李长洲，李海洋

(西安工程大学 理学院,陕西 西安710048)

含幺元的二维交换结合代数的分类

李长洲，李海洋

(西安工程大学 理学院,陕西 西安710048)

为刻画实数域R上的二维交换结合代数的结构, 给出了实数域R上含幺元的二维交换结合代数的分类, 证明了在同构意义下实数域R上只有3类含幺元交换结合代数,即在该结合代数上存在一组基底{e,u}, e是幺元, 满足u2=u或u2=0或是复数域.

幺元；二维交换结合代数; 同构

0 引 言

代数学的一个中心问题是研究各种代数结构在同构意义下的分类[1-4], 一旦得出代数结构的分类结果, 就可从中推出这个结构所具有的性质等, 而不必从这个代数结构所满足的公理来推导[5]. 早在凯莱提出矩阵代数时就已经有人开始研究结合代数[6-9], 目的是刻画各种结合代数的结构和表示.低维结合代数[10-16]是研究者们广泛关注的一个热门课题.文献[11]研究了有限维齐次单结合代数, 证明了在代数闭域上的有限维的结合除环同构于群代数;文献[12]研究了代数闭域K上的二维结合代数的分类,得出在该结合代数上存在一组基底{e,u}, 满足u2=u或u2=0.

但文献[12]的分类结果还不够精细,未区分出代数闭域K上的不同的二维结合代数, 本文研究了实数域上含幺元的二维交换结合代数在同构意义下的分类.证明了实数域上含幺元的二维交换结合代数在同构意义下只有三类:在该结合代数上存在一组基底{e,u}, e是幺元, 满足u2=u或u2=0或是复数域.

1 预备知识

定义1[7]设A是域K上的向量空间, 又在A上定义了一个乘法运算, 称A是域K上的结合代数, 当A满足∀α,β,γ∈A,k∈K,有

当A中乘法运算满足交换律时,即∀α,β∈A时有αβ=βα，称A是交换结合代数.

当存在元素e∈A,∀α∈A,有eα=αe=α，称e是A中的幺元,A是含幺元的结合代数.

定义2[7]向量空间A的维数称为域K上的结合代数A的维数.

定义3[7]设A是域K上的含幺元e的结合代数, 称A是可除结合代数, 当A满足∀α∈A-{0},∃β∈A，有αβ=βα=e.

定义5[7]设A1和A2是域K上的结合代数, 称A1同构于A2, 记为A1≅A2,如果存在一个从A1到A2的双映φ, 满足∀k1,k2∈K,α,β∈A,则有

定义6[7]设A是域R上的含幺元e的二维交换结合代数,e,u是A的一组基底, 则有

注 a,b的不同取值决定向量空间A上的不同的结合代数.

为了证明本文的结论,需要如下引理.

引理1 设A1和A2是域K上的维数相同的有限维结合代数, 则A1≅A2当且仅当存在A1和A2的一组基底α1,α2,…,αn和β1,β2,…,βn,满足A1对于α1,α2,…,αn的结构常数和A2对于β1,β2,…,βn的结构常数对应相等.

证明 (必要性)当f:A1→A2是一个结合代数同构,则设f(αi)=βj, i=1,2,…n, 由于f是结合代数同构，则

故结论成立.

故结论成立.

引理2[8](弗罗贝尼乌斯定理)实数域上的有限维可除结合代数只有实数域, 复数域, 四元数代数.

2 分类结果

定理1 设A是域K上的含幺元e的二维交换结合代数, 当结构常数矩阵中a=0,b≠0或a>0,b=0或a,b≠0,a+b2/4>0, 则A是一种同构型, 记为A1.

定理4 A1, A2, A3彼此不同构.

证明 由于A2是域, 所以显然A2与A1和A3不同构. 只需证明A1和A3不同构即可. 由于A1中除幺元e外还有幂等元, 而A3中除幺元e外没有幂等元. 假设A3存在非幺元e的幂等元k1e+k2u,k2≠0, 那么有(k1e+k2u)2=k1e+k2u, 该等式无解, 从而A1和A3不同构.

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编辑、校对：师 琅

The classification of 2-dimensional commutative associative algebras containing identity over the field of real numbers

LIChangzhou,LIHaiyang

(School of Science, Xi′an Polytechnic University, Xi′an 710048,China)

In order to describe the structure of 2-dimensional commutative algebras over the field of real numbers, the classification of 2-dimensional commutative associative algebras containing identity over the field of real numbers are studied, and it is proved that there are exactly three 2-dimensional real commutative algebras up to isomorphisms, there exist bases {e,u} such thateis unitary, eitheru2=uoru2=0 and the last case is nothing but the field of real numbers.

identity;2-dimensional commutative associative algebras; isomorphism

1006-8341(2016)04-0424-04

10.13338/j.issn.1006-8341.2016.04.002

2016-05-05

陕西省自然科学基金资助项目(2015JM1012);西安工程大学研究生创新基金资助项目(CX201625)

李海洋(1975—),男,陕西省富平县人,西安工程大学教授,博士,研究方向为稀疏信息处理、量子逻辑、格上拓扑及不确定性推理等.E-mail:fplihaiyang@126.com

李长洲，李海洋.含幺元的二维交换结合代数的分类[J].纺织高校基础科学学报,2016,29(4)：424-427.

LI Changzhou,LI Haiyang.The classification of 2-dimensional commutative associative algebras containing identity over the field of real numbers[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2016,29(4):424-427.

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