韩黎明　刘君

发展学生的思维能力，始终是数学教研中一个极端重要的课题。研究它，既要有大量的教学实践，也要以教育心理学这门科学为依据。为此，教师要在实际教学的基础上，用教育心理学所阐述的科学原理，弄清“思维能力”的实质、意义，它的发生，发展和条件以达到自觉地采取措施，在实际教学中促进学生思维能力的发展。

一、思维的实质和意义

心理学指出：“思维是人脑对现实的概括的反映”。就是说，人们利用已有的感知材料，在头脑中进行分析、综合、抽象、概括，从而对事物的本质和内在规律达到一定的理解，并由此进行推理和解决。整个数学教学过程中所要求的思维水平（抽象程度、概括程度）随着教材内容的加深，越来越高。并表现出“数学”这门科学的高度抽象性。

二、教材的直观和概括

如何发展学生的思维能力？——不能离开教材的研究。

课堂教学的一项主要任务是让学生高效率地掌握人类已有的知识。显然，这种学习过程和数学家探索新知识的过程是不尽相同的。这种不相同首先表现在时间上，数学家为了生产新知识，为了认识某一客观法则所需要的时间，和学生在教师、教材的指导下掌握前人经验所花费的时间是无法相比的。

为了从思维发展趋势上与前人经验相一致，我们必须研究教材的直观与教材的概括这两个认识环节。

（一）教材的直观内容

前面已说过，思维的实质在于概括，而概括必需有被概括的材料，否则思维不能发生和发展。因此，教师备课钻研教材时，首先要重视研究教材的直观内容。

从认识过程来说，直观是在事物的作用下，学生头脑中形成感性知识的过程。尽管直观只能形成感性知识，但它是思维的起点，是由感性认识转化到理性认识的开端。缺乏这个起点和开端，学生的学习就往往停留在空洞的概念和法则上。

语言直观有许多优点，它不受时间、地点和设备的限制，是数学教师广泛采用的直观方法。但是，这种通过语言让学生在头脑中恢复和建立起来的事物形象，不管是记忆表象或想象表象，它所反映的现实的完整性、稳定性、鲜明性以及正确性等方面，经常不如知觉。

（二）教材的概括

概括是指由感性知识的改造到理性知识的形成的过程。是更正确、更完全地反映事物，从而把学生的认识引向深入的过程。这是数学教材的主要任务，也是我们钻研教材的一个重点。对此，我认为宜注意以下几点：

1.区分本质特征与共有特征

学生在概括过程中常将一类事物所共有的特征与本质特征相混淆，以致把共有特征当作本质特征。

一般地讲，教材只能正面地对一类事物进行概括，而要求学生能真实地掌握其本质特征，又必须再从反面甚至从侧面去研究它才行。以周期函数为例，教材总是从三角函数出发，概括出周期函数的本质特征是存在一个不为0的常数T，使得对定义域内的任意数下列等式x成立：

■

而教材往往就不从反面去研究它们。例如，另外一些函数，如■，■等是不是周期函数？为什么？为了让学生真正地掌握函数的周期性，有时还要求我们能从侧面去研究它。通过正面、反面和侧面的研究，学生对周期函数这个概念的理解就必然深刻无疑了。

2.概括水平要不断地提高

一般地讲，要随着学生年龄的增长和教材内容的深入，逐步提高学生的概括水平——教会学生从感性的概括（自发的、低级的）到掌握理性的概括（高级的）。“一一对应”是一个看来容易，而理解困难的问题，在单值对应的基础上，我曾列举若干“一一对应”的实例（概括材料）。让学生自行概括。结果就有人把这种对应概括为：如果集A到集B是单值对应。反之，集B到集A也是单值对应，那么就说从集A到集B构成一一对应”。在此基础上再系统的引进函数，基本初等函数，复合函数的概念，从而概括出初等函数的概念。并且运用以上概念逐步掌握分析函数构成的技能、技巧，为后续的学习奠定基础。

三、选择合适的教学方法

如何发展学生的思维能力？——不仅与教材的钻研有关，与教法的选择也有关。

（一）用启发式，不用注入式

启发式的特点是能不断地激发学生的思维，或者说，能不断地激发学生的学习兴趣、学习要求（求知欲）与集中学生的注意力，为学生的智力活动创造条件。而注入式则相反。

启发式在我国是由孔子首创的，他总结出八个字“不愤不启，不悱不发”。愤——因为不满足，想前进，悱——想说又不知道怎么说。这种“愤”和“悱”的境地很重要。教师上课就要创造条件，使学生经常处于“愤”和“悱”的境地。

（二）学生力所能及的事，引导学生自己去做

教师讲课，关键的是把基本原理和方法交给学生（钥匙交给学生），然后，可以试试让学生自己去用（去开锁），这对发展学生的思维能力，特别是探索问题的创新思维是十分有利。

举例来说，讲过函数的奇偶性以后，教师总要提出一些具体的函数让学生检验它们的奇偶性。我认为，这还不够。教师还要进一步为学生创造出一个适合学生自己去寻求知识的意境，使学生经常处于“愤”和“悱”的境地。

（三）培养学生良好的思维品质

要发展学生的思维能力，除了要善于给他们提出许多困难而又力所能及的问题，启发他们用原有知识技能去分析和解决各种问题以外，还要在这个过程中重视培养学生思维的严密性、合理性、灵活性、创造性（包括独立性）与认真思考等良好习惯和品质。

1.思维要严密，要准确，要合乎逻辑

这是学好数学的关键之一，它是由数学这门学科本身的特点决定的。学生思维不严密常常可以在他们回答问题时发现。如，把“方程无解”说成“方程不能解”，或者说成“方程错了，题目错了”。这种不严密当然也表现出掌握知识中的缺陷。因此，那怕是细微之处，也要学生说出道理，不能养成“想当然”的习惯，要养成严谨的、实事求是的良好思维品质。

2.灵活性

思维的灵活性常表现在举一反三，触类旁通上（即广泛迁移）。这种能力的培养与教师平时讲课有关——要把基本知识讲“活”，要把问题的来龙去脉讲清楚，最忌囫囵吞枣。

3.创造性

最后衡量学生思维水平的是思维的创造性，教材上常用的数学方法是演绎法，我认为只这样做是不够的，教师还要经常采用一些归纳法与类比法，这对培养学生思维的创造性是必要的，数学家们当时研究一个数学问题时的思维过程往往先是归纳、类比、而后才是演绎，而这种真实的思维过程在写书时（特别是写教材时）总是被抽掉了。

此外，教学要民主，这也是发展学生思维能力的一个条件，限于篇幅，不再赘述。