叶绒绒,畅大为，韩俊佳

(陕西师范大学 数学与信息科学学院，陕西 西安 710119)

2-循环矩阵下MASOR迭代法的收敛性分析

叶绒绒,畅大为，韩俊佳

(陕西师范大学 数学与信息科学学院，陕西 西安 710119)

2-循环矩阵;MASOR迭代矩阵;Jacobbi迭代矩阵;MASOR特征值;Jacobbi特征值

0 引 言

迭代法是求解大型稀疏方程组Ax=b的一种重要方法,在实际应用和计算中具有重要作用．为此很多学者对方程组的解法进行了深入研究,在此基础上提出了各种迭代法,由此而来的是每个迭代法的收敛性,收敛范围及其他一些相关性质的研究．

近年来关于迭代方法已经进行过很多分析．最初胡家赣在文献[1]中提出了SOR,AOR迭代方法,并对其基本性质进行了研究,之后文献[2-6]给出了AOR,SOR的一些相关性质及其收敛标准,文献[7-14]分析了MSOR,SSOR方法的收敛性,最优参数估计及其他一些问题,在此基础上,文献[15-16]详细分析了一类2-循环矩阵下MASOR的充分条件,文中借助以上相关结论及方法研究当μ2=mi时,σ1=σ2或者σ1=-σ2情形下MASOR方法可以收敛,并且给出了|mk|=1,|mk|>1,|mk|<1时,MASOR的收敛范围.

1 预备知识

考虑线性方程组

Ax=b

(1)

其中A∈Cn×n,x∈Cn,b为已知,x为所求．

当A为p×p块矩阵时，即

于是A=D-B-C.其中

设L=D-1B,U=D-1C,则B=DL,C=DU,于是L与U也必为严格下三角阵与严格上三角阵.

由于A的Jacobbi迭代矩阵为

J=D-1(B+C)=L+U,

取

其中wi≠wj(i≠ j),Ii为与Aii对应的单位矩阵.此时对应(1)的MASOR迭代矩阵为

φΩ=(I-ΩL)-1(I-Ω+ΩU).

特别地,当A为p-循环矩阵时,即

(2)

或

(3)

其中Aii为非奇异矩阵,1≤i≤p,且p≥2.此时Jacobbi迭代矩阵可以写成

2 基本结果

当A为式(2)或式(3)的结果时, 考虑此时 Jacobbi 迭代矩阵特征值和块 SOR 迭代矩阵特征值之间的关系.

引理1[8]当矩阵A为形式(2),则λ∈σ(ρΩ)当且仅当存在μ∈σ(J)满足

特别地,当p=2时,

(4)

此时λ与μ之间的关系为

(λ+ω1-1)(λ+ω2-1)=λμ2ω1ω2.

引理2[15]设一元二次方程为λ2-bλ+c=0,则其根的模均小于1当且仅当

(5)

3 收敛性分析

当σ1=-σ2时,

此时,MASOR迭代矩阵收敛.

证明 由于

由题设可得σ1=1-ω1,σ2=1-ω2,σ1=-σ2,于是要使|λk|<1,根据文献[15]可得

当σ1=σ2时,

|mk|=1,满足σ1,σ2∈(0,1)；

证明 由于

由题设可得σ1=1-ω1,σ2=1-ω2,σ1=-σ2,要使|λk|<1,根据文献[15]可得

解式(8)可以得到

σ1,σ2∈(-1,1).

当|mk|=1时,解得σ1∈(0,1);

当|mk|≥2时,无解.

由于x∈(-1,1),可得f′(x)>0,即f(x)为增函数．

4 数值例子

例1 若线性方程组AX=b的系数矩阵

此时

求得

例2 若线性方程组AX=b的系数矩阵

此时

求得

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编辑：武 晖；校对：师 琅

The convergence analyse of MASOR iteration method on the basis of 2-cylic matrix

YERongrong,CHANGDawei,HANJunjia

(School of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University, Xi′an 710119, China)

2-cyclic matrix; MASOR iteration matrix; Jacobbi iteration matrix; the eigenvalue of MASOR; the eigenvalue of Jacobbi

1006-8341(2016)04-0428-07

10.13338/j.issn.1006-8341.2016.04.003

2016-04-08

国家自然科学基金资助项目(11226266,11401361)

畅大为(1963—),男,陕西省西安市人，陕西师范大学副教授,研究方向为计算数学.E-mail:529729551@qq.com

叶绒绒,畅大为，韩俊佳.2-循环矩阵下MASOR迭代法的收敛性分析[J].纺织高校基础科学学报,2016,29(4)：428-434.

YE Rongrong,CHANG Dawei,HAN Junjia.The convergence analyse of MASOR iteration method on the basis of 2-cylic matrix[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2016,29(4):428-434.

O159；TP301.1

A