高　韵　杨恒占,　钱富才

(1.西安工业大学电子信息工程学院　西安　710021)(2.西安理工大学自动化与信息工程学院　西安　710048)



具有未知模型的随机系统最小方差控制性能分析*

高韵1杨恒占1,2钱富才2

(1.西安工业大学电子信息工程学院西安710021)(2.西安理工大学自动化与信息工程学院西安710048)

摘要针对参数未知的随机系统,从系统辨识的角度研究最小方差控制问题。首先用最小二乘法辨识参数,继而系统成为一个参数已知的系统。其次,再用最小方差方法设计出控制器。最后给出算例并运用Matlab软件进行仿真,结果表明此方法简单、可行。

关键词随机系统; 最小方差控制; 最小二乘

Performance Analysis of Minimization Variance Control on Stochastic Systems with Unknown Model

GAO Yun1YANG Hengzhan1,2QIAN Fucai2

(1. School of Electronic and Information Engineering, Xi’an Technological University, Xi’an710021)

(2. School of Automation and Information Engineering, Xi’an University of Technology, Xi’an710048)

AbstractThe variance minimization control with the unknown parameters for stochastic systems is studied from the point of system identification. Firstly the unknown parameters are identified with recursive least squares approach to make the system with known parameters. Secondly, a controller is designed with the variance minimization control. Finally, Matlab software is used to simulate the given example and the result shows that the method is simple and feasible.

Key Wordsstochastic systems, minimization variance control, least square

Class NumberTP13

1引言

世界充满不确定性,从量子系统到工业系统,再到社会系统,无一例外。不确定性的存在严重影响控制系统性能。目前,对系统不确定性的研究可粗略的分为随机不确定性和有界不确定性[1]。前者以概率论为其严格的数学基础,发展至今已经较为成熟,后者以集员理论为基础经过40多年的发展也取得了丰富成果。控制系统的基本理念就是处理系统中的不确定性,通过对被控对象施加特定的输入信号,使得被控系统朝着期望的目标运行。如反馈控制、PID控制和自适应类控制[2~6],控制的基本要求是要实时获取描述系统的状态信息。就随机噪声而言,不管用多好的数学模型,用多少传感器,都无法测量到状态的真实值,因为状态的测量值受到了噪声的污染,即使在一段较长时间内,噪声的统计特性已知,但每个时刻的噪声都是未知的。这种情况下,最为有效的处理方法就是用随机过程刻画状态的演化[7~11]。

不同的不确定性处理的理论框架不同,当噪声的分布函数已知,或者有足够的先验知识能够确定分布函数时,无疑在随机理论框架下,探讨控制器的性质具有良好的基础。随着工控机或者其他芯片技术的高速发展,为在工业控制过程中进行数据记录,提供了方便。现在获得现场的大批数据几乎没有难度,以这些充足的数据为样本,建立被控对象的数学模型、确立噪声的分布也比过去容易得多。

一旦用数据样本获得了噪声的分布,那么随机控制就是一个有力工具。最小方差控制以其数学上的简便性和工程上的实用性,已经成为随机控制理论中最为突出的代表之一[6],然而,传统的最小方差控制需要系统模型已知,当模型未知时,控制器无法工作。

本文针对一般过程控制中缺乏模型的随机最优控制问题,用最小二乘建立了被控对象的自回归滑动平均数学模型,以此模型为基础设计出了最小方差控制器,在仿真环境下分析了控制器的性能,获得了一些定量结果。

2问题的描述

考虑下列离散时间动态系统:

y(k+1)=f[y(k),y(k-1),…,y(k-n);

u(k),u(k-1),…,u(k-m),e(k+1)]

(1)

其中,k为当前时刻,u(k)、y(k)、e(k)分别为k时刻系统的标量输入、输出和噪声,f(·)为非线性标量函数,表示系统模型。系统的复杂性体现在模型函数f(·)未知,同时,还有随机噪声的影响,导致控制律难以确定。为使问题能够处理,在工作点本文用自回归滑动平均数学模型近似真实系统(1),具体形式如下:

A(z-1)y(k+1)=B(z-1)u(k)+e(k+1)

(2)

其中,A(z-1)=1+a1z-1+…+anz-n,B(z-1)=b0+b1z-1+b2z-2+…+bmz-m(m≤n),m与n为系统阶次,a1,a2,…,an,b0,b1,…,bm为模型参数;e(k)是k时刻作用于系统的干扰噪声,它是均值为0、方差为R的高斯白噪声,即e(k)~N(0,R);z-1表示单位时滞,定义z-ix(k)=x(k-i)。

由于随机噪声的影响,用不同的输入序列{u(k)}对系统实施控制,系统输出必然产生波动,统计意义下的最小波动即为本文的控制目标,具体为:minJ=E{[y(k+1)-yr(k+1)]2},其中,yr(k)为给定的目标曲线,为方便起见,本文取yr(k)=0,这并不影响控制器的设计。因此,上述控制目标可以简化为:minJ=E{y2(k+1)}。

对于随机系统而言,控制器在k时刻除了知道系统的先验信息之外,还知道k时刻之前施加于系统的控制{u(0),u(1),…,u(k-1)}以及直到k时刻的测量{y(1),y(2),…,y(k)},这些信息是控制器在k时刻进行决策所依赖的基础。为了书写方便,这些信息表示为:Ik={u(0),…,u(k-1),y(1),…,y(k)}。

因此,本文解决的问题为,对于动态未知系统(2),求具有下述形式u(k)=fk(Ik)的控制律,使性能指标J=E{y2(k+1)}最小。该问题也可以写成如下紧凑形式:

s.t.　A(z-1)y(k+1)=B(z-1)u(k)+e(k+1)

3最小方差控制器设计

对系统(2)两边去均值可得到如下关系:

输出的方差为

var([y(k+1)]=E{[y(k+1)-Ey(k+1)]2}

=E{y2(k+1)}=J

其中第二个等号用到了E{y(k)}=0。上式表明对性能指标J的最小化等价于系统输出方差的最小化,而方差反映了在随机噪声干扰下,系统的波动幅度。因此,使J最小的控制器称为最小方差控制。

当系统模型(2)中的参数已知时,可以用文献[8]中的方法获得最小方差控制,为便于阅读,简单给出最小方差控制的设计思路。

首先用A(z-1)除以方程(2)的两边,可得:

(3)

令:

A(z-1)+z-1F(z-1)=1

(4)

其中F(z-1)为具有如下形式的待定多项式:

F(z-1)=f0+f1z-1+…+fn-1z-(n-1)

把F(z-1)带入式(4),利用恒等关系可以求出系数f0,f1,…,fn-1。获得了待定多项式F(z-1)之后,利用式(4),则式(3)可以简化为

y(k+1)=e(k+1)+F(z-1)y(k)+B(z-1)u(k)

(5)

最小性能指标如下:

J=E{y2(k+1)}

=E{[F(z-1)y(k)+B(z-1)u(k)]2}

+E{[e(k+1)]2}

(6)

式(6)推导中完全平方展开后的交叉项用到了噪声的独立性与均值为零的条件。要使性能指标J最小,则第一项必须等于零。因此有:

利用多项式B(z-1),u(k)可写成如下形式:

+f0y(k)+…+fny(k-n)]

(7)

这样导出的控制律为Ik的函数,又能使输出方差最小。

当A(z-1)的系数完全已知时,根据式(4)可以确定出系数f0,f1,…,fn。因此,对于已知的A(z-1)和B(z-1),式(7)确定出了最小方差控制。当模型参数未知时,需要用特定的方法对参数进行辨识。

4系统模型辨识实验

对于参数未知系统(2),控制器(7)无法工作。为辨识模型参数b1,b2,…,bm和a1,a2,…,an,可以通过设计一定的实验,用最小二乘获得。最小二乘就是在脉冲激励下,能使输入-输出数据进行最佳匹配的线性模型,然而,现实中很难获得脉冲信号,因为系统在无限短的瞬间要达到最大-最小,这几乎是不可能的,一个实用的方法就是用伪随机序列来近似脉冲函数。

4.1伪随机序列

理论与实践均已表明:伪随机序列是一种很好的输入信号,不仅辨识效果好,而且易于实现[9]。

伪随机序列就是二位式最大长度线性反馈移位寄存器的状态。它由r个具有移位功能的触发器串联而成,(an-1,an-2,…,an-r)构成一个状态。可由图1产生。图中每个方框表示一个触发器,方框内的数值表示触发器当前状态0或者1。初始值可以任意设置,在脉冲的作用下,触发器将数码向右移一位,最右边溢出的状态便是系统的输入。

图1　伪随机序列寄存器

图1中,ci(i=1,2,…,r)是反馈系数,ci等于0或者1,分别表示第i阶参与或者不参与逻辑组,所以

(8)

4.2最小二乘

最小二乘是一种经典数据处理方法,既可用于静态系统,也可用于动态系统。为使用最小二乘,系统模型(2)可改写为

(9)

用上述方法产生N+1个伪随机序列的输入信号u(k)(k=0,1,…,N),然后将u(k)依次加入实际系统,测量相应的输出y(k),可得到如下关系:

yN=φNθ+eN

其中,

yN=[y(1),y(2),…,y(N)]T

(10)

5性能分析

总结上述结果,可以得到解决未知系统最小方差控制问题(P)的算法为

Step 1:用式(8)产生输入信号{u(k)};

Step 2:用式(10)给出模型参数θ的估计;

Step 3:用式(4)求出多项式F(z-1)的系数;

Step 4:用式(7)给出k时刻的控制输入。

下面以一个单输入-单输出系统为例,对上述算法进行仿真分析。

y(k)+a1y(k-1)+a2y(k-2)=

b0u(k-1)+b1u(k-2)+e(k)

其中,e(k)为白噪声,e(k)~N(0,1),系统参数的真值为:a1=-1.7,a2=0.7,b0=1,b1=0.5,即,模型(2)中的多项式分别为

A(z-1)=1-1.7z-1+0.7z-2;B(z-1)=1+0.5z-1

求解方程(4),可以得到F(z-1)=1.7-0.7z-1,因此,在模型参数已知的情况下,最小方差控制为

u(k)=-1.7y(k)+0.7y(k-1)-0.5u(k-1)

(11)

以下为在假定模型参数未知时,控制器的设计过程。

首先,用式(8)产生伪随机序列,分别为2、5、10、15、30、50阶,以15阶为例,得到的序列为:1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0。然后,用最小二乘法对模型参数进行辨识,辨识结果如表1所示。

表1　参数辨识结果

从表1可以看出,随着辨识序列长度的增加,辨识结果与真值的偏差逐渐减小,但当序列长度大到一定程度时,对辨识效果改善不大。

接着,用式(4)求出F(z-1)=1.7044-0.7033z-1,最小方差控制为

-0.5093u(k-1)

(12)

由式(11)与式(12)的解析表达式可以看出,用本文方法设计出的控制律(12)与真实控制律(11)非常接近,两个控制律的控制效果如图2、图3所示。

图2　参数未知情况下的输出y(k)

图3　参数已知情况下的输出y(k)

6结语

针对一般复杂系统,本文提出了在每个工作点用未知参数的自回归建模方法,给出了模型参数辨识和最小方差控制设计方法,分析了控制器性能。本文在系统参数辨识阶段,设计了伪随机序列作为系统输入,这是为搜集数据所付出的代价,能否一边控制一边搜集数据,是进一步需要完成的工作;另外,在控制目标选取时,将一个多阶段优化问题用多个单阶段优化问题来近似,虽然数学上简单很多,但确定出的控制律不能保证全局方差最小,有短视行为,这也是需要进一步完成的工作。

参 考 文 献

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中图分类号TP13

DOI:10.3969/j.issn.1672-9722.2016.03.001

作者简介:高韵,女,硕士研究生,研究方向:控制理论与控制工程。杨恒占,男,博士,讲师,研究方向:故障诊断、随机控制、最优控制、自适应控制等。钱富才,男,博士,教授,研究方向:最优控制、系统辨识、自适应控制、鲁棒控制、故障诊断等。

基金项目:国家自然科学基金(编号:61273127);高等学校博士学科点专项科研基金(编号:20116118110008)资助。

*收稿日期:2015年9月3日,修回日期:2015年10月27日