苏荣亚　于波

【摘要】数学活动经验具有过程与对象的双重属性，是数学课程目标“四基”的目标之一。数学活动经验是数学概念学习的枢纽和关键，它为数学概念学习提供了感性材料；为概念理解提供了解释和组织的背景；并利于学生回忆和提取数学概念。

【关键词】数学概念 数学活动经验 数学概念学习

【基金项目】系西南大学2015年度教师教学发展研究项目（项目编号SWFZ20150002）成果。

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）06-0110-02

《义务教育数学课程标准（2011）》将数学活动经验作为数学课程目标之一。学生的数学活动经验既是学生学习数学的基础，更是学生学习数学的资源。数学概念是数学知识的基本构成要素，数学概念学习是数学学习的基本环节。由于数学概念本身以及学生认知发展的特点，学生对数学概念的学习需要经历从具体到抽象、从简单到复杂的过程，而在这个过程中，数学活动经验构成了数学概念学习的重要组成部分。

一、数学活动经验的教育意义

1.经验的内涵

“经验”的一般概念包括了知识、技巧，是体验或观察某一事或某一事件后所获得的心得并应用于后续作业。而这些以前获取的知识技巧，对于以后解决问题十分关键。在西方，较早论述经验的哲学家以客观唯心主义的创始人柏拉图为代表。在柏拉图（Plato）看来，经验指的是习以为常或者把过去很多偶然尝试的结果保存下来，是附属于感觉器官的低级认识。美国教育家杜威（JohnDewey）认为，经验不是一种呆板、封闭的东西，它是充满活力的、不断发展的，经验可以成为同理性和思考对抗的东西，也可以使我们摆脱感觉、欲望和传统等局限性的影响。[1]可以看到，经验产生于相互作用的过程，并且对未来产生积极或者消极的影响。经验是一个很大的范畴，既是一种特殊的知识、技巧，又是包含了过程性的一种体会和感悟。

2.数学活动经验的内涵

在公开发表的论文中，关于数学活动经验的内涵并没有形成统一，但都强调数学活动经验是一种感受、体验，强调了过程性、结果性以及与其他数学知识的相互联系和影响。比如，《义务教育数学课程标准（2011年版）》[2]认为“数学活动经验是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。数学活动经验需要在‘做的过程和‘思考的过程中积淀。”王新民认为，“数学活动经验是过程与结果相统一的产物，主要是一种具有过程性、创造性的个人知识”[3]，概括来说，数学活动经验是指个体在具体数学活动中与学习环境相互作用后所获得的经历和感悟。

首先，数学活动经验的产生来源于学习者与学习环境的相互作用。在一般的教学里，包含了教师的“教”与学生的“学”这两种关系。学习是通过学生的主动行为而发生的；他学到了什么取决于他做了什么，而不是教师做了什么[4]。数学活动经验与学习者和环境如何互动直接相关，学习者互动的方式、互动的内容、互动的情感都影响数学活动经验的生成。其次，数学活动经验是一种逻辑数学经验。皮亚杰认为，在数学教育中存在着和主体动作有关的、彼此很不相同的两种“经验”。一种是“物理经验”（广义的），指作用于物体以发现物体本身的特性；另一种可被称作“逻辑数学经验”，这种经验不是从特定物体的物理特性收集其信息，而是从儿童作用于物体的实际动作收集信息的[5]。数学活动经验是一种逻辑数学经验，它要求在一定特定的环境下对特定的目标进行行为、思维上的操作，从而去认识、理解事物。最后，数学活动经验本质上是一个过程性目标。《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出“帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标”[6]，并且运用了过程性目标“经历、体验、探索”等术语来描述数学活动经验。对于与其他数学课程目标的关系来说，数学活动经验目标无法单独存在，它总是渗透在基础知识、基本技能、基本思想方法的学习过程之中，指向学习的整个过程。

3.数学活动经验对学生发展的作用

数学活动经验是学生必备的数学素养，是实现数学有效学习的前提和关键。史宁中、柳海明认为，基础教育学科教学实施素质教育的基本路径之一是变“双基”为“四基”[7]；黄翔等人认为，“获得数学活动经验应成为数学课堂教学关注的目标”[8]。数学活动经验在帮助学生理解数学知识、发展学生抽象思维、形成智慧方面等具有重要作用。

首先，数学活动经验能够帮助学生理解数学知识。数学的一大特点就是抽象性，这使得学习者无法一开始就能理解数学形式化的语言。数学活动经验包括了知识经验、方法经验、过程性经验、情感经验等，这些已有的经验奠定了学习者继续学习的基础，能够帮助学生遇到新问题时形成一种解决问题的直觉。数学活动经验能够指导学生自发建构数学知识的意义，避免学习者理解上的困难。其次，数学活动经验是实现其他数学课程目标的重要纽带。数学活动经验的生成需要结合具体的学习内容，这些内容可以是知识的、技能的也可以是学习者对数学的情感体验。因此数学活动经验的生成渗透于完成其他数学课程目标的过程之中，反过来，数学活动经验又能动的提升其他数学课程目标的达成水平。最后，数学活动经验有助于形成智慧。数学知识本身并不具有终极的教育价值，而更为重要的是，学习数学的过程当中经历思考对思维的训练，从而促进人智慧的发展。皮亚杰认为，人的智力发展的最后一个阶段为形式运算或命题运算阶段，就是一般讲的抽象思维阶段，这是认知发展的理想目标，因此教育的最高目标是具有逻辑推理能力和掌握复杂抽象概念的能力[9]。数学活动经验强调让学习者经历数学知识发展的过程，自主建构对数学知识的理解，学习者不再是被动的接受知识，而是在学习过程中不断去探索、反思、纠正，在这样的学习过程中有助于学生创造性和批判能力的形成，为最终发展学生的智慧提供了可能。

二、数学概念学习的条件

1.数学概念的内涵

在数学中，作为一般的思维形式的判断与推理，以定理、法则、公式的方式表现出来，数学概念则是构成它们的基础。数学的一个显著特征就是概念众多，而且不同分支的数学概念往往有不同的特点，因此概念理解是数学教学中的最基本也是最主要的任务之一[10]。从数学本身的发展来看，数学概念主要来源于两个方面：一是直接从客观事物的数量关系和空间形式反映而得，二是在抽象的数学理论基础上经过多级抽象所获得[11]。因此，数学概念可以相应的分为两类：一类是对现实对象或关系直接抽象而形成的概念，这类概念与现实比较贴近；另一类是纯数学抽象物，这类概念是抽象逻辑思维的产物，是一种数学逻辑构造，没有客观实在与之对应[12]。但是，从学习者习得数学概念的角度来看，数学概念形成并不完全是一个逻辑的过程，按照拉卡托斯的观点，数学定义并非一开始就是精准的，其中有一个抽象化和精致化的过程。学生需要循序渐进的建立对数学概念的理解，比如范希尔理论对几何思维水平的刻画，他反映了学生对几何概念的理解具有顺序性。此外，作为学习者认知结构的数学概念，又会由于学习者自身的认识结构水平的不同，存在着对数学概念不同水平的理解。

2.数学概念学习的方式

对于数学概念的学习，主要包括概念形成与概念同化两种方式。概念形成是以学生的直接经验为基础，用归纳的方式抽取出同一类事物的共同属性，从而达到对概念的理解；概念同化则以学生的间接经验为基础，以数学语言为工具，依靠新、旧概念的相互作用理解概念[13]。概念形成与概念同化是两个相互促进的过程，概念形成包含着同化的因素，要用具体的、直接的感性材料同化新概念；同样，概念同化也不能脱离分析、抽象和概括，因而含有概念形成因素[14]。

3.数学概念与数学活动经验的关系

数学概念由于上述的各种特征，它同数学活动经验一样，具有对象与过程的双重属性，不管是概念形成还是概念同化都离不开数学活动经验。从对象性的静态角度看，数学概念是学习者需要习得的一种数学知识；从过程性的动态角度来看，数学概念的习得需要学习者不断经历数学活动从而建构知识对自身的意义。不管是概念形成还是概念同化，数学概念的学习都是一个循序渐进有层次的过程，学习者都必须经历多种数学活动，逐渐形成从具体到抽象的理解，然后又在不同的问题情境中检验、加深理解的程度。对于数学概念的理解，维纳与稻尔提出的“概念意向”、“概念定义”以及斯根普提出的“工具性理解”与“关系性理解”都充分说明了过程对于理解的重要性。数学概念的理解是一个从简单到复杂、从具体到抽象、从孤立到整体的循序渐进的过程，在这个过程中，伴随着利用、重组、改造数学活动经验。数学活动经验是概念理解的沟通工具以及思维的材料，教师应在概念理解的不同层次开展适宜的数学活动，用多种方式对数学概念进行表征，帮助学生建立概念理解的过程。

三、数学活动经验对数学概念学习的作用

数学活动经验与数学概念都具有过程性和对象性的双重属性，对数学活动经验的关注，从根本上说就是对数学概念理解顺序性、过程性的强调。这种建立在大量数学活动经验上的学习，对于促进学生的概念理解具有重要作用。

1.数学活动经验为概念学习的各个阶段提供了感性经验

感性材料或感性经验是影响概念学习的重要因素。虽然这些数学活动经验带有明显的个体认知成分，并且存在原始、肤浅、片面、模糊的特征，但这类直接数学活动经验是建构个人理解不可或缺的重要素材。如果缺乏这些数学活动经验，学生的感性材料和感性经验较少，就会导致学生对概念的感知不充分，概念的本质属性和无关属性无法充分比较，对掌握概念所必须的经验不能建立起来。不管是稻尔提出的“数学的三个世界”、皮亚杰的“反思性抽象理论”、还是布鲁纳的“表征理论”，都解释了学生的认知发展具有顺序性，是从具体到形式化的过程，而在这个过程中必须以个体生理上的感知和行为为基础。换句话说，学生头脑形成的数学概念都有具体形象的“影子”，而这种”影子”来源于学生学习概念时的感知、操作等具体活动。通过丰富的数学活动，学生能对数学概念进行多重表征，这有利于学习者从各种表征中获得共同的性质从而成功的建立数学概念，同时也能增强这一理解迁移至其他领域的能力。

2.数学活动经验为概念理解提供了解释和组织的背景

数学概念之间具有广泛的联系，这种联系包括概念与背景的联系、概念结构本身的联系，数学概念总是处于一个组织良好的概念体系之中。因此，个别概念的意义总有部分是来自于其他概念的相互关系，或出自系统的整体特征[15]。数学概念学习总是涉及新旧概念的信息，数学活动经验能为我们提供解释信息的背景知识，帮助学习者建立知识之间的内在的“非人为”的逻辑联系，从而将难以理解的数学信息组织成了一个连贯的、有意义的整体。没有这种贯穿知识之间的数学活动经验，学生将难以对信息做出前后一贯的解释。比如，在学习《圆的面积》时，教师可以指导学生回忆“圆的周长公式、已学图形的推到过程”，帮助学生回忆和提取“未知图形的面积可以转化为已学图形来推导面积公式”这一重要策略。这一策略包含了丰富的数学活动经验，不仅涉及学习这些面积公式的整个学习经历（包括认知经验、情感体验性经验、动作技能性经验），还包含了对这些数学概念知识的回忆和巩固。因此，学生以前的数学活动经验不仅为“圆的面积”这一新概念的学习提供了方法上的借鉴，更提供了一个概念间相互联系的学习背景，帮助学生理解与组织新的数学概念。

3.数学活动经验影响学生对数学概念的回忆和提取

一般来讲，积累了丰富数学活动经验的数学概念，我们往往有更好的记忆；而对于缺乏数学活动经验机械记忆的数学概念，记忆的效果则不太好。APOS理论指出，数学对象、图式的形成是一种渐进的建构过程，一个数学概念由“过程”到“对象”需要经过多次的反复、循环渐进，螺旋上升的理解。在整个环节中，相应的具体操作或者数学活动提供了必要的基础，使学生在头脑中逐渐建立起数学知识的直观结构形象。在这一点上，菲尔兹奖的获得者瑟斯顿在描述数学的特征时，也提到“数学具有惊人的‘压缩性”，而这种压缩性来源于对数学知识的整体认知，而整体认知则需要学习者经历对数学知识发生、发展、应用的全过程的参与和体验。数学概念的学习是循环上升的，数学活动经验能为不同抽象程度的学习提供多样化的感性材料（知识领域、情感领域、动作领域），还能强化学习者的理解程度，提高学生回忆和提取新、旧知识的速度和质量。

参考文献：

[1][美]约翰.杜威著，姜文闵译.我们怎样思维·经验与教育[M]北京：人民教育出社，2005

[2][6]中华人民共和国教育部制订.义务教育数学课程标准（2011年版）. 北京：北京师范大学出版社，2011

[3]王新民.论数学活动经验的基本内涵及形成条件[J].课程·教材·教法.2013（11）：p55-60

[4][美]拉尔夫·泰勒著；罗康， 张阅译.课程与教学的基本原理[M].北京：中国轻工业出版社（2014）.p66

[5][9]皮亚杰著，卢濬译.皮亚杰教育论著选[M].北京：人民教育出版社：2015

[7]史宁中，柳海民.素质教育的根本目的与实施路径[J].教育研究，2007（8）：10-14，57

[8]黄翔，童莉.获得数学活动经验应成为数学课堂教学关的目标[J].课程·教材·教法，2008（1）：40-43

[10][11][14]鲍建生、周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海教育出版社.2009

[12]邵光华，章建跃.数学概念的分类、特征及其教学探讨[J].课程·教材·教法.2009（7）.第29卷第7期

[13]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京师范大学大学出版社.2006

作者简介：

苏荣亚（1990，—），女，重庆人，西南大学教育学部在读硕士研究生，研究方向为基础教育课程改革。

于波（1958，6—），女，河北易县人，西南大学教授，教师教育学院研究部主任，硕士生导师，主要从事数学教育研究。