李 美　陈其工　魏利胜

(安徽工程大学安徽检测技术与节能装置省级重点实验室， 安徽 芜湖 241000)



一类复杂动态网络的脉冲同步研究

李 美陈其工魏利胜

(安徽工程大学安徽检测技术与节能装置省级重点实验室， 安徽 芜湖 241000)

摘要：针对具有时延的复杂动态网络，在有时延的条件下，讨论此类系统的脉冲同步问题。首先，利用节点输出项设计脉冲控制器，实现复杂动态网络各个节点的同步；在此基础上，采用Lyapunov方程，推导该类复杂动态网络脉冲同步的充分条件；最后，利用实例验证了该方法的有效性与可行性。

关键词：动态网络； 脉冲同步； Lyapunov理论

同步是自然界和人类社会中普遍存在的现象，受到了来自生物、化工、航天、医疗、社会和经济等各个领域学者的广泛关注，其中有关复杂网络同步的研究显得尤为突出[1]。脉冲控制作为一种经典的控制手段，由于其结构简单、控制成本低、鲁棒性强，已经被广泛应用于实际工程系统中。对于复杂动态网络的同步研究潜力应用较大而且影响较为广泛。此外，因复杂网络的拓扑结构可以和很多自然现象相联系，故复杂动态网络的同步问题已经成为非线性系统领域的一个重要的研究方向。

目前，脉冲同步正逐渐被应用到复杂动态网络中。脉冲同步主要在于对连续系统的控制，在离散时刻施加脉冲，从而使系统达到同步。近年来，广大国内外学者对此进行了广泛而深入的研究。陈武华等人主要研究了基于一般混沌Lur′e系统的输出反馈脉冲同步[2]。陈远强等人通过可变长脉冲间隔的脉冲控制实现脉冲同步，应用于非线性系统[3]。张丽萍等人针对一类非线性时滞混沌系统，提出一种新的自适应脉冲同步方案[4]。Chu等人主要研究具有分布时延的复杂动态网络的脉冲同步问题[5]。尚磊等人主要通过设计一个合适的自适应脉冲控制器来实现输出耦合复杂网络的同步[6]。罗毅平等人主要在系统节点扩张后，在原有的控制器已不能使系统保持稳定时，设计了新控制器使系统性能指标满足要求[7]。

但在以往所有复杂动态网络的脉冲同步研究中，对于输出耦合复杂网络同步的研究较少。本次研究利用输出脉冲控制方法，研究基于输出耦合复杂动态网络的脉冲同步。根据脉冲控制概念、脉冲微分方程的稳定性理论以及比较系统，设计脉冲控制器，实现具有输出耦合复杂动态网络的脉冲同步。

1问题描述

令Rn表示n维的欧几里德空间，‖°‖表示欧几里德范数，J=[t0,+∞), t≥0。

考虑由N个相同节点组成的复杂动态网络系统：

i=1,2,…,N

(1)

式中：t∈J；xi=(xi1,xi2,…,xin)T，为第i个节点的状态向量；A∈Rn×n，为已知常数矩阵；L1∈Rn×1，为已知增益矩阵；yj=Hxj，为节点j的输出项，且H=[h1h2…hn]，为节点输出向量；D=(Dij)N×N，为耦合矩阵。若第i个节点和第j个节点之间有联系，则Dij=Dji>0，否则Dij=Dji=0(i≠j)，且矩阵D=(Dij)N×N对角线上的元素满足关系式：

(2)

设同步流形为：

(3)

设计适当的脉冲控制器，用以实现复杂动态的全局指数同步：

ui(tk)=Bik(L2yi(t)-L2Hs(t))

k=1,2,3,…

(4)

在式(4)描述的脉冲控制器的作用下可以得到复杂动态网络的脉冲控制系统：

(5)

(6)

=(IN⊗A)E(t)+F(E(t))+(C⊗Γ)·

E(t-τ(t))t∈(tk,tk+1]

(7)

其中，

假设1：假设存在常数li>0(i=1,2,…,N)，则对于所有的xi(t)∈Rn有：

‖f(xi(t)-f(s)‖≤li‖xi(t)-s(t)‖=

li‖ei(t)‖

(8)

由式(8)可得到

‖F(E(t))‖≤l‖E(t)‖

(9)

假设2：tk+1-tk≥δ,δ>1;k=1,2,3,…

2脉冲同步控制器的设计

引理1：令P∈Rn×n是正定对称矩阵，Q∈Rn×n是对称矩阵，则对于任意的x∈Rn，有下面的不等式成立：

λmin(P-1Q)xTPx≤xTQx≤λmax(P-1Q)xTPx

(10)

引理2：若矩阵D=(Dij)n×n有特征值0，且重数为1，则C其余特征值均为负数。令：

(11)

引理3：令v(t)为连续函数，且v(t)≥0(t≥t0)。如果

(12)

v(t)的初值为v(t)=φ(t),t∈[t0-τ,t0]，其中φ(t)逐点连续，a>b>0，则：

v(t)≤v(t0)e-λ(t-t0),t≥t0

(13)

其中，λ是-λ=-a+beλT的正根。

定理1：如果假设1和假设2成立，且存在正定对称矩阵Pi(i=1,2,…,N)和常数αi满足αi>bN>0(i=1,2,3,…)，使如下系统成立，则式(8)描述的系统渐近指数稳定，即动态网络(1)与(3)同步。

(1)对于所有的t∈[tk,tK+1]时，式(14)成立。

(14)

(2)对于所有的k=1,2,3,…，有：

(15)

证明：取Lyapunov函数

(16)

=[Aei(t)+f(xi(t))-f(s(t))+

由假设1可得：

其中，ηi=[ei(t),e1(t-τ),…，en(t-τ)]。

由式(11)和(14)可得：

=-αiv(t)+bNv(t-τ)

(17)

3数值仿真分析

采用Lorenz混沌系统的相关数据进行仿真。Lorenz系统的状态方程为：

(18)

式中：

设计脉冲控制器，选取

Bik=diag{-0.99,-0.99,-0.99}

使得：

ρmax=λmax((I+Bik)T(I+Bik))=0.009<1

δK=(CNρmax+λmax(diag{α-d10,α-d20,…,α-dn0}))=227

取ζ=1，由于δk≥0, 2δk(tk+1-tk)≤-ln(ξρk)，则由定理1得：

因0≤tk+1-tk≤0.020 3，选取tk+1-tk=0.01。仿真结果如图1所示。

图1　同步误差图

从图中可以看出，误差很快收敛到零。根据定理1设计的控制器可以使复杂网络中各个节点的状态与同步流形的状态很快渐进同步。

4结语

针对具有时延的复杂动态网络，利用节点输出项设计脉冲控制器；采用Lyapunov方程，推导出该类复杂动态网络脉冲同步的充分条件；通过实际的数值仿真模拟，验证了所提方法的有效性。此方法与其他方法相比更为简单有效。

参考文献

[1] STROGATZ S H. Exploring Complex Networks[J]. Natures, 2001(3):268-276.

[2] 陈武华,位旦,王自鹏.混沌Lur′e系统的输出反馈脉冲同步[J].广西大学学报,2011,36(6):987-993.

[3] 陈远强,许弘雷.时变时滞统一混沌系统的脉冲同步控制[J].系统工程理论与实践,2012,32(9):1958-1963.

[4] 张丽萍,姜海波,毕勤胜.一类非线性时滞混沌系统的自适应脉冲同步[J].数学的实践与认识,2012,42(1):170-177.

[5] CHU Sumei, HE Wangli, HAN Qinglong,et al. Impulsive Synchronization of Complex Dynamical Networks with Distributed Delays[J]. Control Conference, 2014(10): 1413-1418.

[6] 尚磊,郑永爱.输出耦合的复杂网络自适应脉冲同步[J].动力学与控制学报,2012,10(1):48-51.

[7] 罗毅平,周笔锋.时滞扩散性复杂网络同步保性能控制[J].自动化学报,2015,41(1):147-156.

Impulsive Synchronization for a Class of Complex Dynamical Networks

LIMeiCHENQigongWEILisheng

(Anhui Key Laboratory of Detection Technology and Energy Saving Devices,Anhui Polytechnic University, Wuhu Anhui 241000, China)

Abstract:The issue of impulsive synchronization in the complex dynamical networks with delays was researched. First of all, the synchronization of each node in complex networks was achieved by use the node output impulsive to design controller. Based on this, the sufficient condition of the impulsive synchronization in the complicated dynamical network was deduced by the Lyapunov Equation. Finally, the example was presented to verify the effectiveness and feasibility of the proposed method.

Key words:dynamical networks; impulsive synchronization; Lyapunov Theory

文献标识码：A

文章编号：1673-1980(2016)01-0121-04

中图分类号：TP273

作者简介：李美(1991 — )，女，安徽工程大学2013级在读硕士研究生，研究方向为运动控制系统的分析与设计。

基金项目：国家自然科学基金项目“网络控制系统中基于时延在线预测的动态调整策略研究”(61172131)；国家自然科学基金项目“信息物理融合系统高度实时性能的保障机制研究”(61271377)

收稿日期：2015-12-14