程贝贝， 胡志兴， 廖福成

(北京科技大学 数理学院， 北京 100083)



具有潜伏期和饱和CTL增长率的病毒感染模型的稳定性分析

程贝贝， 胡志兴， 廖福成

(北京科技大学 数理学院， 北京 100083)

摘要:健康细胞被病毒感染后先进入潜伏期， 处于潜伏期的感染细胞能逃避CTL免疫作用， 并且当CTL免疫细胞的浓度很高时， CTL增长率会达到饱和. 据此建立了一个具有潜伏期和饱和CTL增长率的病毒感染动力学模型. 利用适当的Lyapunov泛函和LaSalle不变原理证明了无病平衡点的全局渐近稳定性； 讨论了染病平衡点局部渐近稳定的充分条件， 并且研究了在染病平衡点处Hopf分支的存在性. 利用数值模拟验证了以上结论.

关键词:潜伏期； CTL免疫反应； 时滞； 稳定性； Hopf分支

0引言

近些年， 病毒感染模型引起了学界广泛的关注[1-11]. 在HIV-I， HTLV-I， HBV等病毒感染的过程中， T淋巴细胞通过作用于病毒感染细胞而在抗病毒防御机制中起重要作用， 它们是限制病毒在体内复制的主要宿主免疫因子. 因此， 在过去的十多年里具有CTL免疫反应的病毒感染模型获得了大批学者的重视[7-11]. 描述病毒种群与CTL免疫反应间相互作用的基本模型包含了4个变量：未感染细胞x(t)， 病毒感染细胞y(t)， 病毒粒子υ(t)， CTL免疫细胞z(t). 基本模型见文献[11].

为了更准确地描述病毒感染的动力学特征， 本文研究了一类具有潜伏期， 饱和感染率， 饱和CTL增长率(m=n=1)以及免疫反应时滞的五维模型

(1)

式中：x(t)，w(t)，y(t)，υ(t),z(t)分别表示未感染细胞， 处于潜伏期的感染细胞， 病毒感染细胞， 病毒粒子， CTL免疫细胞的浓度； 参数d，η，a，k，b分别表示未感染细胞、 处于潜伏期的感染细胞、 病毒感染细胞、 游离病毒粒子、 CTL免疫细胞的死亡率；λ为未感染细胞的生成速率；β为有效接触率；δ，q分别为处于潜伏期的感染细胞恢复为正常细胞的速率以及变为活性感染细胞的速率；p为CTL免疫清除速率；N为每个活性感染细胞产生病毒粒子的平均个数；c为已感染细胞激发产生CTL免疫细胞的速率. 以上参数均大于零.τ表示从抗原受到刺激到产生CTL免疫细胞的时间[12]， 并且τ≥0.

系统(1)的初始条件为

(2)

1无病平衡点的全局稳定性

若R0>1， 系统(1)有唯一的染病平衡点E1=(x1,w1,y1,v1,z1)， 其中

其中,y1是下面关于y的等式的正实根

在研究系统(1)的稳定性前， 先证明系统(1)的解是有界的.

关于E0的稳定性， 有如下结论：

定理 2若R0<1， 则无病平衡点E0是全局渐近稳定的.

证明当R0<1时， 定义一个Lyapunov 泛函如下

2正平衡点的稳定性和Hopf分支

系统(1)在平衡点E1处的特征方程形如

(3)

其中

A1=R+P+k+b,

A3=bP(k+R)+k(b+P)R+Q(b+P+k)-qMNa,

A4=Q[(b+k)P+kb]+kbPR-qMNa(b+d), A5=QPkb-qMNabd,

定理 3τ=0时， 若R0>1，k≤min{b,d}， 则染病平衡点E1是局部渐近稳定的.

证明若τ=0， 则式(3)可化为

(4)

经过计算可得

QR+(P+b)B2+A1(k+P+b)R+qMNa+

Δ5=(A5+B5)Δ4， 因为qMNa

kbPG(η+q)+QkB2>0,又Δ4>0， 所以Δ5>0.

综上， 由Routh-Hurwitz判别准则得， 在定理3的条件下式(3)的所有根均具有负实部. 证毕.

随着τ的增大， 一些根可能会穿过虚轴到达虚轴右侧， 则平衡点E1就不稳定了. 下面来研究式(3)纯虚根的存在性.

假设s=ωi(ω>0)是(3)的一个根， 可得

分离实部和虚部， 可得

(5)

由式(5)可得

(6)

(7)

(8)

(9)

证明将式(3)关于τ求导得

所以

(10)

应用定理3和定理4及Hopf分支定理， 可得

定理 5当R0>1， 且k≤min{b,d}时，

1) 若式(7)无正实根， 则对任意的τ≥0正平衡点E1是局部渐近稳定的.

证明由上面的讨论， 1)显然成立.

3数值模拟

首先， 选取参数值λ=2,d=1,β=12,α=1,δ=10,η=1,q=10,a=1,p=1,n=2,k=50,c=1,γ=0.1,b=3. 通过简单计算可知基本再生数R0=0.457 1<1， 且无病平衡点为E0=(2,0,0,0,0). 因此， 由定理2，E0是全局渐近稳定的. 图 1 验证了这一结论.

图 1　E0的稳定性Fig.1　Stability of E0

图时， E1的稳定性Fig.

图时， E1的稳定性Fig.

4结论

参考文献:

[1]Nowak M A, Bangham C R. Population dynamics of immune responses to persistent viruses[J]. Science, 1996, 272(5258)：74-79.

[2]Perelson A, Neumann A, Markowitz M, et al. HIV-1 dynamics in vivo：virion clearance rate, infected cell life-span, and viral generation time[J]. Science, 1996, 271(5255)：1582-1586.

[3]Perelson A, Nelson P. Mathematical models of HIV dynamics in vivo[J]. SIAM Rev, 1999, 41(1)：3-44.

[4]Leenheer P D, Smith H L. Virus dynamic：a global analysis[J]. SIAM J Appl Math, 2003, 63(4)：1313-1327.

[5]Song Xinyu, Neumann A U. Global stability and periodic solution of the viral dynamics[J]. Math Anal Appl, 2007, 329(1)：281-297.

[6]ZhuHuiyan,ZouXingfu.ImpactofdelaysincellinfectionandvirusproductiononHIV-1dynamics[J].MathMedBiol, 2008, 25(2)：99-112.

[7]CulshawRV,RuanSG,SpiteriRJ.OptimalHIVtreatmentbymaximisingimmuneresponse[J].MathBiol, 2004, 48(5)：545-562.

[8]WangKaifa,WangWendi,LiuXianning.Globalstabilityinaviralinfectionmodelwithlyticandnonlyticimmuneresponses[J].ComputMathAppl, 2006, 51(9-10)：1593-1610.

[9]JiYu,MinLequan,ZhengYu,etal.AviralinfectionmodelwithperiodicimmuneresponseandnonlinearCTLresponse[J].MathComputSimulation, 2010, 80(12)：2309-2316.

[10]WangXia,TaoYoude,SongXinyu.GlobalstabilityofavirusdynamicsmodelwithBeddington-DeAngelisincidencerateandCTLimmuneresponse[J].NonlinearDyn, 2011, 66(4)：825-830.

[11]WordarzD,KrakauerDC.DefiningCTL-inducedpathology：implicationsforHIV[J].Virology, 2002, 274(1)： 94-104.

[12]HassardBD,KazarinoffND,WanYH.TheoryandapplicationsofHopfbifurcation[M].Cambridge：CambridgeUniversityPress, 1981.

文章编号：1673-3193(2016)04-0335-05

收稿日期：2015-06-11

基金项目：国家自然科学基金资助项目(61174209)； 北京科技大学冶金工程研究院基础研究基金资助项目(YJ2012-001)

作者简介：程贝贝(1990-)， 女， 助教， 硕士， 主要从事生物数学的研究.

中图分类号:O175.13

文献标识码:A

doi:10.3969/j.issn.1673-3193.2016.04.003

Dynamics Analysis of a Viral Infection Model with Latent Infection and Saturation CTL Proliferation Rate

CHENG Bei-bei， HU Zhi-xing， LIAO Fu-cheng

(School of Mathematics and Physics， University of Science and Technology Beijing， Beijing 100083， China)

Abstract:A state of latent infection can be established in cells and these latently infected cells are capable of abrogating CTL recognition. The CTL proliferation rate often saturates at high CTL concentration. Thus， a viral infection model with latent infection and saturation CTL proliferation rate is investigated. By suitable Lyapunov functional and the LaSalle's invariance principle， the global stability of the uninfected equilibrium is first proved. Then， the sufficient conditions to the local stability of the infected equilibrium are presented, and the existence of Hopf bifurcations at the infected equilibrium is also studied. Numerical simulations are carried out to support the obtained main results.

Key words:latent infection； CTL immune response； delay； stability； Hopf bifurcation