丁丹

摘 要 在每个人的实践和认识过程中都会经历错误。错误在认识过程中是不可避免的。数学学习的过程实际上是一个发现错误、分析错误、最终解决问题的过程。其中有些错误在学生的数学问题解决过程中起着关键性的作用，这类错误的出现正是学生思维缺陷、认知冲突的反映。学生在问题解决的过程中经历了这类错误，反复地从失败与挫折中总结经验和教训，就会对问题解决的过程有深刻的把握，并能深入地认识到自己出现错误的真正原因，获得真实的发展。

关键词 错误 合理性 小学数学 问题解决过程

中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2016.03.039

Abstract During the process of practice and cognition everyone will go through error. Error is inevitable in cognition process. The process of learning mathematics is actually a process of finding and analyzing error and ultimately to solve the problem. Some of these errors play a key role in students' mathematical problem-solving process. The appearance of this kind of error is the reflection of the students' thinking and cognition conflict. Students' experience of this kind of error in the process of problem solving will have a profound grasp of the problem solving process and deeply understand the real cause of their own mistakes to obtain the real development.

Key words error； rationality； primary mathematics； problem-solving process

人们在探寻真理的路途中，不断地思索着错误的问题。在每个人的实践和认识过程中都会经历错误。错误在认识过程中是不可避免的。它与真理是人们认识过程中的一对孪生姐妹，人们不能不去认识真理，人们也不能不犯错误。人类的进化、生命的进化历程也是一个经历错误、纠正错误、运用错误的过程。怀特海说过“畏惧错误就是毁灭进步”；恩格斯也说过“要明确地懂得理论，最好的道理就是从本身的错误当中，从亲身经历的痛苦体验中去学习”，这些关于错误的格言警句从不同的角度让我们感受到错误的价值。人类的认识和实践是在不断的探索中获得提升的，只有经历了实践—认识—再实践—再认识的多次反复，才能得以逐渐升华。哲学上，将这种与实践·认识活动的探索性和曲折性所决定的、不可避免地要发生的错误，称为合理错误。这类合理错误在人类的认识和实践过程中起着关键性的作用。

同样，在小学数学问题解决过程中，学生也会遇到各种各样的错误。数学学习的过程实际上是一个发现错误、分析错误、最终达到解决问题的过程。其中有些错误在学生的数学问题解决过程中起着关键性的作用，这类错误的出现正是学生思维缺陷、认知冲突的反映。学生在问题解决的过程中经历了这类错误，反复地从失败与挫折中总结经验和教训，就会对问题解决的过程有深刻的把握，并能深入地认识到自己存在错误的真正原因，获得真实的发展。

例如，在《百分数应用题》的课堂教学中，有这样一道例题：光明小学计划购买16个篮球，实际购买了20个篮球，实际购买的篮球比原计划多百分之几？

学生很快计算出“实际比原计划多25%”，教师有意追问了一句：“根据实际比原计划多25%，猜一猜，原计划购买的篮球比实际少百分之几？”学生（异口同声地）回答：“原计划比实际少25%。”

师：请大家再来算一下吧。

一个学生说道：“怎么算出来是20%呀？”

旁边的学生说：“我也得出同样的结论。”

这时，一个同学说：（20-16）？6=25%，正好是25%。

五六名同学都跑到得出25%的学生旁边，经过争论，学生们也开始意识到自己的错误，也逐渐清楚了“实际比计划多25%”指多“原计划的25%”，“计划比实际少25%”是指少“实际的25%”，“计划的25%”和“实际的25%”是不相等的，因为单位1的量不同。

通过学生之间的争论、思维的碰撞、尝试性地解决问题、寻找出现错误的根源，最终理解了“量”与“率”的区别以及单位“1”的问题。经历了这一过程的学生，必定较好地掌握了这一知识点的学习。课堂上出现的这类错误即是我们所说的学生在数学问题解决过程中的合理错误。

瑞士著名心理学家皮亚杰（Jean Piaget）认为儿童的认知发展一般要经历四个阶段：感知运动阶段（0～2岁）、前运算阶段（2～7岁）、具体运算阶段（7～12岁）和形式运算阶段（1～15岁）。小学阶段学生的认知发展正好处于具体运算阶段，这一阶段的儿童思维发生了质的变化，具体来说主要有三个层次：（1）直观行动思维，它是以实际的操作行动为依托的数学思维。（2）具体形象思维，它是以表象为依托的数学思维。（3）抽象逻辑思维，它是脱离了形象而依赖于概念进行的数学思维。小学阶段学生的思维水平正是经历由直观行动思维、具体形象思维向抽象逻辑思维发展的过程。在这个过程中，学生运用已有的数学知识解决问题的能力也在发生变化。但是不可避免，在这样一个过程中学生会经历各种类型的错误。

学生的数学学习过程就是一个不断发现问题、分析问题、解决问题的过程。提高学生的问题意识，培养学生问题解决能力和反思批判能力是素质教育的需要，是学校教育的重要目的之一。数学学科不同于其他学科的最大特点就是其逻辑性很强。数学中的每一个知识点，往往是前一个知识点的发展，又是后一个知识点的基础，因此缺少任何一个也不行。在小学阶段，学生犯错误是不可避免的，其中有很大一部分错误是由于学生的认知发展限制所引起的。这类错误在学生的思维发展过程中起着关键性的作用，它反映了学生在知识上的缺陷、逻辑思维发展的不成熟、感知经验的干扰及技能技巧的不熟练。有些学生虽然能解决一些问题，但往往知其然而不知其所以然，归根结底，笔者认为是由于学生没有经历知识的产生、发展和形成的整个过程，没有真正将知识内化成自身的认知结构。例如“7+4=”，低年级学生有时会顺口答出7+4=11，也有些学生得不出正确答案。当老师进一步问“你是怎么想的”，无论能否得出正确答案，很多学生就回答不出他是如何思考的。经过教学实践很多老师开始要求学生学会说算理。通过让学生说算理，使他们能够自觉地来调节、检查或论证自己的思维过程。随着学生知识经验的丰富，长期经过这样的思维训练，学生会自觉地在问题解决过程中用严密的逻辑思维来思考问题。笔者认为，小学生在数学问题解决过程中出现的错误正是他的知识缺陷、认知上冲突、思维发展不成熟的反映，学生探寻问题解决的正确途径具有非常重要的作用。通过教师的引导、同学间的争论以及自己的思考来克服、改正这类错误的学生，不仅能探寻到解决问题的正确途径，同时能发现自身的知识缺陷、认知冲突和思维缺陷，最终获得数学问题解决能力和自我反思批判能力上的提升。

学生掌握知识、解决问题的过程与人类实践·认识活动是一致的，都具有探索性、曲折性和尝试性的特点，当然小学生的问题解决过程也不例外。这一阶段学生的认识发展和逻辑思维水平并未发展成熟，导致学生在思考与解决问题的过程中必然会遇到与人类探索知识的过程中相一致的各种错误。人类探索知识的过程中不断经历与体验了各种错误，才能最终实现知识内化、情感发展与能力提升，实现人类的进步。同样小学生在学习与问题解决过程中，由于思维水平发展的局限性和知识探索过程的尝试性与曲折性，学生的发展必然会受到限制，此时合理错误就显得格外重要。能否处理好小学数学问题解决过程中学生的合理错误关系着学生个体的知识内化、情感发展与能力提升，也关系着学生真实、真正的发展。

在现实的课堂教学中，学生犯各种各样的错误不可避免。导致学生犯错误的因素有很多，有些是由于知识上的缺陷，有些是由于行为上的习惯，有些是由于思维发展水平不成熟。教师不合理的处理方式制约合理错误促进学生的发展。现实的课堂中，教师不合理的处理方式主要表现在：

（1）认为学生的错误是教师教学效果不佳的表现。存在这种观念的教师，在教学理念、行为和言语上都会以各种消极的方式对待学生的错误，这种处理方式导致学生为了避免出错，而不愿意参加课堂教学活动，更不愿意表达自己的想法，学生学习的积极性较低。

（2）认为学生的错误是学生主体性的彰显。存在这种观念的教师，在教学理念、行为和言语上都会对学生的表现予以鼓励，并给予积极的评价。在这种环境下，学生参与课堂教学的积极性空前高涨，愿意积极思考，主动地表达自己的想法，但是在这种状况下，学生的错误得不到及时反馈和纠正，学生认识不到导致自己出现错误的真实原因，这无论是对于保障教学质量，还是对于促进学生发展都是非常不利的。

实际上这两种不同的处理方式产生了两种不同的课堂生活危机。教师的这种貌似“合理”的教学行为和认识是与现代教育理念相背离的，也不利于学生通过合理错误获得发展。首先，从处理错误的方式上来说，学生发生的错误有很多种，不同的错误是由于不同的原因所导致的，那么对待不同类型的错误，教师应有不同的应对方式。只有用正确的错误观来对待它，学生在经历不同的错误时，才能真正发现自己在学习过程中的缺陷，针对自身存在的问题来解决，真正从错误中学习。其次，从建构主义学习理论来看，每位学生的知识结构和经验背景不同，他们对事物的理解是基于自己的已有经验来建构，因此每个学生都有自己的理解，关注到的是事物的不同方面，不可能用唯一的标准来衡量每位学生。在教学中不区分学习对象而追求唯一正确答案的做法是不足取的，认真分析各种不同观点背后所隐藏的对学生成长有意义的各种因素，即使学生的观点是不正确的，那么这种分析也是为学生的发展排除了一种错误的可能性，也是很有意义的。再次，如果在课堂教学中忽视了针对学生错误的分析、思考，教学效果便是没有保证的，在这种情况下一味地强调教学有效性是一种舍本逐末的教学行为。

因此，认识到错误的必然性和不可避免性是非常重要的人生态度，也是相当重要的心理品质。教师要以正确的态度对待学生的错误，学生才能在潜移默化中正视自己的错误，并从错误中吸取教训，总结失败的经验，获得真实真正的发展。正如歌德所说的：“错误同真理的关系，就像睡梦同清醒的关系一样，一个人从错误中醒来，就会以新的力量走向真理。”