陈宝锭，陈新锋，陈华宝，李清波

(1.淮阴师范学院物理与电子电气工程学院， 江苏　淮安　223300； 2.淮安市信息功能材料研究重点实验室， 江苏　淮安　223300)



基于六边形基元的光子晶体宽带大角度自准直特性研究

陈宝锭1,2，陈新锋1,2，陈华宝1,2，李清波1,2

(1.淮阴师范学院物理与电子电气工程学院， 江苏淮安223300； 2.淮安市信息功能材料研究重点实验室， 江苏淮安223300)

[摘要]通过对能带结构和等频图(EFC)的分析，提出的基于六边形基元的正方点阵光子晶体结构(PR-PC)具有宽带大角度自准直特性.宽带自准直频率范围达1.47 GHz，相对中心频率带宽为11.85﹪，入射角范围可以超过±45°.长径比变大情况下，最终出现全角度自准直.数值结果表明：通过改变填充因子、长径比可以实现对PR-PC结构的自准直频率范围、中心频率值以及入射角范围的调整.

[关键词]自准直传输；等频图；六边形基元

光子晶体是一种由Eli Yablonovitch 教授和Sajeev John教授最早提出的折射率周期性变化的人工微结构[1, 2].近年来，光子晶体的负折射[3]、慢光[4, 5]、自准直等非带隙特性受到越来越多的关注，极大地推动了光子晶体的实际应用.其中,自准直效应来自于光子晶体等频线零曲率段的异常色散特性.由于布洛赫模式的群速度垂直于等频线, 使得所有的传输模式在同一方向传播,因而保证了入射波在光子晶体中无衍射传播,其很长距离也不会出现空间展宽.与经典的光子晶体波导相比较，作为一个没有边界波导机制, 基于自准直效应设计了诸多微观光学设备，如分束器[6]、干涉仪[7]、滤波器[8]、极化分束[9]等.自准直效应的鲁棒性也在厘米尺度的硅实验平台上实验验证[10，11].同时，自准直效应也在多层光子晶体以及超材料系统中被发现[12-15].

光子晶体结构色散曲线的模式特性可以方便地通过等频图观察，通过这种方式可以方便地对正方形晶格、三角形晶格或其他晶格的特性进行对比[16].我们发现，在正方形晶格中自准直频率范围通常低于中心频率的10﹪，且在这些频率上自准直角度范围窄于±45°[17].然而，实际应用中的自准直效应是希望入射波在整个角度范围、很大的带宽内都有自准直效果.想要实现理想中的自准直效应，介质柱往往需要采用高折射率的几何形状[18].

本文在提出具有宽带大角度自准直效应的PR-PC结构的基础上，通过对能带图和等频图的分析以及能量场的仿真研究其自准直特性，并讨论填充因子和长径比的变化对PR-PC自准直特性的影响.

1PR-PC结构设计

本文设计一种以空气为背景的正方点阵、六边形晶格结构，我们称之为PR-PC，其结构参数如图1(a)所示.六边形基元为YMnO3(介电常数ε=20)介质柱，分别定义长、短边长度为b和c，长边平行于x轴方向.晶格常数定义为a，除非特别说明，b=0.6a，c=0.2a.由此可以推算出长径比和填充因子分别为r2/r1=3.121，f=SPR-PC/SLattice=0.209 7.六边形内角α、β分别为90°和135°.需要指出的是：我们设计的晶格结构信息主要体现于介质柱内角关系，文中只通过改变a、b值讨论填充因子和长径比对介质柱阵列自准直特性的影响.

PR-PC正方晶格点阵的示意图和相应的布里渊区如图1(b)所示.在本文中，我们使用平面波展开法计算PR-PC倒易空间的能带结构和等频图，忽略介质柱损耗对电磁波的吸收作用，获得的能带结构如图2(a)所示.在f=0.413c/a附近沿波矢ГX方向可以观察到一个频率范围为a/λ=[0.389,0.438]的线性增加区域，在这个频率范围内PR-PC具有单模传播特性.这进一步证明可以发现在这个线性区域内存在自准直效应[19].

图1　(a) PR-PC晶格结构图，(b) 正方点阵和对应布里渊区

图2　(a)能带结构，(b) PR-PC等频图

我们进一步使用有限元方法分析了所提出结构的自准直特性.为了消除边界两端的多次背面反射，我们采用完全匹配层边界条件(PML).设定晶格点阵的长度L和宽度H分别为50a和11a，在距离晶格点阵左侧3a处放置一个沿竖直方向长度为3a、中心频率f=0.413a/c的 TM模高斯线光源,从左侧入射到晶格点阵上，仿真高斯波束在晶格点阵中的传输.图3(a)为TM偏振空间能量分布，可以清晰地看出，在50倍晶格常数的距离内高斯波束传播方向没有出现明显的空间展宽.图3(b)与图3(c)分别为高斯波束以30°、45°入射到介质光子晶体中的能量分布情况.我们可以观察到无论是30°还是45°入射，高斯波束在光子晶体中都是自准直传输的，波束并没有出现明显的空间展宽，并且波束在右侧以入射角度出射.由此可以看出，我们所设计的PR-PC具良好的宽角度自准直特性.

图3　(a) 水平入射能量分布，(b) 30°入射能量分布，(c) 45°入射能量分布

2讨论

填充因子和长径比对晶格阵列自准直性具有重要作用，为了研究填充因子对我们所提出的PR-PC结构自准直特性的影响，我们计算了相同长径比下填充因子改变至0.253 9和0.202 6的等频图，如图4(a)和图4(b)所示.

图4　(a) 填充因子增加到0.253 9，(b) 填充因子减小到0.202 6

从图中可以看出，填充因子增加时自准直频率区间略有增大而填充因子减小时自准直频率区间略有减小.此外，自准直中心频率也出现了偏移，在填充因子变大时中心频率明显减小而填充因子减小时中心频率则有一定的上升.就自准直入射角范围而言，当填充因子增大时入射角范围减小，而填充因子减小时入射角范围增大.可见，我们可以通过改变填充因子来调整自准直频率区间、中心频率值以及入射角范围.

在填充因子一定的情况下，改变长径比至4.14和2.48，其等频图分别如图5(a)和图5(b)所示.从图中可以看出，长径比对自准直频率特性的影响较小.在长径比变大时中心频率略有下移，自准直频率范围也有所减小；长径比变小时中心频率略有上升，自准直频率范围也有所增大.然而，长径比变小时自准直入射角范围明显变小，而长径比变大情况下则最终出现了全角度自准直.对两幅等频图分析表明：填充因子在[2.79，3.57]范围内可以通过改变长径比来调整自准直入射角范围，同时也可以略微修改中心频率及自准直频率范围.

图5　(a)长径比增加到4.14，(b)长径比减小到2.83

3结论

本文结合能带结构和等频图分析，从理论上研究了我们所设计的六边形基元二维光子晶体结构中TM模式的宽带大角度自准直特性，带宽达中心频率的11.85﹪，且中心频率处入射角范围可以超过±45°，长径比变大情况下则最终出现了全角度自准直.通过改变填充因子和长径比，证明了可以通过改变填充因子和长径比实现对PR-PC结构的自准直频率区间、中心频率值以及入射角范围的调整.

[参考文献]

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[16]Xu Y, Chen X Y, Lan S, et al. The all-angle self-collimating phenomenon in photonic crystals with rectangular symmetry [J]. J. Opt. A: Pure Appl. Opt, 2008,10(5):85201-85205.

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(责任编辑吴强)

Wide-band large-angle self-collimation in photonic crystal

with trapezoid bases

CHEN Baoding1,2, CHEN Xinfeng1,2, CHEN Huabao1,2, LI Qingbo1,2

(1.School of Physics and Electronic Electrical Engineering, Huaiyin Normal University, Huai’an Jiangsu 223300, China;

2.Huai’an Key Laboratory of Information Functional Materials, Huai’an Jiangsu 223300, China)

Abstract：The two dimensional trapezoid-shaped photonic crystal (PC) (PR-PC) was investigated in order to succeed self-collimation over a broad bandwidth by analyzing the band structure and equi-frequency-contour (EFC). The proposed structure supports a self-collimation effect over a broad frequency range of 1.47 GHz with a bandwidth 11.85﹪. Incident self-collimation angle range can be more than ±45°. Eventually, along with the length to diameter ratio, angle range can be in the whole angular range of ±90°. The numerical results show that self-collimation frequency range, center frequency and incident angle range can be adjusted by changing the fill factor, the length to diameter ratio.

Key words：self-collimation; equi-frequency-contour (EFC); trapezoid bases

[中图分类号]O413.1

[文献标志码]A

[文章编号]1673-8004(2015)05-0013-05

[通讯作者]李清波(1982- )，男，山东聊城人，讲师，博士研究生，主要从事电磁场理论方面的研究.

[作者简介]陈宝锭(1993- )，男，江苏扬州人，主要从事光学工程方面的研究.

[基金项目]国家级大学生创新创业训练计划项目(201310323009)；江苏省高等学校大学生创新创业训练计划(201310323009Z).

[收稿日期]2014-11-07