李帆,杨继锋

(华东师范大学理论物理研究所,上海200241)

核子-核子散射一圈图的手征有效场论分析

李帆,杨继锋

(华东师范大学理论物理研究所,上海200241)

采用相对论性框架下的手征有效场论，对核子-核子散射的π交换一圈图过程重要圈图进行了计算和分析,即三角图(triangle diagram s)和平面箱图(p lanar box diagram,简写为pb),并以此为基础进一步分析讨论了核子-核子散射手征有效场论的结构特点,为最终建立一个满意的核力有效场论框架做新的探索.

手征有效场论;核子-核子散射;相对论性框架;π交换

0 引言

20世纪90年代初,Weinberg最早把手征微扰论用于解决核子-核子(Nucleon-Nucleon, N-N)相互作用(核力)问题,提出了把手征微扰论用于非微扰的核子相互作用或核力领域的重要解决方法：不直接用手征微扰论来计算核子散射振幅,而是用手征微扰论来计算构造核子之间的势能(即两核子的不可约图),然后在非相对论性的Schrödinger方程或者Lippmann-Schwinger方程(LSE)框架下求解该势能的散射振幅或束缚态[1].之后Ordonez等人将这建议成功付诸实施[2].由于根据手征有效理论构造的势能的紫外奇异度随着展开阶数增加,自然需要处理重整化问题.1998年,Kap lan、Savage和W ise小组(KSW)率先指出Weinberg的方案存在自洽性问题[3],他们建议使用一套修改的幂次规则对散射振幅进行微扰展开,但实际计算显示该修改的方案并不收敛.后来又有学者利用KSW方案导出了一些低能定理,发现全部与实验数据不符[4].2000年,Eepelbaum、Glockle和Meissner小组(EGM)以及Entem-Machleidt小组采用Lepage的建议[5]，来处理Weinberg提出的方案中的非微扰发散,对核子散射相移的描述得到了令人较为满意的唯像效果[6]；然而该类方案实际上只能进行数值计算,也采用了有限的截断,仍然不是人们满意的标准场论计算处理.以上这些都是非相对论推导的处理方法,总是存在很低势能解析结构与手征幂次规则间的协调性问题；而在计算过程中需要力求兼顾手征幂次规则和正确的相对论解析行为,虽然KSW方案中也是用相对论方法计算,但是他们在一开始省略了一些东西,这样又回到了非相对论近似的方法.还有一些计算方法可参阅文献[7-21].基于以上理论,我们需要从相对论性手征微扰论出发,来分析和处理核子与核子之间相互作用的问题.文献[22]从含π与无π理论对应的角度做了初步分析,揭示了手征有效理论中核子-核子散射箱图中的一些微妙结构,为解决核力有效理论中的问题提供了新的视角.本论文沿着该方向进一步用完整的相对论方法去计算π交换核子-核子散射中重要一圈图的解析形式,深入分析核子-核子散射圈图中的微妙结构,从而为建立较为满意的核力的有效场论框架做新的努力和尝试.

1 2π交换核子-核子散射的一圈图

π介子是第一种用来描述核子之间的强相互作用的粒子,如同电磁相互作用通过电磁场交换光子一样,核子与核子之间相互作用可以通过交换π介子来描述.在交换两个或更多π介子情况下,会牵涉圈图,这意味着我们将会面对一个不平凡的问题[22].核子与核子之间的相互作用在交换2个π介子时,涉及的领头阶圈图如图1所示.从左往右第一个圈图只含有π介子传播子,形状像足球,我们把它称为足球图;后面两个图中有2个π介子传播子和1个核子传播子,称为三角图;第四个称为交叉箱图,第五个称为平面箱图,它们都是有2个π介子传播子和2个核子传播子.

图1 2π交换核子-核子散射一圈图贡献的圈图Fig.1 One-loop 2π-exchange contributions to the N-N interaction

其中,gA是轴矢量耦合常数,fπ是π介子的衰变常数.式(1)中απmπ2只与π介子质量有关,完全符合手征幂次规则,其发散可由手征抵消项减除掉,并且其对应着2π交换的势能项; αNMN2项与核子质量有关,在手征微扰论的手征极限下,核子质量通常被认为很大,是会严重破坏手征幂次规则的定域项,其完全来自于紫外非物理区域的贡献,可以根据退耦定理减除掉;αNπMNmπ是非定域的反常项,相对手征幂律而言是增强的,在非相对论性情况下,其主要对应与单π交换势的一次迭代贡献,且该项对无π有效理论接触型耦合常数C0的贡献占主导地位,由式(1)可以看出该项是平面箱图中的贡献.

2 三角图和平面箱图的计算与分析

2.1 2个三角图计算与分析

图2 2π交换的三角图Fig.2 2π-exchange triangle diagrams

三角图如图2所示.我们分别用Ta和Tb来表示图(a)和图(b)的贡献,根据相对论性费曼规则,可以得到

以及

这里

对三角图贡献的分子进行化简,分母做费曼参数化,因为三角图的贡献是图2(a)和图2(b)的和,即

进一步把积分由四维推广为D(D≡4-2ε,ε是无穷小量)维进行维度正规化之后,再做参数积分,最终可以得到三角图的贡献(详见附录A)

式(6)中ζNMN2和f(ln MN2)两项与核子质量有关,因为核子质量较大,会严重破坏手征幂次规则的定域项,其完全来自于紫外非物理区域的贡献,可以根据退耦定理减除掉;其余的均是核子-核子散射的势能项,其中ζπmπ2和f?ln mπ2?这两项与π介子质量有关,这两项是外动量的多项式形式,而且满足手征幂次规则.从式(6)可以看出,相对手征幂律增强的非定域反常项αNπMNmπ不是来自三角图的贡献.因此,在计算和分析无π有效理论接触型耦合常数C0的贡献时,不需要考虑三角图的贡献.

2.2 平面箱图计算与分析

为了进一步分析2π交换核子-核子散射的结构特点,我们再来对平面箱图进行计算分析,平面箱图如图3所示,我们用Tpb来表示平面箱图的贡献,根据相对论性费曼规则,可以得到

图3 2π交换平面箱图Fig.3 2π-exchange planar box diagram

对平面箱图贡献的分子进行化简和对其分母做费曼参数化,根据分母的形式,我们把Tpb分成4项,即

其中,T1pb的分母只有2项,即只有π介子传播子项；T1pb的贡献是核子-核子散射中的势能; T2pb和T3pb的分母有3项,即2个π介子传播子项和1个核子传播子项,与第2.1节中的三角图在分母的形式上是一样的,是我们主要关心的;而T4pb的分母有4项,即2个π介子传播子项和2个核子传播子项,T4pb的贡献非常复杂,因为我们能力有限,其具体解析形式还没有计算出来,故本文不做详细分析,在以后的研究中再做具体分析和讨论.

进一步把积分由四维推广为D维进行维度正规化之后,再做参数积分,最终可以得到平面箱图前三项的贡献(详见附录B)

3 结论

手征微扰论是核物理与低能粒子物理研究的重要方法,例如文献[21]和文献[22]所述.文献[22]中主要用非相对论近似方法进行了计算;而文献[21]中,取了核子外动量的极限情况.然而,实际情况中,核子的外动量一般不为0,所以本文则采取了外动量的情况,利用相对论方法进行了计算,相对于文献[21]和文献[22]都更进了一步,而且正确性有一定保证.例如,在计算过程中为了确保计算的正确性,对计算结果分阶段进行了验算.本文的计算结果在取外动量时,能够回到文献[21]的结果,所以可以验证本文结果的正确性.

附录

[1]WEINBERG S.Nuclear forces from chiral Lagrangians[J].Physics Letters B,1990,251(2)：288-292.

[2]ORDONEZ C,RAY L,VAN K U.Two-nucleon potential from chiral Lagrangians[J].Physical Review C,1996, 53(5)：2086.

[3]KAPLAN D B,SAVAGE M J,WISE M B.A New expansion for nucleon-nucleon interactions[J].Physics Letters B,1998,424(3)：390-396.

[4]COHEN TD,HANSEN J M.Testing low energy theorem s in nucleon-nucleon scattering[J].Physical Review C, 1999,59(6)：3047.

[5]LEPAGE P.How to renormalize the Schrödinger equation[R/OL].(1997-06-12)[2015-01-01]. http：//arxiv.org/abs/nucl-th/9706029.

[6]EPELBAUM E,GLOECK LE W,MEISSNER U G.Nuclear forces from chiral Lagrangians using the method of unitary transformation II：The two-nucleon system[J].Nuclear Physics A,2000,671(1)：295-331.

[7]YANG J F,HUANG J H.Renormalization of NN scattering：Contact potential[J].Physical Review C,2005, 71(3)：034001.

[8]YANG J F.A note on nonperturbative renormalization of effective field theory[J].Journal of Physics A：Mathe-matical and Theoretical,2009,42(34)：345402.

[9]YANG J F.Effective range expansion in various scenarios of EFT(π)[J].EPL(Europhysics Letters),2011, 94(4)：41002.

[10]YANG J F.Nonperturbative NN scattering in 3S1？3D 1channels of EFT(π)[J].Anna ls Phys,2013,339：160-180.

[11]BERNARD V.Chiral perturbation theory and baryon properties[J].Progress in Particle and Nuclear Physics, 2008,60(1)：82-160.

[12]KAISER N,BROCKMANN R,WEISE W.Peripheral nucleon-nucleon phase shifts and chiral symmetry[J]. Nu clear Physics A,1997,625(4)：758-788.

[13]KAPLAN D B,SAVAGE M J,Wise M B.Nucleon-nucleon scattering from effective field theory[J].Nu clear Physics B,1996,478(3)：629-659.

[14]WEINBERG S.Effective chiral Lagrangians for nucleon-pion interactions and nu clear forces[J].Nu clear Physics B,1991,363(1)：3-18.

[15]WEINBERG S.Nuclear forces from chiral Lagrangians[J].Physics Letters B,1990,251(2)：288-292.

[16]KAPLAN D B,SAVAGE M J,WISE M B.Two-nucleon systems from effective field theory[J].Nuclear Physics B,1998,534(1)：329-355.

[17]ELLIS P J,TANG H B.Pion-nucleon scattering in a new approach to chiral perturbation theory[J].Physical Review C,1998,57(6)：3356.

[18]BERNARD V,KAISER N,Meissner U G.Chiral dynamics in nucleons and nuclei[J].International Journal of Modern Physics E,1995,4(2)：193-344.

[19]NAGELS M M,RIJKEN TA,De Swart J J.Low-energy nucleon-nucleon potential from Regge-pole theory[J]. Physical Review D,1978,17(3)：768.

[20]ENTEM D R,FERN´ANDEZ F,VA LCARCE A.Chiral quark model of the NN system with in a Lippmann-Schwinger resonating group method[J].Physical Review C,2000,62(3)：034002.

[21]HARVEY M.On the fractional-parentage expansions of color-singlet six-quark states in a cluster model[J]. Nu clear Physics A,1981,352(3)：301-325.

[22]YANG J F.Anomalous“mapping”between pionfull and pionless EFT,s[J].Modern Physics Letters A,2014, 29(9)：1-20.

[23]MACHLEIDT R,ENTEM D R.Chiral effective field theory and nuclear forces[J].Physics Reports,2011,503(1)：1-75.

(责任编辑：李艺)

One-loop analysis of nucleon-nucleon scattering in the chiral effective field theory

LI Fan,YANG Ji-Feng
(Institute of Theoretical Physics,East China Normal University,Shanghai 200241,China)

In this paper we will analyze the important one-loop pion-exchange diagram s for nucleon-nucleon(N-N)scattering in the relativistic framework of chiral effective theory, namely the triangle diagram s and the planar box diagram.On this basis,we wish to further exp lore the structures of the chiral effective theory in order to contribute to the establishment of a satisfactory effective field theory for nuclear forces.

chiral effective field theory;nucleon-nucleon scattering;relativistic framework;π-exchange

O 41

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2016.03.008

1000-5641(2016)03-0067-09

2015-05

国家自然科学基金重点项目(11435005)

李帆,男,硕士研究生,研究方向为粒子物理和场论.E-m ail：lifan989@126.com.

杨继锋,男,副教授,硕士生导师,研究方向为粒子物理和场论. E-mail：jfyang66@126.com.