陈言光

摘 要： 作者举中考例题通过解题四个环节：审题、探路、书写和反思，浅谈初中生解几何题能力的培养。

关键词： 解题能力 几何题 培养方法

一道初中几何题不但考查基础知识点，还考查数学思想、方法，考查学生的解题能力。教学中发现许多学生学习几何问题用的时间很多，做的题目也很多，但是收到的效果却不理想，究其原因是他们总是就题论题，费时费力，事倍功半，显示出学生解题能力低下，因此教师在初中生解几何题能力方面需要加强培养，根据教学大纲要求，以及观察初中生解几何题时的意识、习惯等，笔者浅谈初中生解几何题能力培养方法：

一、审题

审题要求初中生做什么？怎么做？一道几何题总有若干已知条件和待求解结论，通常还配备几何图形，于是，在审题过程中教师应该引导学生做到以下几点：第一，从题干条件中抓住概念、性质，读懂题中线段、角的有关数据及各种位置关系、数量关系，关注特殊的点、直线、射线等，结合图形与题目条件结论进行观察对照，使题意与图形在学生印象中正确对应统一。第二，从已有概念、性质进行基本相关联想，明晰已有线段、角的位置关系和数量关系，将已知条件和待求结论结合，从复杂图形中分解出基础几何图形，必要时根据题意重新画图帮助理解。第三，有些几何题有许多后续小题，不同小题之间除了原主题干条件相同，前提条件未必相同;相同题干条件下的前面小题的结论又可以作为后续小题的条件。第四，遇上复杂题目，为把握命题者意图，学生应该将题目多读几次，最好逐字逐句分析题意，抓住关键字词深入思考，挖掘隐含条件，为后续解题思路探究铺平道路，避免“滑过现象”，不可由于审题不认真、不完整导致解题不严谨，甚至无从下手。

例1（江西省2016）22.（图形定义）：如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”;再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”.

探究证明：

（1）请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”（即△AOP）是等边三角形;

（2）如图2，求证：∠OAB=∠OAE′.

归纳猜想：

（3）图1、图2中“叠弦角”的度数分别为____________________________，__________________________;

（4）图n中，“叠弦三角形”__________________________等边三角形（填“是”或“不是”）;

（5）图n中，“叠弦角”的度数为__________________________（用含n的式子表示）.

粗略地看，题目条件涉及“叠弦”、“叠弦角”、“叠弦三角形”三个新概念，其实际是旧知识，由“将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO”可以在图形中，找出旋转前后两图形的相对位置，由旋转性质及正n边形的各边相等、各角相等且等于（n-2）×180°÷n，在图1中明确AD=AD′，∠D=∠D′=90°，由旋转60°知道各对应点与旋转中心连线所成角为60°，对应点与旋转中心的连线段相等，在图1中明确∠DAD′=60°。根据“再将‘叠弦AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO”这个条件，学生容易忽视“AO所在的直线”，从而简单认为点P与点O是对应点，轻易得出AP=AO，这就是典型的“滑过现象”，目前只有∠OAP=60°是明了的，而AP=AO是否相等凭直觉成立，但需要严格推理验证，由此可见，本题很考验学生思维的严谨性。条件“△AOP为‘叠弦三角形”考查学生理解其产生过程及识图能力。从第（1）问中，学生应能联想起等边三角形的判定定理。第（2）问证角相等，学生除了识别角的位置，认识到角与相关元素的位置及数量关系，及第（1）、（2）问是相同题干，第（1）问中的所有结论可作为第（2）问的前提条件。第（3）问求角度，（1）、（2）、（3）三问发现都涉及图2，由此，也可以考虑首选图2解决问题，那么图1、3、4应当是为帮助理解第（4）、（5）的几何题规律，便于归纳总结规律而增加的从简单到复杂、从特殊到一般的图例。这样，学生就把握了题意，为探究几何题的解题思路奠定了坚实的基础。

二、探路

学生在分析题意，探寻解题思路的过程中应该做些什么？怎么做？笔者认为几何题以题型而论，可谓种类繁多，几何题的解题思路需要学生多次探寻，往往也是柳暗花明、精彩纷呈，但多数几何题的求解或求证，其思路不外乎建立题目已知条件（甚至隐含条件）与所求结论之间的内在联系，因此，如何将它们联系起来，是确定解题思路的关键。有些几何题相对简单，只要根据概念、性质等知识分析其已有条件，就可以很快与结论联系起来，另有些题目，需要学生将条件与条件结合推理，产生的结论结合其他条件再推理，同时将所求结论不断转化，使条件推导得出的结论不断向所求结论靠拢，所求结论的转化不断向已有结论逼近，直至它们在某个点上联系起来，从而确立解题思路。这就要求学生熟练掌握基础几何图形的概念，性质，并且很清楚它们对应的结论。当解题思路受阻时，用所学知识将条件、结论进行等价转化，并在某个知识点上“连接起来”，从而打开解题的思维通道，明确解题的思考方向，契合“数学问题一般都是运用学过的知识加以解决”的转化思想。

例1的思路分析：第（1）问是判定“叠弦三角形”（即△AOP）是等边三角形，结合已知∠OAP=60°，联想到等边三角形判定定理“有一个60°角的等腰三角形是等边三角形”，接着会想到的是△AOP的哪两条边相等？结合“AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后得到线段AP”，会联想到AO=AP，但是这两条线段不能直接相等，需要严格证明，以图1为例，旋转∠DAD′=∠OAP=60°，得到∠DAP=∠D′AO，四边形ABCD是正四边形，可知AD=AD′，∠D=∠D′=90°，两者结合得△APD≌△AOD′（ASA），到此已经将题目条件与所求证结论联系起来，问题得解。第（2）问求证：∠OAB=∠OAE′结合题目已知与第（1）问中的结论，容易有两种常见等价转化：①证∠OAB=∠EAP，②证△AOB≌△AOE′。思路（一）：第①思路结合已有图形易联系起来转化求证△AOB≌△APE，结合已有直接证明显得困难，但由第（1）问易得△APE≌△AOE′，两者合并到思路②，分析已有条件，发现欠缺OB=OE′，观察OB、OE′是边BC，D′E′的一部分，且BC=D′E′，于是问题再次转化为求证OC=OD′，又会有两个方向：ⅰ）全等三角形对应边相等，ⅱ）等角对等边，先探索ⅰ），连接AC、AD′，构造出△AOC和△AOD′，却依然没有全等的足够条件，但可发现对角线AC=AD′，思路到此告一段落，接着探索思路ⅱ），必须连接CD′，要直接得到∠OCD′=∠OD′C，那是困难的，此时结合思路ⅰ）已有的AC=AD′，可以得到∠ACD′=∠AD′C，于是只需∠ACO=∠AD′O，由直觉可以发现只需△ACB≌△AE′D′，到此，已知条件与所求证结论在△ACB≌△AE′D′这个点上建立了联系，整个解题思路连贯起来，问题得证。思路（二）：第①思路结合已有图形易联系起来转化求证△AOB≌△APE，直接证明欠缺条件，转而考虑∠PAE=∠OAB亦可，结合图形易感觉△AOB和△APE存在轴对称，这就意味着可以在这两个三角形周边构造全等三角形，解题策略的通法是将题目中分散的条件集中起来，作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N.得到Rt△AEM和Rt△ABN，以及Rt△APM和Rt△AON，结合以上条件易证这两对三角形分别全等，推出∠EAM=∠BAN及∠PAM=∠OAN，得证∠PAE=∠OAB，从而解题思路贯通。第（3）问求角的大小，只需结合以上结论与多边形内角和定理，就可以解决问题。第（4）问可用归纳法，也可以参照以上证法证明之。第（5）问同理第（4）问。

三、书写

在学生经过认真审题、确定解题思路后，接着就是按照规范的解题格式进行书写。学生在书写解答过程中存在字迹潦草、审题不认真、思维混乱、说理无据、思路不清晰、推理不严密、解后不检查等现象，由此可见，教师培养学生规范的书写解几何题格式很必要，书写解答过程要做到表达清楚，层次分明，结论明确，论据充分，目的明确，说服有力，说理有据，做到严谨、严密、滴水不漏、环环相扣、无懈可击。第一，教师应该重视培养学生关于文字语言、符号语言、图形语言三者之间转化的能力，该能力是准确读懂题目、图形，造成对条件、结论、图形的正确识别、理解、转换、组织、表达的必备条件，教师在学生探究几何基础知识点时，有意识地将一个知识点作为几何模型让学生清楚把握结构，将每一个几何模型中的三种语言之间的转换做到滚瓜烂熟的地步。第二，要求学生用严格的格式、准确数学语言书写解答过程，教师检查学生的解题过程，反馈检查结果，学生及时总结错误并订正，理清书写要点，归纳解题步骤及注意事项。书写解题过程是学生理解题意，表达思维过程的外在表现形式，书写的过程更是学生思维提炼、升华的过程，理解事物本质、抽象概括的过程，是积累研究问题的方法和经验的重要途径，因此，应当加强训练。

例1解：（1）如图1∵四边形ABCD是正方形，

由旋转知：AD=AD′，∠D=∠D′=90°，∠DAD′=∠OAP=60°

∴∠DAP=∠D′AO，

∴△APD≌△AOD′（ASA）

∴AP=AO，又∠OAP=60°，∴△AOP是等边三角形.

（2）法（一）：如右图1，连接AC，AD′，CD′，

∵AE′=AB，∠B=∠E′=108°，E′D′=BC，

∴△ABC≌△AE′D′，∴AC=AD′，∠ACB=∠AD′E′，

∴∠AD′C=∠ACD′，∴∠OD′C=∠OCD′，∴OC=OD′，

∴BC-OC=E′D′-OD′，即OB=OE′，

∵AB=AE′，∠B=∠E′，∴△AOB≌△AOE′，∴∠OAB=∠OAE′.

法（二）：如右图2，作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N.

∵五边形ABCDE是正五边形，

由旋转知：AE=AE′，∠E=∠E′=108°，

∠EAE′=∠OAP=60°

∴∠EAP=∠E′AO，

∴△APE≌△AOE′（ASA）

∴∠OAE′=∠PAE.

在Rt△AEM和Rt△ABN中，

∠M=∠N=90°∠AEM=∠ABN=72°AE=AB

∴Rt△AEM≌Rt△ABN（AAS）

∴∠EAM=∠BAN，AM=AN.

在Rt△APM和Rt△AON中，AP=AOAM=AN

∴Rt△APM≌Rt△AON（HL）.

∴∠PAM=∠OAN，

∴∠PAE=∠OAB，

∴∠OAE′=∠OAB（等量代换）.

（3）15°，24°

（4）是

（5）∠OAB=[（n-2）×180°÷n-60°]÷2=60°-180°/n

四、反思

数学教育家弗赖登塔尔指出：反思是数学活动的核心和动力。学生在解决一道几何题后应该反思什么？教师应引导学生从题目涉及的知识点、题型结构、类型、条件与结论的关系、题目考察的能力、数学思想方法、解题思路的探索、解法的多样性、书写格式的规范性等角度进行反思。如对例1可做如下反思：本题是综合性较强的一道中考题，涉及的知识点有正n边形的概念、性质，旋转的概念、性质，全等三角形的判定、性质，等腰三角形的判定、性质，多边形内角和公式等。本题属于探究型几何题，题干条件复杂抽象，文字繁多，不易理解，条件容易被忽视，使得推理不严密，条件与结论看似容易联系，其实隐含的联系方式却相当难找，由此可见本题考查学生文字语言、符号语言、图形语言三者之间的转换能力，识图能力，认真审题习惯，严密推理的逻辑思维能力，合情推理能力，观察分析解决问题能力等。本题主要考查学生转化思想，从特殊到一般的思想，体现在将所求解（或求证）结论的等价转化，从正四边形、正五边形等一直到正n边形的求角的大小，同时以上思想就是本题的破解策略，通过条件、结论的各自转化，最终在某个知识点上建立联系，从而使解题思路得以贯通。可能出于中考这种限时考察全科的因素，本题书写规范要求相对降低，如后三个小题以填空形式出现，但学生在平时此类型题目的求解训练过程中，可以考虑书写，用于训练学生的严格书写格式尽量简化书写内容，同时培养学生缜密的逻辑推理能力。本题拓展了解法，两法值得学生借鉴。在本题解答过程中，学生还可能将“图n”中的n理解为正多边形的变数，从而产生错解，因此学生应注意数字与图形的对应关系。进行解后反思有助于学生积累经验，巩固所学知识点，帮助学生总结解题规律，优化解法，达到事半功倍的效果，在已有的基础上突破、延伸、创新，以应对未知的难题。

最后，教师不可能只利用极少数例子和练习培养学生的解题能力，教师应当为学生提供足够多的数学问题，使学生视野得以开阔，数学问题的解决过程充满丰富多彩的观察、尝试、归纳、概括的思维活动，在数学学习过程中以问题为载体，感悟数学思维，积累数学活动经验，提升数学素养，发展学生的数学思维能力，通过数学问题的解决，学生获取知识的同时，提高解决问题的能力。

参考文献：

[1]刘华为.从教“怎样做”到教“怎样想”.中学数学教学参考（中旬），2016（6）：26-28.