需求不确定下承诺交货时间和产能决策
2016-04-11谢祥添张毕西
谢祥添，张毕西
(1.广东开放大学/广东理工职业学院，广东 广州 510091；2.广东工业大学管理学院，广东 广州 510520)
需求不确定下承诺交货时间和产能决策
谢祥添1，张毕西2
(1.广东开放大学/广东理工职业学院，广东 广州 510091；2.广东工业大学管理学院，广东 广州 510520)
在网上定制的市场中，需求具有数量和时间两方面的不确定性。本文提出同时考虑需求量具有承诺交货时间敏感性和随机性，采用作业成本法建立以期望利润为目标函数，以承诺交货时间和产能为决策变量的模型。通过模型的分析得到了相互递推的最优承诺交货时间和最优产能数学表达式。在此基础上，运用排队理论建立了以承诺交货时间可靠性为限制条件的M/M/1决策模型。通过模型分析，证明了模型是凹规划，给出了最优承诺交货时间和最优产能满足的方程组。最后，通过算例的分析可知最优承诺交货时间和最优产能受承诺交货时间可靠性限制，而且随着承诺交货时间可靠性的提高，最优承诺交货时间是递增的，最优产能和最优期望利润是递减的。研究表明：结合承诺交货时间可靠性确定最优承诺交货时间和最优产能有助于提高产能的利用率和交货时间的准确性。
不确定需求；产能；承诺交货时间；M/M/1
1 引言
当前，客户对交货时间要求越来越高，时间已经仅次于价格成为企业赢得市场竞争优势的因素[1]。较早提出时间成为企业竞争武器的是Stalk[2]，他提出时间因素正在重塑全球市场。随后，Bozdogan等[3]通过分析日本企业的运营，提出日本企业能在全球市场竞争中占有一席之地的主要原因是重视时间的管理(基于时间的生产，基于时间的分销和基于时间的创新)。Suri[4]提出了在时间竞争环境下快速反应制造(Quick Response Manufacturing,QRM)的优势和策略。Rondeau等[5]通过对265家基于时间生产的企业调查分析，得出了基于时间生产能提高企业的标准化水平和整合能力。Nahm等[6]通过对224家基于时间生产的企业调查分析，得出了基于时间生产能显著提高企业的决策和沟通能力。此外还有Fisher[7]，杨文胜等[8]，马士华等[9]和Yang Daojian等[10]从供应链的角度研究如何运用时间来获得竞争的优势。So等[11]把企业运用时间获得竞争优势归纳为三种策略：1、快速服务；2、提前预约；3、承诺交货时间。我国大部分生产企业，如订单生产式(Make-to-order, MTO)企业，一般采用第三种策略。那么企业采用第三种策略，在不确定需求条件下，如何保证在承诺交货时间内完工，承诺交货时间应该多长和承诺交货时间可靠性(部分文献称之为时间服务水平)就成为企业要解决的问题了，而解决这些问题无不与产能的配置有关。
关于承诺交货时间和产能决策问题，最近十几年受到众多学者关注和研究。如，Lederer等[12]考虑需求是承诺交货时间和价格敏感的，研究了价格、产能和承诺交货时间三者联合决策的问题，证明了它们存在着均衡关系，指出承诺交货时间更短，产能柔性更大和生产成本更低的企业占有的市场份额更大，产能利用率更高和获得的利润更多。So等[11]根据承诺交货时间可靠性较高时M/M/1排队模型近似G/G/1排队模型，运用排队理论建立以企业利润为目标函数，以价格，产能扩张和承诺交货时间为决策变量的M/M/1模型研究了两类(资本密集型和劳动密集型)服务企业的价格，承诺交货时间和产能之间的关系，得到了这两类企业的三个决策变量联合最优解。Boyaci等[13]分析产能成本对两类产品(常规产品和快速产品)的承诺交货时间，承诺交货时间可靠性和价格影响，建立这两类产品的产能，承诺交货时间，承诺交货时间可靠性和价格决策模型，通过模型的分析得出了：当市场是需求价格敏感性时，企业可以采取价格差异化获利；当市场是需求承诺交货时间敏感性时，企业可以采取交货时间差异化获利；当市场是需求价格敏感性与承诺交货时间敏感性相近时，企业可以提供交货时间可靠性更低的快速产品获得竞争优势。最近，Park[14]考虑需求函数是价格，承诺交货时间和时间服务水平函数，建立以供应商与零售商二级供应链利润为目标函数，以产能，承诺交货时间，时间服务水平和价格为决策变量模型，通过模型的求解得到了模型最优的产能，交货时间，时间服务水平和价格。Falu等[15]和Knollmann等[16]针对延期交货的问题，提出运用控制理论调整产能的增减和订单的释放来提高交货时间的准确性。谢祥添等[17]考虑市场是需求承诺时间敏感性，研究了两类(人工作业和自动化)订单生产式企业承诺交货时间和产能联合决策问题，得出了最优的产能扩张与承诺交货时间存在着类似于耐克函数的关系；最优的产能扩张与承诺交货时间受承诺交货时间可靠性限制。Jayaswal等[18]研究了需求是承诺时间和价格敏感性的双寡头竞争问题，得出了具有产能成本优势的企业应该针对细分市场采用差异化的承诺交货时间和价格策略。这与Boyaci和Ray[13]的结论类似。
以上文献考虑需求是时间的不确定性，采用传统的成本会计构建企业利润目标函数得出最优决策变量使企业的利润最大化。但是在现今复杂需求环境下，需求在数量上往往也具有不确定性。为适应这种需求的不确定，众多企业采取柔性生产的方式。在产能上表现为：在需求高峰时，企业通过加班、雇佣临时工和外包等方式增加产能；在需求低谷时，企业通过减少工人、工时等方式减少产能[19]。传统成本会计不能准确核算这种产能变化的成本，导致产品成本的扭曲和产能的过剩与不足[20-21]。鉴于此，部分学者如Banker等[22]，Balakrishnan等[23]，Göx[24]和Göx[25]面对不确定需求采用了作业成本法核算产品和产能的成本，取得了一定的成果。因此，本文采用作业成本法核算产能成本，构建企业的期望利润函数。
本文的贡献在于考虑需求具有承诺交货时间敏感性和数量上的不确定，采用作业成本法建立以期望利润为目标函数，以承诺交货时间和产能为决策变量的模型，得到了相互递推的最优承诺交货时间和产能数学表达式。在此基础上，考虑需求时间间隔和产品生产处理时间服从负指数分布，建立M/M/1模型得到了最优承诺交货时间和最优产能，这些研究有助于提高产能的利用率和交货时间的准确性。
2 一般模型
2.1 模型的建立
考虑需求数量上的不确定和客户倾向于较短的承诺交货时间，建立需求函数为：
D(l)=a-bl+ε
(1)
其中，a为b=0和ε=0时的需求量，b为需求承诺交货时间敏感系数(b≥0)，l为承诺交货时间。交货时间敏感性需求函数有线性的，如马士华等[9]提出的供应链响应时间和价格敏感需求函数和Ho等[26]提出的承诺交货时间和服务质量敏感需求函数；也有非线性的，如So等[11]提出的价格和承诺交货时间敏感柯布-道格拉斯需求函数。为了便于研究产能与承诺交货时间的关系，本文考虑承诺交货时间敏感性需求函数是线性的。ε为随机需求量，设其均值为E(ε)，这时需求量期望值为：E[D(l)]=a-bl+E(ε)。
根据作业成本法基本原理：产品消耗作业，作业消耗资源。则资源消耗量与产品之间的关系为：
zj=uj(a-bl+ε)=uj(a-bl)+Δj
(2)
其中，zj为第j种资源消耗量。uj为产品消耗作业j的单位作业量。Δj为产品随机需求消耗第j种资源的数量，Δj=ujε，设其概率密度函数和概率分布函数分别为φ(Δj)和Φ(Δj)，设H(zj)为不含Δj的第j种资源的消耗量，H(zj)=uj(a-bl)。
建立以期望利润为目标函数，以承诺交货时间和产能为决策变量的数学模型为:
(3)
(3)式由三项构成，第一项表示期望收入；第二项表示产能成本；第三项表示产能不足的惩罚成本(销售机会损失)，其中第j种资源不足是指产品的消耗量大于当前产能：zj>xj，这时有H(zj)+Δj>xj，移项Δj>xj-H(zj)。那么，用积分表示为：
(3)式其余参数p为单价，c为单位生产成本(除产能成本)。X为产能向量，X=x1，x2，x3…xm，xj为第j种资源的产能。vj为第j种资源的产能单位成本。ωj为第j种资源的产能没有满足需求时的惩罚系数，由于需求不确定，第j种资源的产能有可能不能满足需求，由此导致企业的销售机会损失。一般情况，这种损失产生的成本比正常产能成本要高，例如，需求增加，现有产能不能满足需求时，企业通过加班的方式增加产能，企业付出的加班费比正常工资高。因此有，ωj>1。
2.2 模型的分析
(1)考虑只有承诺交货时间为决策变量
对(3)式求承诺交货时间l一阶偏导数等于0有：
(4)
从(4)式可知，最优承诺交货时间满足的等式为：满足需求得到的单位利润(p-c)等于没有满足需求失去的单位销售机会损失。对(4)式化简有：
(5)
其中，Φ-1(x)为Φ(x)的反函数，设l*是等式(5)关于l的解。对(3)式求承诺交货时间l的二阶偏导数有：
(6)
(2)考虑只有产能为决策变量
同理，对(3)式求产能xj的一阶偏导数等于0有：
(7)
对(3)式求产能xj的二阶偏导数有：
(8)
从(7)式和(8)式知，若φ[xj-H(zj)]>0，那么目标函数存在最大值，最优产能是等式(7)关于产能xj的解，设为xj*。
(3)同时考虑承诺交货时间和产能为决策变量
一般而言，企业对产品进行承诺交货时间和产能决策时，已经存在着市场的交货时间，设为l(0)。在l(0)前提下，企业可以根据(7)式和(8)式确定产品的最优产能，设为xj(0)*，这时企业得到第一次决策的最优期望利润。接着，企业可以在xj(0)*前提下，根据(5)式和(6)式得到产品的最优承诺交货时间，设为l(0)*，这时企业得到了第二次决策的最优期望利润。如此反复，可得到最优承诺交货时间和最优产能。
当然了，企业也可以根据自身已有的产能作为初始产能，然后在初始产能条件下决定最优的承诺交货时间。余下的决策过程与上述一致，略。
以上只是从企业获得期望利润最大化角度，对承诺交货时间和产能决策。但是，交货时间的长短受生产过程的限制[27]。接下来，我们研究生产过程近似M/M/1排队模型的承诺交货时间和产能决策问题。
3 M/M/1 模型
3.1 模型的假设
(1)生产过程近似M/M/1排队模型，即单一产品，单一服务台(资源)，产品到达时间间隔服从负指数分布，产品生产处理时间服从负指数分布，以及产品先来先服务的生产过程；
(2)产能为单位时间处理产品数，设为x；需求量为单位时间的需求。
3.2 模型的建立
Abate等[28]指出承诺交货时间可靠性较高时，实际交货时间小于等于承诺交货时间的尾概率(Tail-probabilities)分布近似服从以下指数分布：
1-P{L(l,x)≤l}≈γe-ηl
(9)
其中，L(l,x)为实际交货时间，它是关于承诺交货时间和产能函数。P{L(l,x)≤l}为实际交货时间小于等于承诺交货时间的概率。γ为常项，η为衰减率。为了叙述方便下文统一用=替换≈。
对于M/M/1排队模型，P{L(l,x)≤l}尾概率分布服从γ=1，η=x-E[D(l)]的指数分布[11,26]，即： 1-P{L(l,x)≤l}=e-{x-E[D(l)]}l。那么，承诺交货时间可靠性限制条件表达式为：
P{L(l,x)≤l}=1-e-{x-E[D(l)]}l≥α
(10)
其中，α为承诺交货时间可靠性，α∈(0, 1)。
那么，考虑承诺交货时间可靠性，建立以单位时间期望利润为目标函数，以承诺交货时间和产能为决策变量的M/M/1模型为：
s.t.P{L(l,x)≤l}=1-e-{x-E[D(l)]}l≥α
(11)
3.3 模型的分析
命题1 (11)式为凹规划。
证明：因为(11)式的目标函数海赛矩阵：
为半负定的，所以(11)式的目标函数为凹函数。又因为(11)式中限制条件表达式e-{x-E[D(l)]}l，设之为g(l,x)，为凸函数，证明见附录1。根据凹规划的定义，(11)式为凹规划。
命题1结论：根据(11)式为凹规划性质可知，最优解满足(11)式的拉格朗日函数一阶偏导数为0的条件。即最优解是以下方程组的解:
(12)
其中，λ为拉格朗日乘子；ϑ=1-α。
4 算例
某一家用电器生产企业，部分产品采用网上定制的方式销售，其过程为：客户通过企业网站定制产品，企业根据客户要求生产，生产完毕后交付。其中有一产品A，采用网上定制销售后，出现了产能不平衡和延期交货频繁的问题，因此需要为其确定合适的产能和承诺交货时间。
产品A，根据历史数据统计可知：客户下单购买的时间间隔服从负指数分布，均值为500- 50l+E(ε)个/天，其中需求随机变量ε～U(5,10)。产品A的生产时间服从负指数分布，平均每个产品的生产处理时间为1/x天。又已知每个产品A价格为2万元，生产成本为1万元，产能成本为0.2万元，消耗单位作业量为0.5以及缺货惩罚系数为1.1。(一)若忽略企业的生产过程，市场的交货时间为10天，求产品A的最优承诺交货时间和最优产能。(二)根据企业的生产过程，分析产品A承诺交货时间可靠性的敏感性，以及当它的承诺交货时间可靠性要求在90%以上时，最优承诺交货时间和最优产能为多少？
依题意，产品A需求随机变量ε～U(5,10)，所以其消耗的生产资源△～U(2.5,5)。其余参数p=2万元，c=1万元，v=0.2万元，a=500个，u=0.5，b=50，w=1.1。
(一)忽略企业的生产过程
把相关数据代入(8)式得-0.088<0，所以根据(7)式得最优产能x*=252.7272727-25l，把l(0)=10天=l代入得x(0)*=2.7272727个/天，这时最优期望利润为6.7273万元。又由(6)式得-55<0，所以根据(5)式得最优承诺交货时间l*=9.290909091-0.04x，把x(0)*=2.7272727个/天=x代入得l(0)*=9.181818183天，这时最优期望利润为25.1364万元。
余下的最优承诺交货时间和产能可以通过递推公式求得，递推公式为：
(13)
其中，n=1,2,3…N。
通过(13)式和上文已计算的x(0)*与l(0)*可得最优的承诺交货时间和产能决策过程，如表1所示。
表1 最优承诺交货时间和产能决策
注：根据承诺交货时间和产能的变化趋势，最优的决策为承诺交货时间等于0(若决策得到的是负数，根据承诺交货时间大于0，则把负数设为0)。
(二)不忽略企业的生产过程
由算例可知企业的生产过程为M/M/1排队模型，所以把相关数据代入(11)式化简有：
E[∏(l,x)]=-2353.6-511l+22.24x-2.2lx-27.5l2-0.044x2
(14)
(1)产品A承诺交货时间可靠性的敏感性分析
由命题1的结论可得最优解(l*,x*,λ*)与承诺交货时间可靠性α(ϑ=1-α)的关系。其中l*满足以下一元四次方程：
22×(5l)4-1031×(5l)3-[1121×ln(1-α)]×5l-22×ln(1-α)2=0
(15)
x*为：
x*=0.227×[1112×ln(1-α)-220×ln(1-α)×l*-2750×(l*)3+25775×(l*)2]/ln(1-α)
(16)
(a)承诺交货时间可靠性与最优承诺交货时间和产能分析
对(15)式作图可得l*和α关系，如图1所示。从图1可知，随着承诺交货时间可靠性的提高，最优承诺交货时间是递增的，并且递增得越来越快。
对(16)式作图可得x*和α关系，如图2所示。从图2可知，随着承诺交货时间可靠性的提高，最优产能是下降的，并且下降得越来越快。需指出的，随着承诺交货时间可靠性的提高，最优产能下降的原因是承诺交货时间可靠性提高，承诺交货时间增加，根据需求是交货时间线性减函数。那么，需求减少。又根据作业成本法，需求减少，则对应的资源减少，所需的产能也就下降了。
(b)承诺交货时间可靠性与最优期望利润分析
把l*和x*代入(14)式得最优期望利润函数E[Π(l*,x*)]与α关系，如图3所示。随着承诺交货时间可靠性的提高，企业的最优期望利润是下降的，并且下降得越来越快。
(2)产品的交货时间可靠性在90%以上
依题意，有α=90%，把它代入(15)式和(16)式可得l*= 9.383天和x*= 38.575个/天，最优期望利润为16.1404万元/天。
为了弄清承诺交货时间，产能和期望利润之间的关系。现设y=0.1-e-(x-1015/2+50l)l，作y，E[Π(l,x)]和l，x的关系，如图4所示。从图4和(14)式可知，最优解是在曲面y与平面0相交线投影在E[Π(l,x)]表面上，再在其轨迹上找到的某一点使得E[Π(l,x)]值最大。
图1 图l*和α关系
图2 x*和α关系
图3 E[Π(l*,x*)]与α关系
图4 y，E[Π(l, x)]和l，x的关系
5 结语
从算例可知，当不考虑企业的生产过程时，企业最优期望利润随着决策的次数增加而增加，最终会增加至承诺交货时间为0，企业取得最大的期望利润。但是承诺交货时间为0明显与企业的实际相违背。所以我们考虑承诺交货时间的可靠性，结合企业生产过程，得到了符合企业自身承诺交货时间可靠性(承诺交货时间可靠性在90%以上)的最优承诺交货时间和产能。同时，通过算例对承诺交货时间可靠性的敏感性分析可知：随着承诺交货时间可靠性的提高，最优承诺交货时间是递增的，最优产能和最优期望利润是递减的。
当今企业面对不确定的市场需求不仅是需求时间的不确定，还会是需求数量的不确定。针对传统成本会计在需求量不确定条件下不能准确核算产能成本，本文采用作业成本法建立了承诺交货时间和产能为决策变量的期望利润模型。在此基础上，考虑需求时间的不确定和承诺交货时间可靠性，根据企业生产过程，运用排队理论建立了承诺交货时间和产能为决策变量的M/M/1模型。通过对模型的分析证明了M/M/1模型为凹规划，给出了最优承诺交货时间和最优产能满足的方程组。
本文的M/M/1模型是在假设企业生产过程为M/M/1的前提下建立的。在实际当中，企业生产过程一般为G/G/1。根据排队理论可知，当承诺交货时间可靠性较高时(一般为95%以上)[11]，M/ M/1排队模型近似于G/G/1排队模型。因此，本文的M/M/1模型可推广应用于承诺交货时间可靠性较高生产过程为G/G/1的企业。
本文研究的是自由竞争市场中的订单生产式企业，价格受市场影响。所以把价格看作常量。但是在市场经济中会存在着价格垄断的企业，它们具有价格的决定权。因此，在不确定需求下，建立以企业期望利润为目标函数，以价格、承诺交货时间和产能为决策变量的模型将会是我们要研究的。
附录1：g(l,x)=e-{x-E[D(l)]}l为凸函数
引理1f(x,y)是二元函数，当f(x,y)⊂R2时，f(x,y)是凸函数的充要条件是[29]：
引理2 如果f和g是凸函数，且g递增，那么h(x)=f(g(x))是凸函数。
证明：设g(l,x)=e-G(x,l),G(x,l)={x-E[D(l)]}l。
因为E[D(l)]=a-bl+E(ε)，所以有：G(x,l)={x- [a-bl+E(ε)]}l。根据引理1得：
所以，G(x,l)为凸函数。又因为设x1
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Promised Lead Time and Capacity Decision-Making Based on Demand is Uncertain
XIE Xiang-tian1，ZHANG Bi-xi2
(1.The open University of Guangdong/Guangdong Polytechnic Institute, Guangzhou 510091,China;2.School of Management,Guangdong University of Technology, Guangzhou 510520, China)
In the market of online-customized products, demands possess uncertainty in both amount and time.In this paper, a promised lead time and capacity decision-making model is proposed by taking expected profit as the objective function with the Activity Based Costing, considering the demands are sensitivity of promised lead time and stochastic. A recursive mathematical expression of the optimal promised lead time and the optimal capacity is obtained by analyzing the model. On this basis, building up the M/M/1 model by taking the reliability of promised lead time as limiting condition with the queuing theory. It is proved that the M/M/1 model is Concave Programming, and equations of the optimal promised lead time and the optimal capacity are obtained. At last, through numerical example the optimal promised lead time and the optimal capacity are restricted by the reliability of promised lead time, and with the improvement of the reliability of promised lead time, the optimal promised lead time is increasing; the optimal capacity and the optimal expected profit are decreasing. The research shows that the optimal promised lead time and the optimal capacity are got through combining with the reliability of the promised lead time, which can improve the utilization rate of capacity and the accuracy of lead time.
uncertain demand; capacity; promised lead time; M/M/1
1003-207(2016)11-0073-08
10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.11.009
2015-03-13；
2015-08-04
国家自然科学基金资助项目(71271060，70971026)；广东省自然科学基金资助项目(S2012010009278，2014A030310285)；广东理工职业学院资助项目(1610)
谢祥添(1981-)，男(汉族)，广东清远人，广东开放大学讲师，博士生，研究方向：管理科学与工程，E-mail:122627748@qq.com.
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