邓　田， 周厚云， 白庆月

(兰州交通大学数理学院， 甘肃　兰州　730070)



一类裂纹转子的非线性动力学特性分析

邓田， 周厚云， 白庆月

(兰州交通大学数理学院， 甘肃兰州730070)

[摘要]转子裂纹是旋转机械最为常见的故障，检测与识别转子裂纹，对旋转机械平稳、可靠与高效运行大有裨益.研究裂纹转子的动力学特性，作为转子裂纹诊断技术的理论前提和依据是十分必要的.以Jeffcott转子模型为基础，建立了余弦波转子系统的动力学模型.用标准的Runge-kutta算法对动力学模型进行数值积分，说明参数K随角速度的变化，进而去研究该系统的非线性动力学行为的变化.

[关键词]裂纹转子；余弦波；非线性动力学

裂纹转子系统的非线性动态特性分析对于有效地提高转子系统的特性和准确地进行故障诊断具有重大意义.因此，为了找出裂纹故障最与众不同的振动特性，众多学者对裂纹转子非线性特性做了研究. Darpe等人分析了呼吸裂纹模型、开闭裂纹模型和开裂纹模型对转子系统的影响[1].Gasch综述了带有横向裂纹转子的动态特性，指出随着轴的旋转由于轴的自重会引起裂纹张开和闭合[2].本文研究了余弦波裂纹转子系统的动力学特性，用标准的Runge-kutta算法对动力学模型进行数值积分，说明参数K随角速度的变化，进而研究该系统的非线性动力学行为的变化[3-7].

1裂纹-系统的非线性动力学模型建立

通过对以往裂纹转子系统的研究，我们知道裂纹角的开闭实质上反应在裂纹轴的刚度变化上[8-11].这里我们应用Jeffcott转子为研究对象，而目前裂纹转子系统的研究模型有3种：方波模型,用一个阶跃函数表示开闭规律，认为裂纹的开闭是瞬间完成的；余弦波模型,用一个连续函数表示开闭规律；综合模型,就是方波模型和余弦波模型统一起来表达裂纹开闭及过渡过程的模型.这里我们采用余弦波模型.

图1　裂纹转子系统的力学模型

图2　裂纹截面、转角示意图

如图1所示，转子两端由两个相同的轴承支撑，m为转子圆盘的质量，K为弹性轴刚度，c1为转子阻尼系数.设转子圆盘位移为x、y，则该转子系统的运动微分方程为

其中，

Φ0为初相位，β为裂纹法向与不平衡之间的夹角，Δk为裂纹引起的刚度变化，ω为角速度.对上式引入无量纲变换：

将上式再化为一阶四维的微分方程：

2　裂纹模型动力学分析

用标准的Runge-kutta算法对动力学模型进行数值积分，说明参数K随角速度的变化，进而去研究该系统的非线性动力学行为的变化.

图3　 裂纹转子系统分岔图

结合这个分岔图可以发现，系统是由单周期运动、倍周期运动、拟周期运动和混沌运动交替出现组成.

首先，我们取ω∈[0.3,0.5]为研究范围，可以看到当0.3<ω <0.373 8时系统是1周期运动；当ω=0.373 8时系统进入混沌运动和拟周期运动，在0.373 8<ω<0.406 5时，系统呈现混沌运动；当ω=0.406 5时，系统进入2周期运动，当0.406 5<ω<0.411 6时,系统呈现2周期运动运动；当ω=0.411 6时，系统进入周期混沌运动，在0.419 7<ω<0.422 8时,系统呈现10周期运动；当ω=0.422 8时，系统进入5周期运动，在0.422 8<ω<0.437 2时，系统呈现5周期运动.在0.437 2<ω<0.5时系统再次进入混沌区域.

下面我们取图4中各个运动状态所对应的区域中的某一固定数值，通过这一固定值所对应的时间响应图、相图、Poincare映射投影图等来近一步说明系统在对应区域的运动行为.

图4　局部放大图(1)

由图5可以看出：系统在ω=0.321 1时，相图中的曲线显示为1条闭合的曲线，庞加莱截面图显示1个孤立的点，仔细分析其时间响应图，它的波峰之间为1周期循环.可见，此时该系统表现1周期运动.

图5　ω=0.321 1时系统的相图、庞加莱截面图、时间响应图

由图6可以看出：系统在ω=0.381 2时，相图中的曲线显示为无数条闭合的曲线，庞加莱截面图显示无数个孤立的点，仔细分析其时间响应图，它的波峰之间为无周期可循.可见，此时该系统表现混沌运动.

图6　ω=0.381 2时系统的相图、庞加莱截面图、时间响应图

由图7可以看出：系统在ω=0.4085时，相图中的曲线显示为2条闭合的曲线，庞加莱截面图显示2个孤立的点，仔细分析其时间响应图，它的波峰之间为2周期循环.可见，此时该系统表现为2周期运动.

图7　ω=0.4085时系统的相图、庞加莱截面图、时间响应图

由图8可以看出：系统在ω=0.420 6时相图中的曲线显示为10条闭合的曲线，庞加莱截面图显示10个孤立的点.仔细分析其时间响应图，它的波峰之间为10周期循环.此时该系统表现10周期运动.

图8　ω=0.420 6时系统的相图、庞加莱截面图、时间响应图

由图9可以看出：系统在ω=0.431 2时，相图中的曲线显示为5条闭合的曲线，庞加莱截面图显示5个孤立的点.仔细分析其时间响应图，它的波峰之间为5周期循环.此时该系统表现为5周期运动.

图9　ω=0.431 2时系统的相图、庞加莱截面图、时间响应图

由图10可以看出：系统在ω=0.466 2时，相图中的曲线显示为无数条闭合的曲线，庞加莱截面图显示无数个孤立的点，仔细分析其时间响应图，它的波峰之间为无周期循环.可见，此时该系统表现为混沌运动.

图10　ω=0.466 2时系统的相图、庞加莱截面图、时间响应图

图11　局部放大图(2)

我们取ω∈[1.2,1.34]为研究范围，可以看到当1.20<ω<1.218 6 时系统是混沌运动；当ω=1.218 6时系统由混沌运动进入周期运动，在1.216 8<ω<1.226 2时，系统呈现12周期运动；当ω=0.226 2时，系统进入4周期运动，1.226 2<ω<1.257 9时,系统呈现4周期运动；当ω=1.257 9时，系统进入2周期运动，在1.257 9<ω<1.332 6时,系统呈现2周期运动；当ω=1.332 6时，系统进入1周期运动.

我们取图4中各个运动状态所对应的区域中的某一固定数值，通过这一固定值所对应的时间响应图、相图、Poincare映射投影图等来近一步说明系统在对应区域的运动行为.

由图12可以看出：系统在ω=1.211 1时，相图中的曲线显示为无数条闭合的曲线，庞加莱截面图显示无数个杂乱无规律的点.仔细分析其时间响应图，它的波峰之间没有规律可循.可见，此时该系统表现为混沌运动.

图12　ω=1.211 1时的相图、poincare截面图、时间响应图

由图13可以看出：系统在ω=1.223 1时，相图中的曲线显示为12条闭合的曲线，庞加莱截面图显示12个杂乱无规律的点，仔细分析其时间响应图，它的波峰之间为12周期循环.可见，此时该系统表现为12周期运动.

图13　ω=1.223 1时对应的相图、庞加莱截面、时间响应图

由图14可以看出：系统在ω=1.247 8时，相图中的曲线显示为4条闭合的曲线，庞加莱截面图显示4个杂乱无规律的点，仔细分析其时间响应图，它的波峰之间为4周期循环.可见，此时该系统表现4周期运动.

图14　ω=1.247 8时系统的相图、庞加莱截面图、时间响应图

由图15可以看出：系统在ω=1.285 9时，相图中的曲线显示为2条闭合的曲线，庞加莱截面图显示2个杂乱无规律的点，仔细分析其时间响应图，它的波峰之间为2周期循环.可见，此时该系统表现2周期运动.

图15　ω=1.285 9时系统的相图、庞加莱截面图、时间响应图

由图16可以看出：系统在ω=1.334 6时，相图中的曲线显示为1条闭合的曲线，庞加莱截面图显示为1个孤立的点.仔细分析其时间响应图，它的波峰之间为1周期循环.可见，此时该系统表现为1周期运动.

图16　ω=1.334 6时系统的相图、庞加莱截面图、时间响应图

3结论

本文研究了余弦波裂纹转子模型的非线性动态特性，以Jeffcott转子模型为基础，建立了余弦波转子系统的动力学模型.用标准的Runge-kutta算法对动力学模型进行数值积分，说明参数K随角速度的变化，进而研究该系统的非线性动力学行为的变化.研究结果表明：系统是由单周期运动、倍周期运动、拟周期运动和混沌运动交替出现组成.

[参考文献]

[1]Darpe A K,Chawla A. Analysis of the response of a cracked Jeffcott rotor to axial excitation [J]. Journal of Sound and Vibration,2002,249(4):29-45.

[2]Gasch R. A survey of the dynamic behavior of a simple rotating shaft with a transverse crack[J]. Journal of Sound and Vibration,1993,160(2):313-332.

[3]Dimarogonas A D. Vibration of cracked structures:a state of the art review[J]. Engineering Fracture Mechanics,1996,55(5)：831-875.

[4]高建民，朱晓梅. 转轴上裂纹开闭模型的研究[J].应用力学学报,1992,19(1):108-112.

[5]闻邦春,顾家柳,夏松波,等. 高等转子动力学理论、技术与应用[M].北京:机械工业出版社,1999.

[6]赵玫. 具有横向裂纹轴系振动特性及其诊断方法的研究[D].上海:上海交通大学,1986.

[7]Mayes I W,Davies W G R. Analysis of the response of a multi-rotor-bearing system containing a transverse crack in a rotor[J]. Journal of Vibration and Acou sties,Transactions of the ASME,1984,106:139-145.

[8]林言丽，褚福磊.裂纹转子的刚度模型[J].机械工程学报,2008,44(1):114-120.

[9]王宗勇,林伟,闻邦春. 开闭裂纹转轴刚度的解析研究[J].振动与冲击,2010,29(9):69-72.

[10]邹剑,陈进,蒲亚鹏,等. 开闭裂纹转轴的建模与弯曲刚度特性研究[J].振动与冲击,2001,20(4):47-49.

[11]刘鸿文. 材料力学[M].北京:高等教育出版社,2004.

(责任编辑穆刚)

Nonlinear dynamic analysis of a class of cracked rotor

DENG Tian, ZHOU Houyun, BAI Qingyue

(School of Mathematics and Physics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou Gansu 730070, China)

Abstract：As the most common failure, rotor cracks would cause catastrophic accidents. Therefore, it may take a good benefit for crack monitoring and diagnosis on rotating shafts. Hence, it is necessary to study the dynamic behavior of a rotor with cracks since it may supply theoretic support for crack detection and identification. Nonlinear dynamics of cracked rotor system with cosine wave is investigated. The Runge-Kutta method is introduced to simulate the proposed system equation of cosine wave cracked rotors. The along with the change of the angular velocity parameter k, and then to study the change of the nonlinear dynamic behavior of the system.

Key words：cracked rotor system; cosine wave; nonlinear dynamics

[中图分类号]O322

[文献标志码]A

[文章编号]1673-8004(2015)05-0033-06

[作者简介]邓田(1990—)，女，甘肃庆阳人，硕士，主要从事线性动力系统方面的研究.

[收稿日期]2015-04-10