阮　平　姚泽有

(电子科技大学中山学院管理学院　中山　528402)

补货时机和批量条件可选择的供需一体EPQ模型*

阮平姚泽有

(电子科技大学中山学院管理学院中山528402)

摘要：一体化EPQ模型的扩展性研究非常多，但都是基于特定的补货时机和批量条件假设.放松了特定补货时机和批量条件的假设，构建了一种补货时机和批量条件可选择的一体化EPQ模型，使得补货时机和批量条件成为决策变量而不是限制条件，扩大了传统的一体化EPQ模型的适用范围.通过多数值仿真，构建了一个基于参数变化的补货时机和批量条件选择表，并对参数变化如何影响补货时机和批量条件的选择进行了分析.

关键词：EPQ；一体化；补货时机；批量条件

0引言

随着供应链管理的发展，上下游企业间的联合决策越来越普遍，联合上游的生产和下游的订购的综合计划能够显著降低供应链总成本已成业界共识.Goyal[1]提出了一种单制造商单零售商集中决策的交付策略模型，最先把EPQ(economic production quantity)模型扩展到产销一体化环境，该模型没有改变传统EPQ模型在不变需求、不允许缺货、瞬时补货等方面的假设，但目标函数改为追求上下游企业总的成本最小，同时假定周期时间内上游制造商的生产全部完成后再分若干次等批量配送至下游零售商处.在此基础之上，后来研究者或放松假设条件或增加假设条件，在一体化决策EPQ范式下进行了大量有益研究.在供应链结构方面，可以把上下游企业一对一的关系扩展为一对多、多对一、多对多，还可以把二级供应链扩展到三级供应链[2]；在需求方面，可以把确定需求改变为不确定性需求[3]；在是否允许缺货和补货速度方面，把不允许缺货改为允许缺货，可以把瞬时到货改为非瞬时到货[4]；在生产系统完美性方面，可以变完美系统为不完美系统，即生产中会产生一定比例的次品，还可以假设次品可以返工[5]；在产品性质方面，可以把产品限定为易变质产品；在交易金融方面，可以把上下游交易限定为信用交易[6]；在产品价格和相关成本方面，可以变稳定价格和成本为变动价格和成本[7].以上研究构建的一体化EPQ模型，均是在特定的补货时机和批量条件假设条件下完成的.本文将放松特定补货时机和批量条件的假设，构建一种补货时机和批量条件可选择的一体化EPQ模型.

1模型假设与参数

1.1问题描述

在一个制造商和一个零售商的供应链结构下，一个周期时间T内，制造商执行一次生产，生产的产品分多次补货至下游的零售商，要求决定最优生产批量和最优补货次数使单位时间内的供应链总成本最低.

1.2模型假设

(1)市场需求为已知常量；(2)不允许缺货；(3)瞬时补货；(4)时间区间无限；(5)生产系统为完美系统，即不考虑次品率问题；(6)补货时机和批量条件可以在下面4种典型情况中任意选择：①制造商先完成生产，然后分若干次等批量向零售商补货；②制造商在生产过程中就开始向零售商补货，每次补货批量相等；③制造商在生产过程中就开始向零售商补货，每次补货使得制造商库存刚好降为0；④选择1+N补货模式，即制造商在生产过程中先向零售商供货一次，以满足其在生产期间的需求，待完成生产后再分N次等批量向零售商供货.

1.3模型参数

D：需求速度；P：生产速度；CS：产品单位生产成本；CP：产品单位采购成本；S：制造商一次生产的生产设置成本；A：零售商一次补货固定成本；r：单位价值存货的单位时间持有成本；Q：生产批量；n：配送的次数；α：A/S；β：CP/CS>=1；θ：D/P<1；TCU：单位时间总成本.

2模型构建

2.1生产完成后分多次等批量配送

对应于假设条件6中的情况①，此时制造商的库存变化情况见图1.根据文献[1]，最优解n*和Q*分别为

图1　生产完成后多次等批量补货情况下的制造商库

系统单位时间总成本最小值为

2.2生产时开始补货的等批量多次补货

对应于假设条件6中的情况②，这里假设制造商不是等生产完成后才向零售商补货，而是边生产边补货，一共补货n次，其中在生产完成之前配送m次.根据Lu[8]可知，制造商库存变化如图2所示，且t1=Q/nD；t2=mQ/nD；t3=Q/P；t4=(m+1)Q/nD；q1=Q-mQ/n；q2=QP/nD；q3=Q(P-D)/nD.设从0～t2,t2～t4，t4～T的累积库存分别为I1，I2和I3，则制造商的平均库存IS为(I1+I2+I3)/T.

图2　生产时开始多批次等批量补货情况下的制造商库存变化情况

系统单位时间总成本最小值为：

2.3生产时开始补货按现有量多次补货

对应于假设条件6中的情况③，假设后一次的补货量是前一次补货量的P/D倍，这样刚好能保证每次补货后制造商的库存降到0，制造商库存变化见图3.根据文献[9]有：

图3　情况③下制造商库存变化情况

2.41+N配送策略

对应于假设条件6中的情况④，在生产期间内先进行第一次配送以满足购买者在生产期间的需求，然后继续完成生产，生产完成后再分n次等批量配送至购买者，以最佳生产批量和配送次数为决策变量，寻求系统单位时间总成本最低.此时，制造商库存变化情况见图4.

图4　情况④下制造商库存变化情况

通过数学推导算得制造商平均库存水平为

购买者的平均库存水平为

所以系统单位时间的总成本为

解得到最优解n*和Q*分别为

把n*和Q*代入TCU(4)中，得到：

(4)

2.5决策者的最终决策

(5)

3数值分析

当α,β,θ的取值发生变化时，决策者对补货时机和补货批量条件的选择将发生变化.为了展示在α,β,θ不同取值条件下的应该选择怎样的补货时机和补货批量条件，下面设定α,β,θ各自的取值范围，对4种补货时机和补货批量条件不同的补货方案的比值进行计算.

α在[0.01,1]之间取4种不同取值，β在[1,2]之间取4种不同取值，θ在[0.2,0.8]之间取4种不同取值.

由表1展示了在α,β,θ的不同取值情况下，4种补货时机与批量条件情况(以下简称补货方案)的比较结果，结论如下.

表1　参数变化下的最终决策判断表

1) 没有一种补货方案在所有的参数取值范围内都保持最优.但最优策略总在第二种补货方案和第三种补货方案之间选择.因此，可以认为第二种补货方案和第三种补货方案是在Goyal方案上的普适性改良.

2) 其他参数条件不变的情况下，随着需求速度与生产速度的比值的增大，第二种补货方案和第三种补货方案相对于第一种补货方案的优势越来越明显.

3) 其他参数条件不变的情况下，随着单位采购成本与单位生产成本比值的增大，第二种补货方案相当于第一种补货方案的优势越来越明显；而第三种补货方案相当于第一种补货方案的优势越来越不明显.

4) 其他参数条件不变的情况下，随着一次配送固定成本与一次生产准备成本比值的增大，第二、三、四三种补货方案相当于第一种补货方案的优势越来越不明显.

5) 1+N补货方案虽然在现实中经常被企业采用，而从理论上讲，并非最优决策.

4结 束 语

过去在一体化EPQ构建下的研究总是基于特定的补货时机和批量条件.而事实上，决策者希望能够主动的选择对自己有利的补货时机和批量条件，而不是被动的接受某种特定的补货时机和批量条件.本文构建了一种补货时机和批量条件可以选择的一体化EPQ模型，使得补货时机和批量条件成为可供选择的机会而不是必然的限制条件，扩大了一体化EPQ模型的适用范围.多数值分析进一步证明，在不同参数条件下，决策者可以选择使供应链总成本最低的补货时机和批量条件，并确定此时的最优生产批量和补货次数.

参 考 文 献

[1]GOYAL S K. A joint economic-lot-size model for purchaser and vendor: A comment*[J]. Decision Sciences,1988,19(1):236-241.

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[3]YOU F, GROSSMANN I E. Integrated multi-echelon supply chain design with inventories under uncertainty: MINLP models, computational strategies[J]. AIChE Journal,2010,56(2):419-440.

[4]CHUNG K J, CáRDENAS-BARRóN L E, TING P S. An inventory model with non-instantaneous receipt and exponentially deteriorating items for an integrated three layer supply chain system under two levels of trade credit[J]. International Journal of Production Economics,2014,155(9):310-317.

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[8] LU L. A one-vendor multi-buyer integrated inventory model[J]. European Journal of Operational Research,1995,81(2):312-323.

[9] GOYAL S K. A one-vendor multi-buyer integrated inventory model: A comment[J]. European Journal of Operational Research,1995,82(1):209-210.

A Joint EPQ Model Under Selectable Replenishment Timing and Batch Quantity Conditions

RUAN PingYAO Ziyou

(ManagementSchool,ZhongshanInstitute,UniversityofElectronicScienceandTechnologyofChina,Zhongshan528402,China)

Abstract：The extending studies on integrated EPQ model are massive, but these extended models all are based on the specific replenishment time and batch condition. This paper relaxes the assumption of the specific replenishment time and batch condition and builds a joint EPQ model under selectable replenishment timing and batch quantity conditions. This model expands the range of application of the traditional joint EPQ model. Finally, by numerical simulation, this paper gives a final judge decision table based on the parameter variation, and analyzes how the variation of the parameters affects the selection of the replenishment time and batch conditions.

Key words：EPQ; joint; replenishment timing; batch quantity conditions

收稿日期：2016-03-03

中图法分类号：F270

doi:10.3963/j.issn.2095-3844.2016.03.021

阮平(1978- )：男，硕士，讲师，主要研究领域为物流与供应链管理

*广东省哲学社会科学“十二五”规划2015年度学科共建项目资助(GD15XGL04)