霍子伟

摘 要： 含参数问题是综合性很强的问题，是近年高考综合题的热点考点，解决这类问题需要学生有较好的数学素养和较强的数学能力.本文主要论述如何利用图形计算器探究关于求参数范围的问题.

关键词： 参数 图形计算器 数形结合 化归思想

1.引言

Casio图形计算器拥有代数运算、图像、统计、编程及几何等功能，当中的计算矩阵、统计、电子教案、数据表格等14个模块全面覆盖高中数学教材，满足各种数学教学需要，同时它还能与电脑相连，实现教学内容的同步投影.

2.函数的单调性与参数的取值范围

通过图形计算器，用新的视觉纵观高考题目.

例1：（2013高考数学广东理科第21题）设函数f（x）=（x-1） e■-kx■（k∈R）.

（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；

（2）当k∈（■，1]时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M.

解：（1）当k=1时，输入函数y=（x-1）e■-x■，按Ly，分别选择y，e，得出函数的极大值与极小值.得出f（x）的单调区间的单调递增区间是（-∞，0）和（0.69314，+∞），单调递减区间是（0，0.69314）.其中0.69314约为ln 2.

（2）探究一：观察函数f（x）=（x-1）e■-kx■（k∈（■，1]）的图像，定义域设为R.函数动态图像如下图所示：

动态分析：虽然可以看到函数f（x）在定义域R上的图像随参数k值变化的趋势，但由于定义域（-∞，+∞）是开区间，在图像上不能确定闭区间[0，k]上的最大值.

探究二：观察函数f（x）=（x-1）e■-kx■（k∈（■，1]）的图像，定义域设为[0，k].函数动态图像如下图所示：

动态分析：随着参数k的变化，函数f（x）图像在变动，与此同时函数的定义域也在变动.图像看似毛毛虫在爬动，图像形象具体，但是由于k的变化既影响函数的单调性，又影响着定义域的范围，因此仍然无法得出函数的最大值M.

探究三：观察函数f（x）=（x-1）e■-kx■（k∈（■，1]）的图像，由于k∈（■，1]，其最大值为1，因此将定义域调节为[0，1].函数动态图像如下图所示：

动态分析：可观察到在确定区间[0，1]上，函数f（x）呈现一定的下降与上升的趋势，这种趋势引领我们先研究函数f（x）在确定的闭区间[0，1]上的单调性，并以此作为本题的切入点，再通过比较定义域端点k值与极小值ln 2k的大小进一步求解，体现从宏观到微观的解题思路.具体证明过程如下：

证明：f′（x）=e■+（x-1）e■-2kx=xe■-2kx=x（e■-2k），

令f′（x）=0，得x■=0，x■=ln（2k）∈（0，ln 2]？哿[0，1]，

下面比较ln 2k与k的大小.

令g（k）=ln（2k）-k，则g′（k）=■-1=■>0，所以g（k）在（■，1]上递增，

所以g（k）≤ln 2-1=ln 2-lne<0，从而ln（2k）

所以当x∈（0，ln（2k））时，f′（x）<0；当x∈（ln（2k），+∞）时，f′（x）>0，

所以M=max{f（0），f（k）}=max{-1，（k-1）e■-k■}.

令h（k）=（k-1）e■-k■+1则h′（k）=k（e■-3k），

令φ（k）=e■-3k，则φ′（k）=e■-3

所以φ（k）在（■，1]上递减，而φ（■）·φ（1）=（■-■）（e-3）<0，

所以存在x■∈（■，1]使得φ（x■）=0，且当k∈（■，x■）时，φ（k）>0，

当k∈（x■，1）时，φ（k）<0，所以φ（k）在（■，x■）上单调递增，在（x■，1）上单调递减.

因为h（■）=-■■+■>0，h（1）=0，

所以h（k）≥0在（■，1]上恒成立，当且仅当k=1时取得“=”.

综上，函数f（x）在[0，k]上的最大值M=（k-1）e■-k■.

3.结语

含参数问题是综合性很强的问题，是近年高考综合题的热点考点.参数问题广泛应用于高中数学的函数解析式、数列的通项公式、含参数的方程或不等式、含参数的曲线方程和曲线的参数方程等方面.“君子生非异也，善假于物也”.若能掌握好图形计算器这门“利器”，学生便能在教师的指导下进行自主操作、观察、研究、分析、发现、猜想，深刻理解数学本质，真正实现数学学习与现代信息的有效整合.

参考文献：

[1]唐德绪.TI图形计算器支持下的高中数学探究学习研究[D].云南师范大学，2006.

[2]邓军民.利用TI图形计算器探索参数范围的求解问题[J].中国数学教育，2012（1-2）：1-2.