刘美刚

【摘要】近年来，解析几何在数学高考卷中一直占据较高的分值比重，特别是直线与圆的位置关系是长期以来的重点考点。作为考生而言，必须充分理解它们间的关系和解答思路，不管题型如何变，无非考察的就是这三种关系——相交、相离、相切。直线与圆的位置关系除考查位置关系之外，还考查轨迹问题和与圆有关的最值问题。本文将从直线与圆的几种位置关系进行分析介绍，再对几种常见题型的的解题思路进行分析，为各学校教师提供点参考意见。

【关键词】直线 圆 位置关系 典型例题 解题思路

1.直线与圆的位置关系主要研究方法

方法一：几何法，从几何角度对直线与圆的位置关系进行研究，从形上看，直线与圆的位置关系就只存在三种情况：第一种是相离，直线和圆没有交点，如图1-1所示；第二种是相切，直线和圆有且只有一个交点，如图1-2所示；第三种是相交，直线和圆有两个交点，如图1-3所示。

方法二：代数法，通过解析几何这一载体把几何问题代数化，用数学运算的方法进行研究。典型的有两种方法：

（1）从一元二次方程实数解个数进行研究

把直线与圆方程联立，化简得到关于x或y的一元二次方程，将交点问题转化为求方程实数解个数问题，这一方法求解思路清晰，容易领会。当 ，方程无实数解，则直线与圆相离无交点；当 ，方程有一实数解，则直线与圆相切有一交点；当 ，方程有两个不同实数解，则直线与圆相交有两交点。

（2）从圆心到直线的距离d和半径r的数量关系进行研究

圆心到直线的距离d和半径r的数量关系与直线和圆的位置关系是对应与等价的，位置关系与数量关系可以相互转化。所以直线和圆的位置关系可以根据点到直线的距离来确定。用代数法研究直线和圆的位置关系可以概括如表1-4所示。

直线和圆的位置关系的确定，目前主要的方法就是代數法，几何法。几何法强调对形的认识，代数法强调对数的运算和理解，几何法指明了方向，代数法体现了研究问题的手段方法，中间还需借用其它工具，如不等式，数形结合是解决直线与圆位置关系问题的重要思想方法，体现了高中数学的层次和要求。

2.直线与圆的位置关系典型问题

下面将介绍几个直线与圆的位置关系典型问题：

问题1.已知直线和圆，求直线和圆的位置关系。

问题2.已知点和圆，求直线方程。

这种题型是起初最普通、最常见的设问方向，此考点的难点和误区就是要考虑斜率存不存在的情况。所以，在面对这种考点时，一般解题步骤是：第一步，先分析斜率不存在时的直线方程是否满足，即平行于Y轴的直线方程；第二步，求斜率存在时的直线方程；第三步，综合前面两种情况，写出满足要求的直线方程。此类问题已经进行了转变，例如引入参变量，在分类讨论的同时，可以灵活多变的在直线和圆之间进行问题切换。

问题3.已知圆和直线方程，求点。

这种题型主要是变相的考察点到直线的距离以及直线和圆的位置关系。这种题型无非也就三种大情况，相交、相切、相离时，求到直线的距离的点的坐标。第一种是在相离时，求圆上的点到直线的距离，且满足要求的点的坐标个数可能存在0个点，1个，2个点，还有一种变式是求最大距离或最小距离的点的坐标。第二种是相切时，求圆上的点到直线的距离，且满足要求的点的坐标个数可能存在1个，2个。第三种是相交的情况下，求圆上的点到直线的距离，且满足要求的点的坐标个数可能存在1个，2个，3个，4个。解决此类问题首先要明确直线与圆的位置关系，然后根据题设分析满足要求的点的个数，体现了数形结合的思想方法。

问题4.已知圆和直线方程，求弦长。

4.总结与寄语

无论考题怎么变，万变不离其宗，考点就是这些。直线与圆的位置关系，在每年高考中，分值占据比较稳定。目前和今后的考试趋势是解析几何的全面融合作为考题，直线与圆的位置关系的考点就涵括在综合考题之内，和不等式，函数等知识交叉。直线与圆的三种位置关系，对于考生而言必须熟练掌握解题技巧，强化运算能力，还要有足够的转换意识，用好数和形两种分析工具，充分利用圆是中心对称和轴对称图形这一几何特性，优先思考直线和圆位置关系，找准问题切入点，简化答题策略，少走弯路。对于数学教师而言，要多引导学生发散思维，不能就题解题，而应该了解掌握解题的理念，培养一种新颖灵活的解题意识。

【参考文献】

[1]刘耀忠.例谈求直线方程的常用方法[J].新高考（高一语数外）；2011年Z1 期

[2]周栋梁.“显而易见”下的缺失——《直线与圆的位置关系》听课后的感想[J].中学数学2013年02期

[3]普通高中课程标准实验教科书. ISBN978-7-107-17706-4/G.10795