陈道云，孙守光，李　强，张亚禹，王金莎，张学苹

(1.北京交通大学 机械与电子控制工程学院，北京　100044；2.齐齐哈尔轨道交通装备有限责任公司 货车分厂，黑龙江 齐齐哈尔　161002)

结构的动应力谱是对结构进行疲劳强度评估的重要依据，其精度直接影响疲劳寿命预测的准确性。实测的结构动应力时程曲线往往是一个有限长的子样，由此得到的动应力谱不能直接用于结构的疲劳强度评估，需要对其进行统计、推断，以获得服役期间可能出现最大值的动应力扩展谱。

在作统计和推断之前，需要对实测的动应力谱进行分布拟合。在拟合工程结构的动应力谱分布时，常用的分布函数类型有截尾正态分布[1]、对数正态分布[2-4]和威布尔分布[5-7]。经验表明，采用单一分布函数拟合得到的结构动应力谱很难通过严格的卡方检验，因而只能用于粗略估计。

除此之外，Giddings[8]函数经常被用于拟合色谱领域的色谱峰，这种函数对数据波动具有很好的适应性，因此可以尝试将其应用于工程结构动应力谱的分布拟合。

为提高结构动应力谱分布拟合的精度，需找到能够顺利通过卡方检验的分布函数。考虑到不同类型的分布函数在不同谱级间拟合的精度不同，本文首次利用分段函数将不同类型的分布函数分段组合，构造出的分段分布函数能够顺利通过卡方检验。最后将动应力谱扩展并进行Miner线性累积损伤分析，进而从线性累积损伤的角度对分段函数的分布拟合效果进行校验。

1　数据采集及处理

选取某型动车组制动吊座的疲劳关键点进行动应力数据的采集，测点位置如图1所示。采样频率设为500 Hz，该频率足以保证所测信号的完整真实[9]。

信号采集期间会有各种因素对真实信号进行干扰，因此测得的数据不能直接用于结构动应力谱的编制，需要先对其进行信号处理，信号处理流程为：原始数据→应变信号转应力信号→未调平衡处理→去除零点漂移→异常信号处理→滤波→小波处理。处理后的动应力数据还需要进行时间历程雨流计数，得到的一维应力谱见表1。

图1　制动吊座的疲劳关键测点

级数动应力中值/MPa观测频数级数动应力中值/MPa观测频数167337867810379029221019208683114136148313669871512448280417124274313482950520581747214517525624057305155521187275130061660418830971301177080893443618

2　动应力谱频率分布直方图

动应力谱的频率分布直方图对分布拟合的精度将产生很大影响，而直方图的起点及每级之间间隔的选取直接决定了直方图的形状，并间接影响分布拟合的精度。

在对结构进行疲劳可靠性评估时，幅值低于5 MPa的小动应力数据通常要被过滤掉，因此小幅值动应力对结构疲劳损伤的影响可以忽略。由此可以确定，频率分布直方图的起点设为5 MPa较为合理。

根据Luise[10]的建议，动应力每级之间的间隔(直方图组距)Δ应由下式确定。

(1)

式中：R为动应力变化范围；N为样本总数。

利用这种方法得到的直方图是等组距直方图。对于实测的轨道车辆结构动应力数据来说，在直方图尾部的高幅值区域数据通常非常少，因此等组距带来的1个问题就是分布估计时的精度较低。为了克服这个缺陷并满足后续卡方检验的需要，从等距分组的最大幅值对应的频次开始，逐步向上累加频次，直到累加频次大于等于5，停止累加，作为1个频次。然后按同样的方法累加合并其他小于5 的频次，直到所有小于5 的频次都被累加，最后按累加频次对应的区间调整区间边界值，完成分组合并。

结合表1，按照上述方法绘制的制动吊座动应力谱频率分布直方图如图2所示。

图2　动应力谱频率分布直方图

3　单一分布函数拟合

截尾正态分布的概率密度函数f1(x)为

(2)

式中：K为正规化常数；μ1为截尾正态分布的均值；σ1为截尾正态分布的标准差；x为动应力谱每级的动应力中值。

对数正态分布的概率密度函数f2(x)为

(3)

式中：μ2为对数正态分布的均值；σ2为对数正态分布的标准差。

三参数威布尔分布的概率密度函数f3(x)为

(4)

式中：β为威布尔分布形状参数；η为威布尔分布尺度参数；γ为威布尔分布位置参数。

Giddings分布的概率密度函数f4(x)为

(5)

其中，

式中：A为Giddings分布的面积系数；ω为Giddings分布的宽度系数；xc为Giddings分布的中心系数；Jl(x)为柱贝塞尔函数。

采用单一分布函数拟合得到的参数值见表2。

表2　单一分布函数拟合参数值

对频率分布直方图进行分布拟合后，还需要进行拟合效果的检验，通过检验的分布才能作为最终的动应力谱分布。比较严格的检验方法是采用拟合优度的卡方检验对动应力谱分布进行检验，卡方值的计算公式为

(6)

式中：χ2为动应力谱分布拟合检验的总卡方值；k为分组数；i为动应力谱的级数；vi为观测频数；F为累积分布函数；xi为动应力谱第i级的动应力下限；xi+1为动应力谱第i级的动应力上限。

根据式(6)分别计算以上4种分布函数的各级卡方值，结果见表3。

表3　4种分布的各级卡方值及总卡方值

由表3可见，在4种分布函数中截尾正态分布函数的总卡方值最大，拟合效果最差，另外3种分布函数的总卡方值较截尾正态分布函数小。

由表3得到对数正态分布函数、威布尔分布函数和Giddings分布函数拟合检验的各级卡方值图，如图3所示。

图3　3种分布函数拟合检验的各级卡方值对比

由图3可见，由Giddings分布函数得到的前6组卡方值较小，即对前6组的数据拟合较好，威布尔分布函数对中间组(7～12组)的数据拟合较好，对数正态分布函数对尾部(13～17组)数据拟合较好。

4　分段函数拟合

考虑到Giddings分布函数、威布尔分布函数和对数正态分布函数在不同谱级段的拟合优势，构造1个分段函数，对数据进行分段拟合。分段函数的概率密度函数f5(x)为

f5(x)=

(7)

式中：x1,x6,x7,x12,x13和x17分别为动应力谱频率分布直方图第1级、第6级、第7级、第12级、第13级和第17级的动应力。

采用式(7)对表1的动应力谱数据进行分布拟合，得到的各参数值见表4。

结合式(6)，拟合检验的各级卡方值见表5。

表4　分段函数拟合参数值

表5　分段函数拟合检验的各级卡方值

由表5可见，分段函数拟合的各级卡方值均较小且17级谱的总卡方值小于卡方检验的临界值，因此分段函数分布顺利通过了卡方检验。

为了更加直观地观察分段函数的拟合效果，将分段函数的概率密度曲线与实测动应力谱的频率分布直方图作比较，如图4所示。

图4分段函数分布概率密度曲线与实测动应力谱频率分布直方图比较

由图4可见，基于分段函数分布的概率密度曲线与实测动应力谱频率分布直方图的吻合程度很好，表明分段函数分布能够很好地用于描述实测的动应力谱分布趋势。

由于研究动应力谱分布拟合的最终目的是要通过计算损伤来预测结构的疲劳寿命，因此分布拟合的优劣还需要经过疲劳损伤的校验。

5　谱分布拟合的疲劳损伤校验

易当祥[11]建议以概率为10-6的动应力为最大动应力，利用超越概率10-6反解分布函数，得到服役期可能出现的动应力最大值。

由于制动吊座的实测动应力谱的总循环次数不足106，因此为得到实测扩展谱，需对实测谱的各级统一乘以1个系数，使总循环次数达到106，假设动应力谱的最小值仍为5 MPa，由利用分段函数推断得到的动应力谱最大值为81.13 MPa，稍大于实测最大值77.72 MPa。由实测谱推断的扩展谱与由分段分布推断的扩展谱对比结果见表6。

表6　实测动应力谱和分段函数动应力谱的扩展谱对比

动应力谱损伤的计算基于Miner线性累积损伤法则[12]，则动应力谱损伤D为

(8)

式中：zi为各级动应力实际循环次数；Ri为各级动应力作用下循环至破坏的寿命；C1和m为材料的S—N曲线参数；σ-1i为各级动应力。

由表6和式(8)得到各级损伤值如图5所示。

由图5可见，分段函数的动应力谱损伤与实测谱损伤的总体走势一致；2种损伤在前几级与后几级的损伤值比较接近，中间级的损伤值相差较大且分段分布每一级的损伤都大于实测损伤，这表明分

图5　Miner线性累积损伤对比

段分布对动应力谱中间段的拟合估计偏保守，使得利用分段分布损伤估算疲劳寿命时的寿命偏低，这种保守的结构疲劳寿命估计对于保证结构在运用时的安全是非常有必要的。

6　结　论

(1) 对于轨道车辆结构的动应力谱分布估计而言，单一分布函数的分布拟合不能通过卡方检验。

(2) 当应力谱的组数较多时，不同分布函数对应的拟合精度不同。截尾正态分布的拟合精度最差，Giddings分布对前6组数据拟合较好，威布尔分布对中间组(7～12组)数据拟合较好，对数正态分布对尾部(13～17组)数据拟合较好；利用这一特点，将不同的分布函数分段组合得到1个分段分布函数，该分段函数的分布拟合能够顺利通过卡方检验。

(3) 利用分段函数分布推断得到的动应力谱，其Miner线性累积损伤走势与实测谱的总体走势一致，且其每级损伤均大于实测谱损伤，使得其对结构的疲劳寿命能做出偏安全的预估。

[1]李强，刘志明，张桂青，等. 提速客车转向架动应力分布拟合的研究[J]. 铁道学报，2001，23 (4)：105-108.

(LI Qiang，LIU Zhiming，ZHANG Guiqing，et al. Research on Distribution of Dynamic Stress for Speed Increased Passenger Car Bogies[J]. Journal of the China Railway Society，2001，23 (4)：105-108. in Chinese)

[2]赵宇刚，毛保华，蒋玉琨. 基于列车运行时间偏离的地铁列车运行图缓冲时间研究[J]. 中国铁道科学，2011，32 (1)：118-121.

(ZHAO Yugang，MAO Baohua，JIANG Yukun. Study on the Buffer Time of Metro Train Diagram Based on Train Running Time Deviation[J]. China Railway Science，2011，32(1)：118-121. in Chinese)

[3]惠晓龙，王文静. 动车组构架垂向载荷统计特性研究[J]. 铁道机车车辆，2015，35(增1)：91-95.

(HUI Xiaolong，WANG Wenjing. Research on Statistics Characteristic of Vertical Load for High-Speed Train Bogie[J]. Railway Locomotive & Car，2015，35 (Supplement 1)：91-95. in Chinese)

[4]薛广进，李强，王斌杰，等. 轨道车辆结构动应力谱分布的估计[J]. 机械工程学报，2013，49 (4)：102-105.

(XUE Guangjin，LI Qiang，WANG Binjie，et al. Estimation of Distribution for Rail Vehicle Dynamic Stress[J]. Journal of Mechanical Engineering，2013，49(4)：102-105. in Chinese)

[5]周素霞，谢基龙，赵方，等. 基于概率分布函数的动车组车轴应力谱试验分析[J]. 中国铁道科学，2013，34 (2)：95-99.

(ZHOU Suxia，XIE Jilong，ZHAO Fang，et al. Experimental Analysis on the Stress Spectrum of EMU Axle Based on Probability Distribution Function[J]. China Railway Science，2013，34 (2)：95-99. in Chinese)

[6]张永亮. 基于跟踪测试的高速动车组构架载荷特性研究[D]. 北京：北京交通大学，2013.

(ZHANG Yongliang. Study on Load Characteristic of High-Speed EMU's Bogie Frame Based on Tracking Test[D]. Beijing：Beijing Jiaotong University，2013. in Chinese)

[7]毛贺. 高速列车载荷谱编制方法的研究[D]. 北京：北京交通大学，2009.

(MAO He. Study of Load Spectrum Compiling Method of High Speed Train[D]. Beijing：Beijing Jiaotong University，2009. in Chinese)

[8]OriginLab Corporation. Origin Help[EB/OL]. Northampton：OriginLab Corporation, 2015[2015]. http：//www.originlab.com/doc/Origin-Help/Giddings-FitFunc.

[9]王萌, 李强, 孙守光. 耦合作用下各载荷对结构疲劳损伤影响程度的评估方法[J]. 中国铁道科学，2015，36(3)：94-99.

(WANG Meng, LI Qiang, SUN Shouguang. Evaluation Method for Influence Degree of Each Load on Fatigue Damage of Mechanical Structure under Coupling Effect[J]. China Railway Science, 2015, 36(3)：94-99. in Chinese)

[10]LEWES E E. Introduction to Reliability Engineering [M]. New York：Wiley，1986.

[11]易当祥，吕国志，周雄伟. 用概率推断法确定多工况二维疲劳设计谱的载荷最大值[J]. 应用力学学报，2006，23 (3)：484-487.

(YI Dangxiang，LÜ Guozhi，ZHOU Xiongwei. Maximal Loading Calculation for Two Dimensional Fatigue Design Spectrum under Multiple Working Conditions with Probability Extrapolation Method[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics，2006，23(3)：484-487. in Chinese)

[12]MINER M A. Cumulative Damage in Fatigue[J]. Journal of Applied Mechanics, 1945, 12 (3)：159-164.