李逢源，韩建民，许建国，杨智勇

(1.北京交通大学机械与电子控制工程学院，北京　100044；2.中国中铁电气化局集团有限公司，北京　100036)



整锚段接触网吊弦长度的三维稳态模型

李逢源1，韩建民1，许建国2，杨智勇1

(1.北京交通大学机械与电子控制工程学院，北京100044；2.中国中铁电气化局集团有限公司，北京100036)

摘要：为了减少吊弦长度计算误差、严格控制导高、改善受流质量，提出一种用于整体吊弦精确计算的三维稳态模型。基于二维精确索单元，将X-Y，X-Z两计算平面耦合，得到三维索单元。基于有限元理论，采用三维索单元离散接触网结构；根据接触网的拓扑结构关系组装刚度矩阵，根据地理信息、测量信息和设计参数等组建边界条件；建立并使用迭代法求解整体的非线性平衡方程；根据求解结果建立接触网三维图形并输出整体吊弦长度。将计算的整体吊弦长度与现场数据对比，中间柱计算误差小于2.0‰，转换柱计算误差小于3.5‰，验证本三维模型和构建方法的有效性。

关键词：电气化铁路；接触网；三维索单元；索网找形；吊弦长度

高速铁路对弓网受流质量提出更高的要求，意味着接触网系统中接触网悬挂安装精度要求也更为严格[1]。整体吊弦的精确计算是保证安装精度的基础，也是高速铁路接触网结构预制计算和弓网关系的核心技术之一。整体吊弦的作用是连接具有空间驰度特征的承力索、弹性吊索和具有“之”字形走向的接触线，其精确计算具有空间复杂性和参数多样性。整体吊弦的计算方法有载荷均布法、力矩平衡法、负驰度法和索网找形法[2]。

(1)载荷均布法以两悬挂点之间的悬索为计算区间，由承力索承载负重，利用几何关系求解吊弦长度；

(2)力矩平衡法以两悬挂点之间的悬索为计算区间，利用系统内部任一点合力矩为零求解吊弦长度[3]；

(3)负驰度法是以整锚段的悬索为计算区间，简化计算至二维垂直面，将负载和悬挂力以驰度形式叠加在初始驰度上，由各悬挂点导高构成的最终驰度反推吊弦长度[4]；

(4)索网找形法是以整锚段的悬索为计算区间，构建有限元单元矩阵，通过不断迭代更新未知量的值，最终满足预设平衡条件[5-6]。

索网找形法是目前吊弦精确计算的主要研究方法，该方法在重载悬索桥的结构分析[7]上被提出，并被引入吊弦计算领域。国内外有很多研究学者在吊弦二维平面计算领域取得了较好的进展，但实际应用时，线路曲线和线路纵坡对结果影响很大；有些先进学者也尝试开展三维空间吊弦计算[8-9]，但基本单元参数众多，过程迭代较为繁琐。

本文是属于索网找形法范畴内的吊弦长度精确计算方法，根据预设参数(如吊弦分布、弹性吊弦布置、集中载荷布置等)构建接触网几何拓扑关系，利用有限元单元法对整锚段接触网悬挂系统进行离散，采用空间抛物线单元建立整体刚度矩阵，以地理信息(如线路曲线、线路纵坡等)和测量信息(如支柱斜率、跨长、腕臂高度等)为约束条件，构建结构平衡方程；运用非线性有限元中的迭代求解方法，求解并建立整体接触网的三维稳态模型。用三维单元迭代求解，克服地理信息对计算结果的影响；用抛物线单元迭代求解，也可获得较高的计算精度。采用算例计算吊弦长度，并与现场数据对比，验证本方法的收敛性和准确性。基于高精度的接触网物理模型，可进一步开展整体吊弦精确安装[10]，接触网风致舞动影响[11]和设计风速精确计算[12]等的深入研究。

1悬索结构三维找形的基本单元

接触网系统中包含接触线、承力索、弹性吊索和吊弦等悬索和线夹、定位器、电连接等附加重力，其物理模型分别如下。

(1)悬挂线索具有张力和跨距等特征参数，故承力索、接触线和弹性吊索采用索单元模型，吊弦属于柔性线索且整体处于线性状态，其刚度对整体吊弦计算结果的影响和其自重对自身线性状态的影响都几乎可以忽略不计，故吊弦按与坐标增量相关的附加载荷模型处理。

(2)附加重力具有位置和总重等特征参数，故线夹和电连接等采用集中载荷模型，分布在索单元结点上，其中线夹可视为距离特殊的附加载荷；复合绝缘子和分相绝缘子等采用局部载荷模型，均布在单元上。

图1为一跨接触网悬挂的示意图。接触线和承力索张力分别为Tj、Tc，结构高度为SH，整垮长度Li，在X方向上的划分的间距有l1，l2，…，li，…，ln。

(左为弹性链型悬挂，右为简单链型悬挂，黑色三角为腕臂“固定”点，空心圆为吊弦悬挂点)图1　一跨接触网的示意

(1)

使用分解和高斯消元法求解平衡方程得初解后，运用牛顿迭代快速非线性平衡方程的精确解，即可得到接触网吊弦的精确长度。本节对抛物线索单元进行三维推导和Matlab编程。

1.1索单元的二维模型

一般地，索单元有如下假设：

(1)悬索是理想柔性体，不承受弯矩和扭矩；

(2)悬索材料遵守胡克定律；

(3)悬索的载荷方向在索曲线所属的平面内。

索单元的假设条件构建了一类传递索间张力的单元模型，其基本思想是悬索的张力和外部载荷的叠加与悬索形成的结构形状一一对应。典型的单载荷的索单元示意见图2[13]。

整体是二维平面内1、2两点之间的一段悬索，L是悬索在X方向的长度；x1、x2、z1、z2分别是悬索在X轴、Z轴上的坐标；Fx1、Fx2、Fz1、Fz2分别是悬索在X轴、Z轴上的端点分力；qz是悬索在X方向的载荷。端点分力和载荷均以坐标轴同向为正方向。

根据垂向载荷qz是否沿索长分布将问题划分成线性和非线性两类，见表1。

图2　典型的单载荷索单元

问题性质qz单元类型特征线性q0抛物线载荷沿坐标轴X方向均布非线性q01+(z')2悬链线载荷沿索长S方向均布

两种单元都是常用的线性精确索单元，抛物线单元和悬链线单元的载荷分别沿坐标轴X方向和索长S方向均布[14]。

考虑到在高速列车行进方向上，导高变化浮动很小，即可认为接触线单元的z′≈0；在单元长度L较小时，承力索单元和弹性吊索单元在Z轴方向的浮动较大，不可近似视为z′≈0，故采用抛物线单元和悬链线单元作为基本单元。

抛物线单元形函数为

(2)

式中，1、2泛指所描述单元的两结点，下同。

(3-1)

(3-2)

式中，q0表示垂向载荷；T0表示索单元截面拉力的水平分量，下同。

悬链线单元形函数为

(4-1)

(4-2)

两端结点力大小分别为

(5)

两种索单元刚度矩阵与X、Z方向相关，但输出的端点力仅与Z方向相关，其可视为将平面内的二维问题降为一维问题。在仅存在垂向载荷的条件下，结点力的水平分力大小等于悬索张力，结点力的垂直分力大小为单元输出值，其精确程度与单元加密程度相关。

1.2索单元的三维扩展

本文提到的2种二维索单元是针对同一平面内的悬索进行计算的，其模型具有局限性。

(1)结构拓扑局限：当悬挂类型为直链型悬挂时，可通过变换矩阵坐标保证整体吊弦计算精度，但当悬挂类型为半斜链型悬挂和斜链型悬挂时，由于各线索不在同一铅垂面内，只能做投影近似计算。

(2)边界条件局限：当计算区间位于曲线线路和曲线纵坡时，由于地理位置造成垂直计算平面的边界条件，只能忽略或近似处理。

在实际线路的吊弦计算中，采用二维索单元解得的整体吊弦长度精度较低，尤其距第一吊弦越近的吊弦长度，其计算误差越大。参考矢量合力和矢量位移在三维坐标轴方向的分解法则，提出用与水平面与铅垂面耦合求解的方法构建三维索单元，接触网系统的主载荷沿重力方向，故Y向恒采用抛物线单元进行构建，其整体构建思路如下。

(1)在每个计算点建立相对坐标系。以两轨顶连线中点在低轨轨顶平面的投影为相对坐标系的原点，轨道切线的前进方向为X轴，重力方向为Z轴，Y轴方向由惯性系右手定则得出。接触网系统在列车行进的方向S上规律排布，最小重复单元为跨，见图3。

图3　一跨接触网的三维示意及悬挂点合力分解

(2)在相对坐标系下建立三维索单元。根据接触网稳态模型边界条件qx=0、qy=0、qz=q0和矢量力的分解法则，则有

(6-1)

(6-2)

其中，T0表示由于坠砣自重产生的悬索张力大小；x表示单元长度在x轴的投影，Δy和Δz含义类同；i表示X轴或Y轴或Z轴方向；FTi表示矢量张力T在i轴的分量。

以式(6)为组建方程，将二维抛物线单元按X-Y，X-Z两方向合成并构建三维索单元，基于式(3)有

(7-1)

其中单元刚度矩阵

(7-2)

同样的，将二维悬链线单元按X-Y，X-Z两方向合成并构建三维索单元， 基于式(5)有

(8)

其中单元刚度矩阵

(9)

2接触网系统的有限元单元法

2.1整锚段接触网系统的离散和集成

接触网系统由承力索组和接触线组两部分构成，承力索组包括承力索及其附属线夹、弹性吊弦及其附属线夹、吊弦和附加重力，接触线组包括接触线及其附属线夹、定位器和附加重力。两者采用统一的单元划分和命名法则：悬挂点、接触点和集中载荷点必是单元结点；单元的X向长度不超过0.5 m。

接触网系统的各组成部分构建方法如下。

(1)接触线、承力索和弹性吊索：接触线、承力索和弹性吊索在求解初值时采用抛物线单元，在迭代求解精确解时采用悬链线单元，按已划分好的单元大小构建整体刚度矩阵，其中单元结点位于悬索截面的几何中心。

特别的，在不同悬索类型的集成过程中，存在因实际安装或设计需要等因素而造成相邻索单元结点不共点的情况，如图4所示，其中计算点的偏移距离为Lc。

图4　承力索和弹性吊弦连接线夹截面示意

图4所示主要影响悬索张力沿重力方向分解的大小，采用的有限元单元尺寸越小，计算中心不共点情况引起的偏差越大，整体计算精准性越差。故弹性吊索的结点力可修正为

(10)

其中，knn和kmm分别是刚度矩阵中第n和第m单元结点对应的主对角线上的值。

(2)吊弦：其属于柔性线索且吊弦整体处于线性状态，构成线性迭代的增量，吊弦重力表达式

(11)

采用简单迭代法进行公式变换，收敛速度为线性

(12)

即

(13)

其中增量

(14)

式(9)～式(11)中，下角标为“c”“j”“t”和“d”分别表示“承力索”“接触线”“弹性吊索”和“吊弦”，右上角标“(e)”表示第e次迭代，字符上方的“～”表示迭代过程中的已知值，下同。

(3)附加重力：分为两类，一类属于均布载荷，直接叠加在悬索的米重q0。特别的，悬索采用抛物线单元时，需叠加线索本身重力；一类是属于集中载荷，按力矩平衡原理进行分解叠加

(15)

式中，L=l1+l2。

(4)集成平衡方程：按图1所示的拓扑结构，将离散的单元集成式(1)所示平衡方程。

2.2整锚段接触网系统的迭代算法

平衡方程式(1)可写成

(16)

(17)

(18)

式(18)是平衡方程的迭代关系式，以二阶平方速度收敛，解决了式(16)无法直接求解的问题。接触网系统实际计算时，抛物线单元是建立在吊弦重力基础上，从直角边米重逐渐加大向斜边米重直到收敛的迭代方式；悬链线单元是建立在抛物线初解基础上，从载荷沿X轴方向逐渐加大至沿悬索S方向直到收敛的迭代方式。两次迭代均有现实物理意义，是一个单调稳定收敛的过程，其求解流程见图5。

图5　平衡方程求解流程

3吊弦计算和方法验证

3.1吊弦计算的参数条件

在接触网勘察设计中，设计人员致力于降低接触线沿行车方向垂直跳动，从而降低或避免受电弓与接触线之间的离线烧蚀。显然，接触线的垂直跳动和同轴度与吊弦长度是否合适直接相关。

在接触网的初始稳态条件下，使用所述方法计算各个吊弦的长度，并与现场数据作比较，以吊弦长度为依据验证本方法的准确性和接触网模型的有效性。表2给出了接触网的物理参数，表3、表4分别给出了计算区间所述的线路曲线和线路纵坡。表中涉及竖曲线采用的是抛物线，不涉及连续短坡竖曲线；涉及的缓和曲线采用的是铁路常见的三次螺旋曲线[15]

(19)

式中，R为曲线半径；l0为缓和曲线长。

表2　吊弦整体计算的参数值

注：l1、n和CWH分别指第一吊弦间距、吊弦数和导高，下同。

表3　接触网计算区间所属的线路曲线

表4　接触网计算区间所属的线路纵坡

3.2吊弦长度的精度验证

计算区间为K282+222～K283+627，根据各表数据和现场测量数据展开整体吊弦计算，根据迭代计算结果绘制的立面如图6所示。以左侧0 m数据为起点的曲线为线路纵坡曲线，以5.9 m数据为起点的曲线为接触线，以7.5 m数据为起点的多峰曲线为承力索。

图6　接触线计算系统图像输出(立面)

中间柱和转换柱为两类锚柱，分别进行横向差异比较。中间柱、转换柱附近的吊弦计算结果对比分别见表5、表6。表中的现场测量数据满足《客运专线铁路电力牵引供电工程施工技术指南》的要求。其中，中间柱的计算最大误差小于2.0‰，转换柱最大误差小于3.5‰。

表5　本方法计算的中间柱附近的吊弦长度与现场长度对比

注：差别=(本方法计算长度-现场长度)/现场长度，下同。

表6　本方法计算的转换柱附近的吊弦长度与现场长度对比

4结论

(1)以三维索单元为基础，依据接触网的拓扑结构建立刚度矩阵，根据地理信息、测量信息、设计信息等作为边界条件，利用迭代关系求解平衡方程，进而获得每个计算点的受力大小和位置。

(2)计算的吊弦长度与现场长度结果相近，尤其是中间柱计算结果，证明本方法有效且具有一定的工程价值。

(3)本方法为二阶平方收敛，其构造思路和探究方法可为后续分析接触网和受电弓相互作用等研究提供参考。

本文介绍了一种基于三维索单元的电气化铁路接触网有限元找形方法，其思路是根据接触网的拓扑结构建立刚度矩阵，根据地理信息、测量信息、设计信息等作为边界条件，利用迭代关系求解平衡方程，进而获得每个计算点的受力大小和位置的方法。其计算的吊弦长度与现场长度结果相近，尤其是中间柱计算结果，证明本方法有效且具有一定的工程价值。本方法为二阶平方收敛，其构造思路和探究方法可为后续分析接触网和受电弓相互作用等研究提供参考。

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收稿日期：2015-11-06； 修回日期：2015-11-18

基金项目：中国铁路总公司科技开发计划(2014J013-A)

作者简介：李逢源(1991—)，男，硕士研究生，主要从事轨道材料和电气化铁路研究工作，E-mail：13121302@bjtu.edu.cn。

文章编号：1004-2954(2016)07-0134-06

中图分类号：U225.1

文献标识码：A

DOI:10.13238/j.issn.1004-2954.2016.07.031

Modeling of 3D-steady State of Catenary Dropper Length Based on Full Anchor Section

LI Feng-yuan1， HAN Jian-min1， XU Jian-guo2， YANG Zhi-yong1

(1.School of Mechanical， Electronic and Control Engineering， Beijing Jiaotong University， Beijing 100044， China;2.CREC Railway electrification bureau Group Co.， Ltd.， Beijing 100036， China)

Abstract：In order to reduce the calculation deviation of dropper length， control the height of contact wire and improve power transmission， a 3D steady state model for the accurate calculation of the integrated dropper length is established. Based on 2D exact cable elements， 3D cable element is obtained with X-Y， X-Z coupled calculation planes. Based on finite element theory， contact network structure is discrete by using 3D cable element. The stiffness matrix is assembled according to the topological structure of the contact network and the boundary conditions are established based on the geographic information， measurement information and design parameters. The iterative method is employed to solve nonlinear equilibrium equations. 3D graphics and output of the integrated dropper length are fulfilled according to the results of the equations. The comparison of the calculated dropper lengths with site measurements show that the calculation errors of the single suspension masts are less than 2.0‰ and those of the transition masts are less than 3.5‰. The results verify the validity of the 3D model and the construction method．

Key words：Electrified railway; Catenary; 3D cable element; Form-finding for cable structure; Dropper length