王汉，陈平，张智（油气藏地质及开发工程国家重点实验室（西南石油大学），四川 成都 610500）

根据沉积岩的特性，地层岩石的各向异性是普遍存在的，而页岩通常都发育有较为丰富的层理结构，其矿物组成颗粒分布不均匀，具有不同的胶结物，根据不同的层次会产生定向排列，从而具有优势指向［1～3］。因此页岩具有明显的强度和弹性各向异性，所以有必要研究其力学参数对井壁应力的影响规律，而常规各向同性线弹性地层的井壁应力计算模型中没有涉及到弹性模量等力学参数，此时仍将页岩地层视为各向同性介质会造成较大的误差［4～5］。

Lekhnitskii等［6～8］建立了考虑各向异性效应的井壁应力计算模型；王倩等［9］通过实验验证和理论计算的方式证明了页岩力学参数存在各向异性；崔杰等［10］将岩层视为正交各向异性研究了井周的应力场分布情况，但这些研究都没有将潜在的断层应力状态与页岩的强度和弹性各向异性结合起来研究。为此，通过建立各向异性页岩地层的井壁应力计算模型，采用数值计算的方法求解，分析在3种不同的断层应力状态下，页岩力学参数的各向异性对井壁应力的影响规律，为页岩水平井井壁稳定性分析提供更符合钻井工程实际的理论依据。

1 基本假设与基本方程

1.1 基本假设

1）广义平面应变范畴内：由于相对于整个井筒段来说，轴向应变可以忽略不计，即εz＝0。

2）连续均匀线弹性地层介质：应力、应变、位移是连续的，可以用坐标来表示。

3）横观各向同性体：页岩地层的显著特征是发育有丰富的层理和微裂隙结构，且垂直于层理面方向的弹性模量和泊松比小于平行于层理面方向的。

1.2 基本方程

1.2.1 本构方程

根据广义虎克定律，井眼坐标系中横观各向同性体的应力应变本构方程［11］可表示为：

式中：［A］为井眼坐标系下的柔度矩阵；｛ε｝为井眼坐标系下的应变分量矩阵；｛σ｝为井眼坐标系下的应力分量矩阵。

1.2.2 应变协调方程

由于在平面应变的范畴内（εz＝0），其应变协调方程可以简化为：

式中：εx、εy、εz分别为X、Y、Z方向的正应变，1；γxy、γyz、γxz分别为XY、YZ、XZ平面的剪切应变，1。

1.2.3 应力平衡方程

忽略体积力的情况下，在连续均匀的线弹性介质中，受力平衡方程可表示为：

2 各向异性页岩地层井壁应力分布模型

由于页岩地层层理发育，产状多变，在页岩水平井中井壁应力分布受多种因素的影响。研究表明在各向异性页岩地层中井周应力分布是由以下两部分应力分量组成的［12］：原地应力张量引起的应力分量和井眼形成过程中引起的应力分量。由于笔者主要研究页岩力学参数对水平井井壁应力的影响规律，所以在建立数学模型之后需要再建立物理模型，将力学参数和各向异性地层所包含其他参量转换到井眼坐标系中。

2.1 数学模型

由式（1）～（3）可以求出各向异性页岩地层中钻井及井壁边界应力引起的应力分量，结果如下：

各向异性页岩地层井壁应力分布模型为：

式中：φk（k＝1，2，3）为任意的解析函数；μk为求解应力函数时的特征方程的特征根；λk是与μk相关的比值；zk＝x＋μky；x、y为井眼轴线垂直面内的任意点的坐标；σx，1、σy，1、σz，1、τxy，1、τxz，1、τyz，1为井眼坐标系下原地应力引起的正、切应力分量，MPa；σx，2、σy，2、σz，2、τxy，2、τxz，2、τyz，2为钻井及井壁边界应力引起的正、切应力分量，MPa；a31、a32、a33、a34、a35、a36为柔度矩阵的柔度系数；Re｛·｝为 ｛·｝的实部。

2.2 物理模型

由于该模型适用于任意的地层倾斜度、井眼轨迹和地应力条件，所以需要在大地坐标（X，Y，Z）之上分别以地层介质、井眼轨迹和地应力为基础建立相应的分坐标，（xr，yr，zr）为地层介质分坐标，（xb，yb，zb）为井眼轨迹分坐标，（xs，ys，zs）为地应力分坐标，如图1所示。

图1 各个分坐标与大地坐标的关系

因此，井眼坐标下的柔度矩阵为：

式中：E为各向同性面的弹性模量，MPa；E′为垂直于各向同性面的弹性模量，MPa；ν为各向同性面的泊松比，1；ν′为垂直于各向同性面的泊松比，1；［Pε］、［Mσ］为将分坐标系转换到大地坐标系的应力应变转换矩阵。

3 页岩力学参数各向异性对水平井井壁应力的影响

在不同的原地应力状态下，井壁应力的分布情况不同。因此，在不同的断层地应力状态下研究页岩力学参数各向异性对水平井井壁应力的影响更能真实地反映各向异性页岩地层潜在的地应力机制。根据建立的各向异性页岩井壁应力计算模型，采用Matlab编制了相应的计算程序，对3种地应力状态下页岩力学参数各向异性对水平井井壁应力的影响进行研究。

3.1 正断层地应力状态下

为便于计算分析，取参数最大水平地应力σh，max＝43.11MPa，最小水平地应力σh，min＝35.07MPa，上覆地应力σv＝63.41MPa，αb＝45°，βb＝90°（水平井），αr＝αs＝0°，βs＝45°，βr＝30°，各向同性面的弹性模量为E＝33.80GPa，各向同性面的ν＝0.14，钻井液液柱压力pw＝45MPa。

3.1.1 弹性模量的影响

定义弹性模量各向异性度nE为垂直于各向同性面的弹性模量与各向同性面的弹性模量的比值，分别计算nE＝0.25、0.50、0.75、1.00（各向同性）时井壁切向应力随井周角的变化情况以分析弹性模量各向异性度对井壁切向应力的影响规律，结果见图2。

从图2可以看出：在正断层地应力状态下，井壁切向应力分布形态呈现出明显的非均匀性，且具有中心对称性；切向应力的最大值出现在井周角为0°附近，最小值在井周角为60°附近；当井周角为330～30°时，切向应力随着nE的增大而减小，在井周角为30～60°时，切向应力随着nE的增大而增大，在其他角度区间，弹性模量对切向应力的分布没有明显的影响，因其分布规律具有中心对称的特性，所以在其对称的区间分布规律相同；切向应力的最大值和最小值与井壁的拉伸破坏和剪切破坏直接相关，所以在各向异性页岩地层中，对弹性模量的分析很有必要。

3.1.2 泊松比的影响

定义泊松比各向异性度nv为垂直于各向同性面的泊松比与各向同性面的泊松比的比值，分别计算nv＝1.00、1.25、1.50、1.75时井壁切向应力随井周角的变化情况以分析泊松比各向异性度对井壁切向应力的影响规律，结果见图3。

图2 正断层地应力状态下弹性模量对井壁切向应力的影响

图3 正断层地应力状态下泊松比 对井壁切向应力的影响

从图3可以看出：在正断层地应力状态下，泊松比各向异性度不会造成井壁切向应力的二次分布，即页岩的横向变形系数对井壁切向应力的分布没有影响。

3.2 逆断层地应力状态下

取计算参数最大水平地应力σh，max＝45.07MPa，最小水平地应力σh，min＝36.33MPa，上覆地应力σv＝27.43MPa，其余参数与3.1相同。

3.2.1 弹性模量的影响

分别计算nE＝0.25、0.50、0.75、1.00（各向同性）时井壁切向应力随井周角的变化情况以分析弹性模量各向异性度对井壁切向应力的影响规律，结果见图4。

从图4可以看出：在逆断层地应力状态下，井壁切向应力分布形态呈细胞分裂状，分布不均匀且具有对称性；切向应力的最大值出现在井周角为40°附近，最小值则出现在135°附近；当井周角为0～60°时，井壁切向应力随nE的增大而减小，当井周角为120～160°时，井壁切向应力随nE的增大而增大；弹性模量的各向异性程度越大，则切向应力的非均匀性越大。

3.2.2 泊松比的影响

分别计算nv＝1.00、1.25、1.50、1.75时井壁切向应力随井周角的变化情况以分析泊松比各向异性度对井壁切向应力的影响规律，结果见图5。

图4 逆断层地应力状态下弹性模量各向异性度对井壁切向应力的影响

图5 逆断层地应力状态下泊松比各向异性度 对井壁切向应力的影响

从图5可以看出：在逆断层地应力状态下，泊松比各向异性度也不会造成井壁切向应力的二次分布，即页岩的横向变形系数对井壁切向应力的分布没有影响。

3.3 走滑断层地应力状态下

取计算参数最大水平地应力σh，max＝60.17MPa，最小水平地应力σh，min＝45.04MPa，上覆地应力σv＝53.51MPa，其余参数与3.1相同。

3.3.1 弹性模量的影响

分别计算nE＝0.25、0.50、0.75、1.00（各向同性）时井壁切向应力随井周角的变化情况以分析弹性模量各向异性度对井壁切向应力的影响规律，结果见图6。

从图6可以看出：在走滑断层地应力状态下，井壁的切向应力随井周角的分布同样是不均匀的，其整体分布形态与逆断层相似，但井壁切向应力的最大值在140°附近，最小值在45°附近；当井周角为0～60°时，切向应力随着弹性模量各向异性度的增大而增大，当井周角为120～160°时，切向应力随着弹性模量各向异性度的增大而减小，即弹性模量对各向异性页岩地层水平井井壁切向应力的影响规律在最大值和最小值附近相反，所以在对井壁稳定的分析中要视具体情况而定。

3.3.2 泊松比的影响

分别计算nv＝1.00、1.25、1.50、1.75时井壁切向应力随井周角的变化情况以分析泊松比各向异性度对井壁切向应力的影响规律，结果见图7。

从图7可以看出：在走滑断层地应力状态下，泊松比各向异性度同样对井壁的切向应力分布不会产生影响。

4 结论

1）在各向异性页岩地层中，在不同地应力状态下，井壁切向应力分布形态具有明显的差异，在最大值和最小值处体现得尤为明显；相比之下，正断层地应力状态下的井壁切向应力分布的非均匀性最强。

图6 走滑断层地应力状态下弹性模量各向异性度对井壁切向应力的影响

图7 走滑断层地应力状态下泊松比各向异性度 对井壁切向应力的影响

2）在各向异性页岩地层中，岩石的弹性模量各向异性度不仅会对井壁切向应力的最大值和最小值产生影响，同时还会影响井壁切向应力极值的方向；而泊松比各向异性度不会对井壁切向应力分布产生影响。

3）在各向异性页岩地层中，弹性模量各向异性度对切向应力的最大值和最小值处的影响规律相反，所以在进行井壁稳定性分析时，应该根据具体情况分析。

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