亮选择“老板”的顺序为：刘备孙权曹操.第二，第一名与第二名分数的相对误差为(0.67-0.5716)/0.67=14.69%，第二名与第三名相对误差为(0.5716-0.2845)/0.5716=50.23%，选择刘备集团是最优的，这与三国历史事实基本相符.第三，刘备集团的综合得分为0.67，并不太高，所以，诸葛亮出山的意愿并不坚决，是被刘备“三顾茅庐”的真诚打动了，也印证了司马徽“卧龙虽得其主，不得其时”之言.第四，敏感性分析表明，主观判断的微小变化不影响最终结果，刘备是诸葛亮的第一选择.

5 结 论

数学模型结果表明，诸葛亮“认为”军事集团“领导人”品德是关键，集团“目前规模”相对并不重要，因为兵力不多可以慢慢招募，地盘不大可以不断争抢，而且相信自己的加入，能使所在集团的规模慢慢壮大，集团发展状况会越来越好.深入分析发现，造成诸葛亮选择差别的主要原因是他特别重视集团“领导人”和个人“发展空间”两个指标.“领导人”指标确保事业的正当性、价值性，“发展空间”指标决定实现个人政治理想和抱负舞台的大小，模型结果符合“隆中对”和“出师表”透露出的信息.

诸葛亮“选老板”问题的数学模型对现实生活也有广泛的启示.比如，对于准备参加工作的职场新人和正在就业的员工而言，选择什么样的企业、领导团队素质如何、企业文化是什么等，对实现自身价值具有重要意义；另一方面，对企业家而言，一般员工可以通过招聘获得，中层领导通过考核获得，高层领导只能亲自沟通获得，因此，员工的个人自身修养和办事能力等是企业领导关注的重点.在现代生活中，员工找工作和企业招聘人才，都与诸葛亮出山有着异曲同工之妙.

[1] 陈寿.三国志[M].裴松之注.北京：中华书局，1982.

[2] 罗贯中.三国演义[M].毛宗岗注.上海:上海古籍出版社，1989.

[3] 王莲芬.网络分析法(ANP)的理论与算法[J].系统工程理论与实践，2001，3：44-50.

[4] 梅正阳，韩志斌.数学建模教程[M].北京:科学技术出版社，2012.

[5] 梅正阳.数学模型下的官渡之战曹操兵力考[J].大学数学，2016,32(3)：35-42.

[6] 百度贴吧.三国志地图集.http:∥tieba.baidu.com/p/2576229707.

[7] 赵翼.二十四史札记[M].王树民校证.北京:中华书局，2005.

[8] 樊锁海.数学模型精品课程建设的实践和思考[J].大学数学，2010,26(5)：6-11.

Mathematical Model How Zhu Geliang “Searching the Boss”

MEIZheng-yang

(School of Mathematics and Statistic，HUST，Wuhan 430074, China)

At the Eastern Han Dynasty, why was Zhu Geliang coming out to help Liu Bei? Based on the ANP method, some relevant weights were obtained, fuzzy comprehensive evaluation model was established, the comprehensive score of different political and military group were gotten, and these results explained the reason why Zhu Geliang helped Liu Bei.

Zhu Geliang; Analytic Network Process; comparative judgment matrix; Decision Super software; fuzzy comprehensive evaluation

2016-07-01

华中科技大学公共选修精品课程建设项目(2014004)

梅正阳(1964-),男，博士，副教授，从事金融数学、应用统计、数学模型研究.Email:zymei2007@aliyun.com

O175.1；O241.8

B

1672-1454(2016)06-0033-07