覃智君侯云鹤李大虎王 冲彭超逸文劲宇

（1. 香港大学电机电子工程系 中国香港特别行政区2. 湖北电力调度通信中心 武汉 430077 3. 强电磁工程与新技术国家重点实验室（华中科技大学） 武汉 430074）

输电网负荷恢复方案的优化计算方法

覃智君1侯云鹤1李大虎2王 冲1彭超逸1文劲宇3

（1. 香港大学电机电子工程系 中国香港特别行政区2. 湖北电力调度通信中心 武汉 430077 3. 强电磁工程与新技术国家重点实验室（华中科技大学） 武汉 430074）

提出了一种输电网负荷恢复方案的优化计算方法。首先，将负荷恢复过程建模为序贯决策，将其分解为一系列相关的步骤，每一步允许恢复的负荷量上限由前一步总的发电机出力和各发电机运行约束共同确定。每一步的目标是在潮流约束以及考虑离散负荷增量的条件下最大化负荷恢复量。然后，将每一步的决策问题建模为一个混合整数非线性规划模型，并采用分支割平面法进行求解。集成三种割平面大幅消减了分支定界树的规模。最后，通过求解一系列的优化模型以获得完整的负荷恢复方案。通过RTS 24节点和IEEE 118节点算例证明了所提算法的正确性和有效性。

负荷恢复 混合整数非线性规划 分支割平面法

0 引言

国外近十年以来的多次大停电事故均给社会经济带来巨大的冲击[1,2]。快速进行电网恢复能够显著减少停电带来的损失，因此在生成高效安全的电网恢复控制方案上进行了大量的研究。通常将复杂的电网恢复过程划分为电源恢复、网络恢复和负荷恢复三个典型阶段[3]。在此基础上，根据不同阶段所涉及的问题有针对性地设计模型和算法，形成了电网恢复方案生成的理论框架[4-7]。上述典型阶段中存在的具体技术问题，通常可以建模为优化模型进行求解。优化方法在诸如网络恢复[8,9]、电网分区[10]以及负荷恢复[11-16]等方面，均已取得很好的研究进展。

近年来，美国电力科学研究院在电网恢复方面连续资助了若干个研究项目，提出了基于目标驱动的电网恢复理论体系[17]，并以此为基础开发了实用化的电网恢复决策支持系统（System Restoration Navigator，SRN）[18]。该系统能够实现电源恢复方案的自动生成和校核。作为该理论的后续研究，本文致力于研究输电网负荷恢复方案的计算方法。

输电网负荷恢复的难点主要有以下三方面：①负荷恢复是一个耗时的多阶段决策问题，每一步的电网状态存在相互间依赖关系，其计算复杂度与时间变量相关；②负荷恢复中为了保证频率质量和电压质量，需要考虑负荷所在的位置以及允许恢复量；③高压母线负荷通常由多个馈线进行供电，馈线上的负荷是最小的调度单位。

上述三方面因素导致了负荷恢复是一个序贯混合整数非线性规划问题，计算量巨大，难以求解。

本文采用确定型数值优化方法对上述问题进行求解。为了处理序贯决策的相关性，本文将负荷恢复过程分解为一系列相关的步骤。每一步求解一个优化模型。该方法的主要流程是：

（1）通过发电机稳态模型建立相邻步骤之间的联系，每一步发电机的调节范围以及总的可恢复负荷量受上一步发电机出力以及发电机运行约束的限制。

（2）建立以最大化负荷恢复量为目标的含 0-1变量的混合整数非线性负荷恢复（Mixed-Integer Nonlinear Load Restoration, MINLR）规划模型，采用高效的算法进行求解。

（3）逐步求解一系列的 MINLR模型获得完整的负荷恢复方案。所提的模型与方法适用于离线规划电网恢复方案。MINLR模型也可单独用于辅助调度员进行在线决策。

与相关文献比较，本文所做工作的特点在于：①将负荷恢复建模为一个与时间变量 t相关的序贯优化决策，每一步考虑发电机运行约束，在算例中给出了标准测试系统的完整负荷恢复方案和总的恢复时间；②MINLR模型给出了负荷恢复过程中每个母线的负荷恢复量，以及发电机电压和功率设定值以维持有功、无功平衡；③负荷恢复的序贯决策特性以及组合特性决定了负荷恢复方案计算量非常庞大，本文给出了基于确定型优化方法的高效求解算法，适用于恢复大量停电负荷块的应用场景。

1 输电网负荷恢复方案计算方法

本节阐述输电网负荷恢复方案的总体计算方法包括三个步骤：①确定每一步中发电机的可调节范围和总的负荷恢复量上限；②建立并求解最大化负荷恢复模型；③估算每一步所需的恢复时间。这些步骤的实现细节将在下文分述。

1.1确定发电机调节范围和负荷恢复量上限

采用文献[17]的通用发电机稳态模型确定发电机的调节范围，如图1所示。对于第i台发电机，Ci是发电机容量，Ri是起动所需功率（Ri＜0），ki是平均爬坡率，ai是最小技术出力系数，tP,i是并网所需时间。

图1　通用发电机稳态模型Fig.1 Generic steady-state generator model

给定第m−1步结束时间tm−1、第i台发电机上一步有功出力以及预估的爬坡时间τ，第m步时第i台发电机有功出力上限和下限受到爬坡率以及最小技术出力的限制，按以下两式分别进行计算。

在同时合上馈线断路器恢复多个负荷时，系统频率首先会按照一次调频特性下降，直至调度员进行频率的二次调整将频率恢复到额定值。为保证频率下降在允许范围内，每一步的负荷恢复量上限受到上一步总的并网发电机出力限制，按式（3）计算。

式中，NG是发电机个数；ρ是允许恢复负荷与总的并网发电机有功出力的比例，常取5%（参见文献[19]的讨论）；()U x是任一变量x的逻辑函数，定义为

1.2建立混合整数非线性负荷恢复模型

本节所建立的 MINLR模型用于辅助调度员获得每一步中满足运行约束的最大化负荷恢复方案。第 m步中，该模型的优化变量包括：发电机有功出力和无功出力向量母线复电压向量以及停电负荷的启停状态向量（1表示在该步恢复，0表示暂不恢复）。

目标函数为

约束条件包括：

（1）负荷恢复过程中进行有功、无功调节以维持频率和电压水平，故计及潮流方程为

（2）运行约束，即所有元件均运行在限值内，即

（3）频率安全约束，即总负荷恢复不超过给定值

1.3估算每一步所需时间

本文假定所有发电机的调整可以由调度员并行进行操作，每一步所需时间由发电机爬坡时间决定。断路器操作所需时间以及线路恢复所需时间暂不计及（这部分时间主要由物理模型决定，与数学模型关联性较低）。第m步所需时间可表示为

1.4负荷恢复方案计算流程

综上可得计算负荷恢复方案的流程如下：

（1）确定电网初始状态，设置t =0，m =1。

（2）按照式（1）～式（3）计算发电机出力范围和负荷恢复总量上限。

（3）建立到负荷母线的路径，若有支路存在功率越限风险则进行必要的合环操作，更新导纳矩阵。

（4）按式（5）～式（11）构造MINLR模型并求解。

（7）如果所有停电负荷块已恢复则停止，输出负荷恢复方案以及恢复所需时间t；否则转步骤（2）。

2 分支割平面法求解MINLR模型

计算完整的负荷恢复方案需要求解一系列的MINLR模型，所需的计算量非常庞大。

本文采用分支割平面法（Branch-and-Cut, B&C）求解MINLR模型。采用该方法出于以下考虑：

（1）该方法求解混合整数优化主要依赖于求解对应的松弛子问题，在本文中即求解含连续可调度负荷（将u松弛为[0, 1]之间连续变化）的最优潮流问题，这个问题易于求解。

（2）该方法在求解混合整数线性规划问题中得到了广泛的应用，能够大幅缩减分支树的规模[20]。考虑到 MINLR模型中整数部分与非线性部分相对独立（见式（6）和式（11）），故采用集成割平面法来求解MINLR模型。

2.1分支割平面法框架

分支割平面法的基础是由A. H. Land和A. G. Diog提出的分支定界算法（Branch-and-Bound, B&B）[21]。B&B算法的基本思想是将整数变量松弛为连续变量，求解该松弛问题（称为根节点）获得原最大化模型的上界U。若松弛问题最优解不满足整数约束，则对某一个整数变量的可行域进行切分，形成两个新的松弛子问题（称为子节点）进行求解。切分过程持续进行直至子节点满足以下条件之一：

（1）该节点满足整数约束，则该节点的最优值为原最大化问题的下界L。

（2）该节点无可行解。

（3）该节点最优解小于当前获得的下界L。

分支割平面算法是在 B&B的基础上加入割平面。割平面有助于快速减少 Gap，大幅缩减分支树的节点数。本文采用的基于深度优先的 B&C算法的流程如图2所示。

图2　分支割平面算法流程Fig.2 Flow chart of branch-and-cut method

2.2用于消减分支树的割平面算法

本文在上述框架中采用了如下割平面方法。

2.2.1归整割平面

式（11）对应的有效归整割平面计算方法为

2.2.2背包割平面

2.2.3固定变量割平面（fixing variable cut）

固定变量的基本思想是：当对某个整数ui变量进行分支后，若存在若干显见的uj必须等于1（或等于 0）才满足可行性，则在分支后的后续节点中强制uj必须等于1（或0）。

2.3分支变量的选择方法

除了集成割平面，选择恰当的分支变量也可以大幅缩减分支树的规模。本文主要比较如下两种便于计算的分支变量选择方法[22]。

2.3.1最大分数

该方法选择最靠近 0.5的 0-1变量进行分支，按式（14）进行选择。

2.3.2伪代价

该方法选择对目标函数影响最大的变量进行分支。对于本文的MINLR模型，按式（15）进行选择。

将上述两种算法的效率在算例分析中进行对比。

3 算例分析

所提方法在Matlab 2013a下编程实现，测试电脑配置3.4GHz的i7处理器和6.0GB内存。采用RTS 24节点系统和IEEE 118节点系统进行分析。

3.1RTS 24节点算例

该算例包括三个部分：①给出完整的负荷恢复方案；②展示 MINLR模型的计算复杂度，说明引入割平面可以大幅提升B&B算法效率；③说明ε对控制总体计算复杂度的作用。

3.1.1计算设置

RTS 24节点系统包括24个交流母线（其中有10个母线连接了发电机，有17个母线连接了负荷）、29回交流线路、5台变压器、1个电抗器和1个同步调相机。本文将同一母线下的发电机组等值为 1台发电机。母线22的等值水轮机作为黑启动电源。其余等值发电机视为非黑启动电源。详细的系统参数（包括线路容量）参见文献[23]。

负荷恢复的初始状态（即黑启动以后的电网状态）根据文献[17]所提算法由SRN软件计算所得。该状态下发电机参数，发电机初始状态以及初始带电支路分别见表1～表3。

假定每个负荷母线连接10个均等的负荷块。本算例的目标就是在表2和表3给定的初始状态下将170个负荷块进行恢复操作。每一步结束后所有母线的稳态电压维持在0.95(pu)～1.05(pu)之间。设置

表1 RTS 24节点系统发电机参数Tab.1 Parameters of generators in RTS 24 bus system

表2　RTS 24节点系统发电机初始状态Tab.2 Initial states of generators in RTS 24 bus system

表3　RTS 24节点系统初始带电支路Tab.3 Energized branches before load restoration in RTS 24 bus system

3.1.2负荷恢复方案

完整的负荷恢复方案根据前述流程逐步进行计算。假定发电机无功调节范围与有功调节范围无关，按照表1的第4列进行设置。设定ε=0.01。计算所得的恢复方案包括57步，恢复所需时间为403.7min。每一步结束后各母线恢复的负荷水平如图3所示。全网负荷水平恢复曲线如图4所示。

图3　RTS 24节点系统母线负荷恢复曲线（　0.01ε=　）Fig.3 Restored load level of RTS 24-bus system(　0.01ε=　)

图4　RTS 24节点系统全网负荷水平变化曲线Fig.4 Aggregate load level curve of RTS 24-bus system

负荷恢复初始状态下带电支路构成了无环树型结构，仍有部分负荷母线不带电。因此在负荷恢复过程需要进行必要的网络操作。每一步进行的网络操作见表 4。进行这些操作的主要原因是：①负荷恢复过程中树支功率逐渐增加，为了减少过负荷的风险，对连支进行充电，然后进行合环操作（连支的选择算法参见附录）；②建立带电网络到负荷母线的通路（参见文献[17]的Algorithm 2）。

表4　RTS 24节点系统网络恢复操作Tab.4 Network operation within steps of RTS 24 bus system

从第51步开始时投入同步调相机，此后该调相机都作为连续调节无功电源（调节范围见文献[23]）。

3.1.3算法效率分析

若不集成割平面，求解 MINLR模型的计算复杂度会大幅提高。以第1步为例，不增加割平面时分支树节点多达4 000～5 000个。增加割平面后，分支树节点下降到3个。不同求解策略下分支树节点数参见表5。

表5　RTS 24节点系统第1步的计算复杂性Tab.5 Computational complexity of step 1 of RTS 24 bus system

3.1.4控制分支树规模

尽管割平面方法能够大幅缩减分支树的规模，但是计算完整的负荷恢复方案仍需进行大量计算。上述完整的负荷恢复方案采用本文所提分支割平面算法进行计算，累计的分支树节点数达到82 597个，CPU计算时间为6 743s。由此可见，即使对小规模电网，考虑序贯约束时，获得完整负荷恢复方案所需的计算量非常巨大。

为了进一步缩减分支树的规模，可以放宽计算停止阈值ε。设置0.1ε=再次进行计算，所得的负荷恢复方案包括58步，恢复所需时间为370min。母线负荷恢复曲线如图5所示。该方案总的分支树节点数降为2 340个，计算量降低为0.01ε=的2.8%。

对比分析可知，本文所提的方法不满足贝尔曼动态最优原理，每一步的最优性与全过程的最优性无关。但从计算复杂度的角度来看，本文所提方法具有伸缩性，通过合理设置ε 的取值可获得计算复杂度与最优性之间的平衡。

3.2IEEE 118节点算例

IEEE 118节点系统在正常状态下总负荷水平为3 668MW。网络部分参数参考文献[24]所列。发电机有功、无功的上、下限以及爬坡率参考文献[25]所列。该系统有91个负荷母线。假定所有负荷母线的负荷由10个均等的负荷块构成。负荷恢复初始状态假定为负荷损失70%（每个负荷母线损失7个负荷块）。负荷恢复的目标是快速恢复637个停电负荷块。

所有母线的稳态电压要求维持在 0.85(pu)～1.05(pu)之间。设置15τ=min，5%ρ=，0.01ε=。为了控制CPU计算时间，当一步中分支树节点数超过1 500时终止该步计算，即负荷恢复过程计算失败。

采用最大分数分支方法，由于某一步分支树节点超过 1 500个，计算失败。采用伪代价分支方法并结合 2.2节所述的割平面方法可获得完整的负荷恢复方案，总分支树节点数为2 343个，CPU计算时间为12min。

该方案包括25步，恢复所需时间为106min。全网负荷水平恢复过程，每一步分支树节点数和每一步恢复的负荷块数目，分别如图6和图7所示。

图6　IEEE 118系统全网负荷水平变化曲线Fig.6 Aggregate load level curve of IEEE 118-bus system

图7　IEEE 118系统每一步恢复的负荷块数与每一步计算的分支树节点数Fig.7 Number of restored load increments vs. nodesin B&B tree of each step of IEEE 118-bus system

3.3关于算法效率的讨论

负荷恢复的计算复杂度与时间变量 t相关。从图7中第8步与第9步相比，恢复相同数目的停电负荷所需计算量相差5倍。负荷恢复初期的计算复杂度往往比恢复后期的计算复杂度高。由此可见，需要从负荷恢复的完整过程来考察算法的性能。

对IEEE 118节点算例而言，平均每次OPF计算所用CPU计算时间仅为0.3s。算法的整体效率主要取决于能否缩减分支树的节点数。本文采用的分支变量选择方法与割平面方法相结合，能够有效控制维数灾问题，大幅提高了算法的计算效率。

4 结论

建立了输电网负荷恢复方案的优化计算方法。该方法通过发电机稳态模型对负荷恢复的序贯特性进行建模，建立了最大化负荷恢复的优化模型MINLR。针对求解MINLR模型计算量大的难点，提出了基于分支割平面的高效率求解算法，通过包含637个停电负荷块（即637个0-1变量）的算例证明了算法有效性。

附 录

以下给出与越限树支构成环路的连支的选择方法。

（1）首先设置所有支路的权值：将已经恢复的支路权值设置为a；然后设置越限树支的权值为M，待恢复连支的权值为b，三者关系满足0

（2）形成包含所有节点和支路的加权图。

（3）寻找从越限树支首端到末端的最短路径。该路径中所包含的待恢复支路即为合环操作所需的连支。

以附图1所示连接图为例。假定树支EF越限，按图所示支路权值搜索从 E到 F的最短路径为 E-D-F，该路径权值为4。故合环所需恢复的连支为支路DF。

附图1 连支选择实例App. Fig.1 Example for selecting link branch

在实际恢复的过程中，可以通过对待恢复支路设置不同的权值以实现特定的选择目的，如选择充电功率最少的路径，或者尽可能避免对变压器进行充电等。

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Optimization Method for Constructing Load Restoration Strategy of Transmission Systems

Qin Zhijun1Hou Yunhe1Li Dahu2Wang Chong1Peng Chaoyi1Wen Jinyu3
（1. Department of Electrical and Electronic Engineering The University of Hongkong Hongkong China 2. Hubei Electric Power Dispatching and Communication Center Wuhan 430077 China 3. State Key Laboratory of Advanced Electromagnetic Engineering and Technology Huazhong University of Science and Technology Wuhan 430074 China）

This paper proposes an optimization based method to construct load restoration strategy for transmission systems. Firstly, the load restoration process is divided into a sequence of co-related steps. In each step, the total amount of load pickup is restricted by the synchronized generation and the operational constraints of each generator. The objective in each step is to maximize the load pickup. Secondly, the maximum load pickup problem is formulated as a mixed-integer nonlinear load restoration (MINLR) model and solved via a branch-and-cut (B&C) framework. The Gomory rounding cut, the knapsack cover cut, and the fixing variable cut are incorporated into each node of the enumeration tree to reduce the scale of the sub-trees. Thirdly, the load restoration strategy is obtained by solving a number of MINLR models till all load increments are restored. The RTS 24-bus system and the IEEE 118-bus system are used to illustrate the efficiency of the proposed method.

Load restoration, mixed-integer nonlinear programming, branch-and-cut method

TM744；TM732

覃智君 男，1977年生，博士研究生，研究方向为电网恢复控制。

E-mail: zjqin@eee.hku.hk（通信作者）

侯云鹤 男，1975年生，助理教授，研究方向为电力系统运行分析、电网恢复控制。

E-mail: yhhou@eee.hku.hk

国家自然科学基金（51277155），香港研究资助局基金（GRF17202714、ECS739713），美国电力科学研究院研究基金（EP-P35424/C16059）和湖北电力调度通信中心研究项目资助。

2014-04-22 改稿日期 2014-08-10