张 灵 徐章韬

（华中师范大学数学与统计学学院 430079）

1 引言

数学概念不仅是建立数学相关理论的前提，也是构成数学命题的基本结构单元，还成为思维方式建构或转变的基石.就逻辑而言，数学概念一般都具有内涵和外延之限定，其内涵就是“事物的量”，其外延则是“事物的量”的范围.数学概念的内涵和外延具有一个发展变化的过程；从教育心理学的角度来说，概念的学习有概念形成和概念同化之不同；从数学教学心理学的角度来说，数学概念本身是过程与对象的辩证统一，对数学概念的掌握，通常要从过程入手，然后再凝聚为对象，最终这两方面构成一个整体，并与其他相关数学概念一起，形成互相关联的“概念网络”[1].在具体的数学概念教学时，对于相似的概念，除了要重视从逻辑的、数学史的、教育心理学这几个层次分别进行思考之外，还应强调对概念进行辨析.相似即是不同，表面的相似之下往往隐藏着本质的不同.然而，对于相似的概念，由于它们的相似性，容易让学生产生理解上的混乱，将概念的外延重合、内涵混为一谈，把相似概念作为同一对象来操作，无法形成对概念的正确认识，不能明确概念之间的区别与联系以形成清晰的概念网络.因此，对相似概念进行多角度深层次的辨析是必要的，从语义上、数学上、教育上明确相似概念之间的区别与联系，借助辨析的过程，不仅能将概念区分开，还能够多角度地挖掘概念的内涵和意义，更加透彻地理解概念本质.

章建跃老师在其所作的概率统计系列作品中提出“改进教学从加深理解内容入手”，制约统计与概率教学水平的瓶颈首先在教师自身的知识储备，教师在课堂中出现一些常识性错误的原因在于其对统计、概率的基础知识理解不深、把握不准[2].尤其是对于思想层面的内容，如“加深对随机现象的理解，正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性”，培养起来并不容易[3].因此，从改进教学的角度来看，对知识进行多角度的深入分析也是必要的，本文从概念入手，通过辨析的方式深入剖析概念的实质，以促进对概念本身以及概念教学的理解.

“随机现象”和“随机事件”是概率论中的两个容易混淆的基础概念，这两个概念是学生学习概率知识的起点，若学生对这两个概念的理解似是而非、混为一谈，势必影响学生对其他相关概念、命题等的学习，也会阻碍学生深入认识概率论的研究目的和研究手段.

2 辨析

下面从三个方面展开辨析.

2.1 语义上的辨析

“随机”在随机现象和随机事件这两个概念中意义相同，在词典里，“随机”的涵义是随机遇而定，不作特殊安排，强调不确定性，差别在于“现象”和“事件”这两个词的不同.在词典里，“现象”是指事物在发展、变化中表现出来的外部形态：自然现象/社会现象/看问题要透过现象看本质，“事件”是指不平常的大事情（多指有社会影响的）：政治事件/泄密事件/防止发生食物中毒事件.根据词典里的解释可知：“现象”是一种外部形态，强调外在表现，而在外在表现背后的本质是有待挖掘的；“事件”指向某件事情，事情表现出一种结果，引起结果的原因是需要寻找的.

根据《数学辞海》的解释，“随机现象”是指在一次试验或观测中，其结果有多种可能，事先无法精确断定究竟哪一种结果会发生的现象，在此概念中，现象指向的外部形态是多种可能结果发生的不确定性.“随机事件”指在相同的确定条件下，随机试验所可能有的表现或结果，随机事件是随机试验中的一种结果，在一定条件下，这种结果可能出现也可能不出现.如抛一块均匀的硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上.若称之为一个随机现象，这里的现象表现为：正反面朝上的不确定性；若要探究一次试验中，正面朝上的概率，这是一个随机事件的概率，这里的事件是“正面朝上”这种结果.在随机事件概念中，强调“在相同的确定条件下”，这是因为随机试验发生条件不同，将会影响随机事件发生的可能性大小和随机事件的性质，如硬币的前后面重量不同，将影响一次试验中硬币正面朝上的概率，又若在试验中，将硬币正面朝下做自由落体运动，则发生正面朝上的可能性为零，是不可能事件.

2.2 数学上的辨析

从“现象-本质”的角度来看，对于现象而言，要分析本质，现象背后隐含着本质，反过来，借助本质能帮助我们真正认清和把握住现象.从数学的角度来研究问题，需要抛弃问题的其他属性，只提取其数量关系和结构来进行分析，因此，揭示随机现象的数量规律成为概率论的主要研究目的之一.分析随机现象的数量规律，需要借助随机试验来模拟随机现象，对每一次试验的结果进行记录，重复大量试验，进行数据分析，这时需要分析每一种结果（随机事件）实际出现的次数，当分析试验中某种结果出现的次数时，会发现其频率稳定在一个固定数值左右，试验次数越多，频率波动越小，这个数值便是所指向的随机事件的概率.随机事件的概率反映了随机试验中某种结果发生的可能性大小，揭示了随机现象的数量规律.因此，若要探寻随机现象的数量规律，把握随机现象的随机性，可以具体地归结到对随机事件的概率的探究.

从“结果-原因”的角度来看，对于结果而言，要分析原因，只有找出结果产生的原因，才能认识其本质和规律.随机事件中的“事件”指向一种结果，为什么在一次随机试验中，这种结果可能发生也可能不发生，若重复大量试验，其发生频率通常会稳定在一个固定数值左右？从结果往回看，首先，在一次随机试验中，有多种可能发生的结果，即在随机现象中，其有多种可能的表现形式，事先无法精确断定究竟发生哪一种结果，正是由于随机现象结果的不确定性，导致了在随机试验中，随机事件发生的不确定性.其次，在随机现象中，结果的发生又不是完全没有规律的，随机性正是指不确定性中蕴含着规律性，在一次随机试验中，对每一个结果而言，其出现的可能性有大有小，也就是说，随机事件的发生是有概率的，随机事件的概率越大，在随机试验中，其出现的几率越大，多次重复试验，其不确定性中的规律性便宏观地表现在概率上.因此，随机事件的概率产生于随机现象的随机性.下图揭示了随机现象和随机事件之间的关联.

随机现象和随机事件

2.3 教学上的辨析

随机现象和随机事件之间，存在“现象-本质”、“原因-结果”的区别与联系，二者在实际教学中的侧重点不同.

（1）就教育心理学而言

概念的学习有概念形成和概念同化之不同.所谓概念形成是指，从大量实例出发，以学生的感性经验为基础，形成表象，归纳、抽象、概括出事物的某类“本质”属性，并提出各种假设，加以验证，以获得数学概念；所谓概念同化是指，从学生已有的概念出发，以其间接经验为基础，直接揭示所学概念的某类“本质”特征，以获得数学概念[4].“随机现象”是概率论中的一个初始概念，并且在生活中实际存在大量的可感知的随机现象，因此，在教学时，可采用概念形成的方式来获得概念，通过一些实例向学生介绍确定性现象和随机现象，对二者进行区分，并抽象概括出“随机现象”的内涵；“随机事件”的认知建立在对“随机试验”和“基本事件”认知的基础之上，适合采用概念同化的方式来获得，可先引入随机试验的概念，由此给出基本事件、样本空间、随机事件的概念：随机试验的每一个结果叫做基本事件，也叫做样本点，所有样本点的集合叫做样本空间Ω，样本空间的子集A（空集和Ω除外）叫做随机事件[5].

（2）就教学难点而言

回溯历史，人们很早就对随机性有所意识，在古河流文明时期，古巴比伦、古印度和古埃及人用黏土制作三棱柱、四棱柱和正六面体等不同形状的骰子，并使用象牙赌板、动物距骨、坚果核等各类随机函数发生器.在我国，考古发现的甲骨卜辞和数字卦显示在殷商时代龟卜成象、筮数成卦的卜筮活动就已很盛.当时的人们普遍把随机性看作是神的意愿.到了古希腊时期，古希腊人对随机性的认识可分为两派，一派认为随机性是尚未认识的确定性，另一派认为随机性属于上帝和自由意志，哲学和宗教原因限制了人们对随机现象的进一步认知.此后很长一段时间，由于受到宗教的束缚，人们对随机现象不可能有进一步的研究.直到17世纪中叶开始，人们对随机现象的研究进入了一个崭新的阶段，帕斯卡（B.Pascal，1623—1662）与费尔马（P.de Fermat，1601—1665）的7封通信即著名的“帕费通信”标志着概率论诞生了，在通信中，主要讨论了一些赌博问题.这时虽然产生了概率论，但人们普遍认为随机性并非客观存在的，承认它不过是因为无知而不得不采取的一种权宜之计.现代数学时期，人们意识到世界并非完全确定，确实存在着无法回避的随机性，确定性只是随机性模式的一种特殊情况.人类对随机性认识螺旋上升、对随机现象数学研究逐步深入的本质根源是随机性与确定性的深刻联系，从某种意义上说，对确定性和随机性关系的认识既是科学不断进步的原因又随着科学的不断进步而更加深入.[6]

因此，在认识随机现象时，难点就在于对确定性和随机性关系的理解.首先，随机性是客观存在的，承认随机性并不是因为无知，其次，确定性只是随机性模式的一种特殊情况，没有绝对真理和终极真理，从历史的发展过程来看，要认清这一点并不容易.

对于随机事件概念教学来说，首先，受相似概念的影响，区分随机事件和随机现象是一个难点，应指明，虽然随机事件的发生也具有随机性，但这是由随机现象的随机性产生的，其本质是一种结果.然而，在人教版高中数学必修3中，并没有明确区分随机现象和随机事件，导致师生难以明确概念内涵，用随机现象来定义随机事件，将二者混为一谈；其次，介绍随机事件概念时，为何要强调“在相同的确定条件下”，学生难免疑惑，但是，在人教版高中数学必修3的教材编写中，不讲随机试验就来讲随机事件，把随机事件定义为：“在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫作相对于条件S的随机事件，简称随机事件”，定义中的“条件”是什么，师生难以理解[7]！

（3）就教学作用而言

随机现象作为概率论的研究对象，其概念教学的一个重要作用是明确概率论的研究范围，在教学过程中，应明确何为确定现象，何为随机现象，随机现象的随机性才是概率论要研究对象.随机事件是从数学的角度研究随机现象的切入点，教学中引入随机事件概念的作用是使得随机现象中的结果能够被当成对象来进行研究，结果的规律性反映了随机现象的本质，因此，在学习概率知识时，随机事件是一个必须要掌握的、关键的概念，往往随机试验中的随机事件才是需要学生直接面对和研究的对象.

3 结论

数学概念是反映数学对象本质属性的思维形式，在数学知识体系中，处于基础地位，对于学生构建合理的数学知识体系十分关键，“随机现象”和“随机事件”这两个概念的辨析常会被教师忽视，错误地认为学生会计算概率就达到教学目标了，这是一种功利性地教学，学习数学不只是为了解题，不应把知识仅当作做题工具，教师更应该关注的是学生是否真正理解了抽象的数学概念、理论和命题等，而后才能进入到对知识的应用.