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在变化中找不变
——浅谈动态几何中利用面积的不变量关系解题

2016-12-16浙江省慈溪市三北初级中学315331

数理化解题研究 2016年26期
关键词:四边形阴影题意

浙江省慈溪市三北初级中学(315331)

黄群晖●



在变化中找不变
——浅谈动态几何中利用面积的不变量关系解题

浙江省慈溪市三北初级中学(315331)

黄群晖●

动态几何问题,体现了近代数学运动变化的思想,是近几年数学中考命题的重点,解这类题目的一般方法是抓住变化中的“不变量”,以不变应万变.本文以利用面积的等量关系如何解题为例,浅谈动态几何中利用面积的不变量关系解法及启示.

不变量;几何动态;面积;解法启示

动态几何题,包含了一些“动态”的点、线段、直线等元素,给静态的平面几何题赋予了活力,使题意更新颖.同时“动态”的存在也使平面几何题更趋灵活,加强了对学生想像能力的考查.动态几何问题中往往有很多变量,还有很多图象、数据按一定规则进行变换和操作,这些无疑增加了问题的复杂性,给问题的解决增加了难度.但在这些复杂变化的背后总是隐藏着一些没有变化的东西,那就是不变量,抓住不变量就成了解决问题的关键.

为了大家可以清晰地了解不变量在处理几何问题的便捷,在这里我简单的举两道例题来说明.

一、利用面积不等量关系的解法

例1 (2013·宁波)7张如图1的长为a,宽为b(a>b)的小长方形纸片,按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内,未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S,当BC的长度变化时,按照同样的放置方式,S始终保持不变,则a,b满足( ).

A.a=2.5bB.a=3bC.a=3.5 bD.a=4b

一般情况下的解法是:

解 左上角阴影部分的长为AE,宽为AF=3b,右下角阴影部分的长为PC,宽为a,

∵AD=BC,即AE+ED=AE+a,BC=BP+PC=4b+PC,

∴AE+a=4b+PC,即AE-PC=4b-a,

∴阴影部分面积之差S=AE·AF-PC·CG=3bAE-aPC=3b(PC+4b-a)-aPC=(3b-a)PC+12b2-3ab,则3b-a=0,即a=3b.故选B

用不变量来解题:

解 既然BC是变化的,当点P与点C重合开始,然后BC向右伸展,

设向右伸展长度为X,左上阴影增加的是3bX,右下阴影增加的是aX,因为S不变,

∴增加的面积相等,∴3bX=aX,∴a=3b.

故选B.

从上面解题过程可以得出,在动态几何教学中我们如果让学生学会用不变量来解题,学生非常容易找到等量关系,列出合适的、简便的方程,解题速度也大大加快.特别如上题作为2013年宁波数学中考的最后一题选择题,许多学生在印象中认为这题一定很难很复杂,容易产生心理上的恐惧.因此,用一般方法来解题就存在两大缺陷,第一比较费时容易使学生产生紧张心理,第二容易出现计算错误.若此题用不变量“增加的面积相等”来解此题,在中考中既安定了心神,又为后面解题引得了时间.因此,在平时教学中,我觉得让学生在动态几何中找到不变量,利用不变量来解题,是非常好的一条捷径.

二、利用面积的等量关系解题的启示

1.仔细审题,有的放矢

认真读题——俗话说得好:“读书百遍,其义自见.”对于几何语言的理解能力尚处在培养期的七年级学生而言,培养他们认真读题特别重要.它不仅是学生正确理解题意的基础,还是学生正确解决问题的根本保证.因此在几何数量关系的揭示中,涉及很多名词术语,语言叙述有顺有逆,数据显示有明显、有隐含,题目结构变化多样,因此,学生对题意的理解并非是容易的事.这就要求我们老师在训练学生读题时,要让学生学会抓关键词.

2.理解题目,理清关系.

(1)找到运动中变化的点、线、量.如上例中,我们通过审题发现,BC的长度是在不断变化的,随着此变化,左上角与右下角的阴影也是在不断变化的.

(2)找出在运动中不变的点、线、量.如上例中,小长方形的长和宽不变,左上角与右下角的阴影部分的面积的差S始终保持不变.

3.列出方程,解决问题.

在上题中,我们利用面积差S不变,那么在变化过程中,左上角和右下角增加的面积相等,以而列出“左上角增加的面积=右下角增加的面积”.

4.巩固训练,养成习惯.

叶圣陶先生说:“习惯是从实践中培养出来的,知道一点做一点,知道几点做几点.积累起来,各方面都养成习惯,而且都是好习惯,就差不多了.”在数学问题中,有许多解是符合方程的,但却不符合题意或者不符合实际生活需要,所以我们要养成验算的习惯,这样既可避免由于计算错误造成的失分,又可保证自己解题的正确性.我认为,利用面积不变量解几何动态问题还是需要一定的练习来巩固的.因此我出了下面一题来使同学们加强练习.

例2 如图,点E是边长为2的正方形ABCD的边AB的中点,点F是BC延长线的点,EF交CD与G,若四边形AEGD的面积=△CGF的面积=S,并且S△CGF÷S△BEF=(CF÷BF)2,则S=____.

一般情况下的解法是:

解 ∵四边形AEGD的面积=△CGF的面积=S,S△CGF÷S△BEF=(CF÷BF)2.

▶▶

用不变量来解题:

解 ∵四边形AEGD的面积=△CGF的面积=S,

∴△BEF的面积=正方形ABCD的面积

∴BE×BF÷2=4 ∴1×(2+CF)÷2=4

∴CF=6 ∴S=(CF÷BF)2×4=2.25

此题对于七年级学生来讲是不可能用上述的一般方法来解的,因为相似和两个未知数方程对他们来说都是没有学过的.即使九年级学生解起来也比较困难,比较花时间.但七年级的学生们用四边形AEGD的面积=△CGF的面积=S,得到△BEF的面积=正方形ABCD的面积,利用不变量来解此题,一下就轻松解决了.

通过这两道例题我们可以看到,做几何动态类的题目.往往用题目中的动点、动线是很难解决的,可是利用动态中的不变量来解题就轻松、便捷了许多.通过本文的讲解以及例题的演示,我希望这篇文章能够为大家带来益处.不过,由于个人的数学知识有限,可能对于动态几何题不变量在解题中的技巧归纳不够深入,希望在以后的学习和工作中继续完善.

(1)张保利.动态型数学问题的思考路径,《中学生数理化》,2004年16期

(2)《怎样解题》美国,数学家和数学教育家G波利亚

G

B

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