□黄细把

灵活应用不等式的性质解题

□黄细把

不等式的三个重要性质是对不等式变形的重要依据，更是今后学习不等式的基础，其应用极其广泛，现举例说明.

一、化简问题

例1已知3＜x＜7，化简|x-3|+|x-7|=____.

分析：要将原式化简，关键在于确定x-3和x-7的取值，看它们是大于零还是小于零.

解：由3＜x＜7，得x-3＞0，x-7＜0.故原式=（x-3）+（7-x）=4.

二、求值问题

例2设a、b都是正整数，且71a+600b=2013，则a+b的值为.分析：用b的代数式表示a，然后根据a、b都是正整数，先确定b的值，再求满足条件的a的值.

三、比较大小问题

分析：比较两个整式大小常用的方法是求这两个整式的差值，再结合已知条件确定这个差值是否大于零.

解：先分别比较M与N的大小，M与P的大小，N与P的大小.因为a-1＞0，所以.所以M＞N.同理，由，得M＞P；由，得N＜P.所以M、N、P的大小关系为M＞P＞N.

四、方程的解问题

例4方程5x+y=20的正整数解有（）.

A. 2组B. 3组C. 4组D. 5组

分析：先用含x的代数式来表示y，然后根据y为正整数来确定x的取值范围，继而求出x和y的值.

解：由5x+y=20，得y=20-5x.因为y＞0，所以20-5x＞0，得x＜4.所以x可取1，2，3，相应地y取15，10，5.所以已知方程的正整数解有3组，应选B.

五、取值范围问题

例5若x+y+z=30，3x+y-z=50，且x、y、z均为非负数，则M=5x+ 4y+2z的取值范围是（）.

A. 100≤M≤110B. 110≤M≤120

C. 120≤M≤130D. 130≤M≤140

分析：将已知两等式相加，可消去z，这样能用含x的代数式分别表示y、z和M.再通过求x的取值范围，进而求出M的取值范围.

解：将已知两等式相加，得4x+2y=80，从而y=40-2x.因为x+y+ z=30，所以z=30-x-y=x-10.所以M=5x+4（40-2x）+2（x-10）=140-x.因为x≥0，y≥0，z≥0，所以x≥0，40-2x≥0，x-10≥0.所以10≤x≤20，-20≤-x≤-10.所以140-20≤140-x≤140-10，即120≤M≤130，应选C.

六、最值问题

例6已知y=|x-b|+|x-20|+|x-b-20|，其中0＜b＜20，b≤x≤20，那么y的最小值为____.

分析：先确定x-b、x-20、x-b-20的取值.将y化简后，再求最小值.

解：由已知得b≤x≤20，x＜b+20.所以x-b≥0，x-20≤0，x-b-20＜0.所以y=（x-b）+（20-x）+（b+20-x）=40-x.因为b≤x≤20，所以x的最大值是20.所以y的最小值等于40-20，即为20.