陈东宁　姚成玉

1.燕山大学河北省重型机械流体动力传输与控制重点实验室,秦皇岛,0660042.先进锻压成形技术与科学教育部重点实验室(燕山大学),秦皇岛,0660043.燕山大学河北省工业计算机控制工程重点实验室,秦皇岛,066004

系统可靠性评估的超椭球贝叶斯网络及其灵敏度方法

陈东宁1,2姚成玉3

1.燕山大学河北省重型机械流体动力传输与控制重点实验室,秦皇岛,0660042.先进锻压成形技术与科学教育部重点实验室(燕山大学),秦皇岛,0660043.燕山大学河北省工业计算机控制工程重点实验室,秦皇岛,066004

利用区间模型描述根节点的失效可能性,解决根节点的失效可能性不易精确获取的问题；通过引入超椭球模型来界定不确定性参量的取值范围，解决区间贝叶斯网络在求取可靠性指标时计算结果相对保守的问题；定义超椭球贝叶斯网络的灵敏度指标，为找到系统的关键环节提供依据；结合贝叶斯网络双向推理求解出在根节点失效可能性已知的条件下，叶节点的失效可能性、根节点状态的后验可能性;给出了可靠性评估实例。

可靠性评估;贝叶斯网络;超椭球;区间模型;灵敏度

0　引言

贝叶斯网络是一种常用的可靠性评估方法,它具有节点关系和多态性描述、计算分析能力及简便性等方面的优势，在系统可靠性评估[1]、安全性分析[2]和故障诊断[3]等领域得到了成功应用。

基于概率模型的传统贝叶斯网络以元件失效可能性为精确值的假设为基础,利用贝叶斯网络推理对系统进行可靠性评估[4-5]。在实际工程中,故障模式和故障机理复杂多样以及现场数据缺乏等原因,导致元件失效可能性难以用精确数值描述。为此,人们研究用模糊模型来处理这些不确定性参量,从而产生了模糊贝叶斯网络方法。文献[6]将模糊理论引入贝叶斯网络中，采用模糊可能性或模糊子集描述元件的失效可能性;文献[7-8]研究了利用T-S故障树转化为贝叶斯网络的方法，使贝叶斯网络的构造更贴近工程实际；文献[9]提出了基于T-S故障树和贝叶斯网络的模糊可靠性评估方法,用T-S故障树和T-S门规则分别构造贝叶斯网络模型和节点条件概率表,用模糊数描述节点的多种故障状态,用模糊子集描述节点各故障状态下的故障概率。与传统贝叶斯网络相比，模糊贝叶斯网络可以更好地表达节点的多态性、模糊性与故障逻辑关系的不确定性。然而，模糊模型对统计信息的较强依赖性与实际工程中可得数据不足、信息不完备之间的矛盾，限制了模糊贝叶斯网络的应用。

凸模型(包括区间模型和超椭球模型)能够弥补概率模型和模糊模型的不足，在处理具有不确定信息的复杂系统可靠性问题上具有独特优势[10],在结构可靠性中得到了成功的应用与发展[11-12]。在实际工程中,大量不确定性参量的概率分布虽不易得到，但这些参量变差的界限易于确定,即属于所谓的“未知但有界”变量。为此，有学者将区间模型引入贝叶斯网络中来处理这些不确定性参量，产生了区间贝叶斯网络方法[13],较好地解决了由于信息的不完整和不确定性对可靠性评估结果的影响问题。

区间贝叶斯网络得到的上级节点的失效可能性区间是在各根节点失效可能性区间均取界限值的情况下得到的。然而，在实际工程中，各根节点失效可能性区间同时取界限值的极端情况很难发生。超椭球模型在一定程度上可以反映不确定性参量变差之间的相关性[14],并可有效地规避区间模型极端情况的出现，因此，有学者将超椭球模型应用于结构可靠性问题和故障树分析方法中。文献[15]用超椭球模型描述随机变量的不确定性,解决了部分参量统计信息不足时的结构可靠性评估问题;文献[16]将超椭球模型与故障树相结合，采用超椭球模型对不确定性参量进行描述，解决了基于区间模型的可靠性评估方法计算结果相对保守的问题。

本文提出系统可靠性评估的超椭球贝叶斯网络及其灵敏度方法：利用区间贝叶斯网络解决元件失效可能性不易精确获取的问题；采用超椭球模型对不确定性区间变量进行描述，解决区间贝叶斯网络求解结果相对保守的不足；提出超椭球贝叶斯网络的灵敏度指标及计算方法，用以度量叶节点随根节点故障状态变化的快慢程度，为提高系统可靠性提供依据。

1　超椭球贝叶斯网络评估方法

在实际工程中，元件的失效可能性具有不确定性,而描述不确定性的模型方法有概率模型、模糊模型和凸模型。不确定性模型与贝叶斯网络结合，已产生了传统贝叶斯网络、模糊贝叶斯网络、区间贝叶斯网络。凸模型能够弥补概率模型和模糊模型的不足，而且，超椭球模型相比于区间模型更为合理，因此，本文尝试将超椭球模型与贝叶斯网络结合，提出超椭球贝叶斯网络评估方法并给出推理计算公式。

1.1区间贝叶斯网络节点描述及其不足

(1)

图1　二维区间模型

1.2超椭球贝叶斯网络评估方法

1.2.1超椭球模型对区间节点的约束

超椭球模型根据超椭球域来处理不确定性参量。式(1)表示的根节点各故障状态的失效可能性区间,用超椭球模型描述为

(2)

以二维超椭球模型为例,二维超椭球模型与二维区间模型对比如图2所示。

图2　二维区间模型与二维超椭球模型

相比于区间模型,超椭球模型排除了一部分区间变量的可能取值区域。对于区间模型，当所有区间变量同时取区间的边界值时才得到上级节点失效可能性区间的边界值。而在工程实际中，各个根节点同时出现最差或最好情形的可能性非常小,并且根节点数目越多这种可能性越小。因此，与区间模型相比，采用超椭球模型对根节点加以约束更加符合工程实际。

各根节点的失效可能性取值范围应在满足式(2)的超椭球区域内部。为此引入矢量

z=D-1P

(3)

z=(z1,z2,…,zn)T

(4)

(5)

(6)

可将式(2)转化为新的超椭球模型:

(z-z0)T(z-z0)≤1

(7)

(8)

各根节点失效可能性的取值范围在满足式(7)的超椭球区域内部,相当于在Δz=z-z0空间超椭球内随机均匀取值。设单位超椭球的球坐标为(r,θ1,θ2,…,θn-1),其中,r∈[0,1],θi∈[0,2π](i=1,2,…,n-1),则两者之间的转换关系为

(9)

由式(3)～式(9)可得,根节点的失效可能性为

(10)

由于超椭球的球坐标均为区间变量，因此，根节点的失效可能性也为区间形式。

1.2.2叶节点T的失效可能性

超椭球贝叶斯网络的叶节点T故障状态为Tq的失效可能性P(T=Tq)为

(11)

其中,P(x1,x2,…,xn,T=Tq)为根节点x1,x2,…,xn的所有故障状态与叶节点T故障状态为Tq的联合概率;P(T=Tq|x1,x2,…,xn)为条件概率,其含义为考虑根节点x1,x2,…,xn所有故障状态的条件下,叶节点T为Tq的可能性。

1.2.3根节点状态的后验可能性

(12)

式(12)从故障诊断的角度反映了系统发生故障后根节点修正的失效可能性，通过根节点状态的后验可能性可以对系统可靠性信息有更深一步的了解。

1.3算法验证

以文献[8]中液压驱动系统为例，采用超椭球贝叶斯网络方法对其进行可靠性评估。液压驱动系统贝叶斯网络、条件概率表见文献[8]中的图5、表2～表4。假设根节点x1,x2,…,x8故障状态为1的失效可能性如表1所示,且根节点x1,x2,…,x8故障状态为1的失效可能性与故障状态为0.5的失效可能性相同。

表1　根节点的失效可能性　10-6/h

1.3.1叶节点T的失效可能性

采用超椭球贝叶斯网络方法求得叶节点T的失效可能性,并与文献[8]方法、区间贝叶斯网络方法进行对比,见表2。

表2　叶节点T的失效可能性　10-6/h

1.3.2根节点状态的后验可能性

采用超椭球贝叶斯网络方法求得叶节点T故障状态分别为0.5和1的情况下,根节点状态的后验可能性,并与文献[8]中的图6、图7以及区间贝叶斯网络方法进行对比,见表3。

由表2、表3可见,采用超椭球贝叶斯网络得到的结果包含了文献[8]中的结果,并且比区间贝叶斯网络方法得到的区间宽度小,避免了根节点失效可能性区间同时取界限值这一极端情况的发生,结果更为合理。

2　灵敏度

灵敏度分析就是研究改变参数的值及其传播过程，考察参数变化对目标对象所产生的影响，从而对系统参数和结构的重要性进行量化分析,灵敏度分析在系统的特性分析和异常特征发现方面有着广泛的应用。通过可靠性灵敏度评估，可以发现系统可靠性的脆弱性演化机制，可以将设计变量对可靠度的影响程度进行排序,进而指导可靠性评估[17]。根节点的灵敏度是指根节点失效可能性引起叶节点失效可能性的变化率，灵敏度的大小反映了叶节点随根节点故障状态变化的快慢程度，即对设计变量的敏感程度。在前面提出超椭球贝叶斯网络评估方法的基础上，进一步提出超椭球贝叶斯网络下的灵敏度计算方法。

2.1超椭球贝叶斯网络灵敏度方法

2.1.1根节点状态的灵敏度

(13)

其中

(14)

2.1.2根节点的灵敏度

根节点xi关于叶节点T故障状态为Tq的灵敏度为

(15)

式中,ki为根节点xi故障状态的个数。

由式(15)看出,对于多态系统,具有ki个故障状态的根节点xi的灵敏度是叶节点处于故障状态Tq时,根节点xi处于非0故障状态的灵敏度的均值。可见,根节点的灵敏度综合反映了根节点失效可能性引起叶节点失效可能性的变化率。

同时,上述公式也适用于区间贝叶斯网络方法下的灵敏度计算,只需将已知区间变量替代超椭球变量即可。因此,所提出的超椭球贝叶斯网络灵敏度方法具有一定的适用性。

2.2算法验证

以文献[8]的液压驱动系统为例，采用超椭球贝叶斯网络方法计算在叶节点T故障状态分别为0.5和1的情况下根节点xi的灵敏度,见表4。

表4　根节点的灵敏度

由表4可知,在叶节点T故障状态为0.5的情况下,x4、x2、x7的灵敏度较大;在叶节点T故障状态为1的情况下,x4、x2、x6的灵敏度较大。采用区间贝叶斯网络得到的灵敏度区间比超椭球贝叶斯网络得到的灵敏度区间要宽，这与前文分析结果一致。

3　液压系统可靠性评估

斗轮机(即斗轮堆取料机)是一种高效连续的散料堆取装置，与间歇起重机械相比，具有生产效率高、节省作业时间、安全可靠等优点,广泛应用于港口、电厂、钢厂等行业。工作装置是斗轮机的重要组成部分，包括斗轮机构、俯仰机构，而机构的驱动方式多为液压驱动。斗轮机液压系统由主机俯仰、斗轮驱动液压系统组成。其中，斗轮机主机俯仰机构支撑臂架和斗轮工作，并通过调节斗轮升降使其在不同高度取料和堆料，是斗轮机工作过程的关键环节。俯仰机构的工作可靠性要求非常高，必须满足无故障长周期连续运转的要求，而且一旦发生臂架坠落事故，将会产生斗轮机倾覆危险，严重时会影响到人身安全。可见，主机俯仰液压系统是斗轮机中关键的子系统之一，其原理如图3所示。

图3　液压系统原理图

根据斗轮机主机俯仰液压系统工艺原理,构造图4所示的贝叶斯网络。其中,中间节点y1,y2,y3,y4分别表示液压油源、液压缸升降异常、系统供油不足和液压缸无法保持同步。根节点x1,x2,…,x14代表的元件名称及其失效可能性见表5。

图4　液压系统贝叶斯网络

10-6/h

假设根节点x1、x3、x4、x14和中间节点y1采用0、1表示无故障和完全故障两种故障状态，其余根节点和中间节点采用0、0.5、1表示无故障、半故障和完全故障三种状态。根据专家经验和历史数据得到贝叶斯网络的条件概率表，其中，中间节点y1的条件概率表见表6。

表6　中间节点y1的条件概率表

3.1叶节点T失效可能性

假设根节点故障状态为0.5的失效可能性与故障状态为1的失效可能性相同。采用超椭球贝叶斯网络方法求得叶节点T的失效可能性,见表7。

表7　叶节点T的失效可能性　10-6/h

3.2根节点状态的后验可能性

利用式(1)、式(10)～式(12)可求得在叶节点T故障状态分别为0.5和1的情况下，根节点状态的后验可能性,见表8。

由表8可知,在系统故障状态为0.5的情况下,根节点x8、x6、x5的后验可能性较大;在系统故障状态为1的情况下,根节点x11、x8、x9的后验可能性较大。因此,在进行预防维修或故障诊断时,应优先对后验可能性大的根节点进行检查。

表8　根节点状态的后验可能性

3.3根节点灵敏度

利用式(1)、式(10)、式(13)～式(15)可求得在叶节点T故障状态分别为0.5和1的情况下,根节点的灵敏度，见表9。

表9　根节点的灵敏度

由表9可知,在系统故障状态为0.5的情况下,根节点x7、x6、x5的灵敏度较大;在系统故障状态为1的情况下,根节点x7、x11、x9的灵敏度较大。灵敏度大的根节点为系统的关键环节,其参数摄动对系统可靠性指标的影响较大。

由表7～表9可以看出,超椭球贝叶斯网络方法得到的区间宽度要比区间贝叶斯网络方法得到的区间宽度小，可见，超椭球贝叶斯网络方法可以弥补区间贝叶斯网络求解结果相对保守的不足。

4　结论

(1)提出了系统可靠性评估的超椭球贝叶斯网络方法，该方法通过引入超椭球模型来界定不确定性参量的取值范围，解决了区间贝叶斯网络在求取可靠性指标时，计算的结果相对比较保守的问题。利用贝叶斯网络的双向推理能力，可以计算出叶节点的失效可能性、根节点状态的后验可能性。

(2)提出了超椭球贝叶斯网络的灵敏度指标及计算方法，用以反映叶节点随根节点故障状态变化的敏感程度，进而指导可靠性评估。该灵敏度算法也适用于区间贝叶斯网络，通过对比分析，所提方法的灵敏度区间宽度小于区间贝叶斯网络的灵敏度区间宽度，验证了所提方法的正确性。

(3)利用超椭球贝叶斯网络对斗轮机主机俯仰液压系统进行可靠性评估，利用贝叶斯网络正向推理，计算出系统故障的叶节点失效可能性、根节点灵敏度；利用贝叶斯网络反向推理，求得在已知叶节点故障的条件下根节点状态的后验可能性。所求得的可靠性指标为找出和改进系统的关键环节提供了依据。

[1]Cai B, Liu Y, Liu Z, et al. Using Bayesian Networks in Reliability Evaluation for Subsea Blowout Preventer Control System[J]. Reliability Engineering and System Safety, 2012, 108: 32-41.

[2]Khakzad N,Khan F,Amyotte P.Safety Analysis in Process Facilities:Comparison of Fault Tree and Bayesian Network Approaches[J].Reliability Engineering and System Safety, 2011, 96(8): 925-932.

[3]秦大力,于德介.基于本体的机械故障诊断贝叶斯网络[J].中国机械工程,2013，24(9)：1195-1200.

Qin Dali,Yu Dejie.Ontology-based Diagnostic Bayesian Networks for Mechanical Fault Diagnosis[J].China Mechanical Engineering,2013,24(9):1195-1200.

[4]尹晓伟,钱文学,谢里阳.系统可靠性的贝叶斯网络评估方法[J].航空学报,2008,29(6):1482-1489.

Yin Xiaowei, Qian Wenxue, Xie Liyang.A Method for System Reliability Assessment Based on Bayesian Networks[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2008, 29(6): 1482-1489.

[5]徐格宁，李银德，杨恒，等．基于贝叶斯网络的汽车起重机液压系统的可靠性评估[J].中国安全科学学报，2011，21(5)：90-96.

Xu Gening, Li Yinde, Yang Heng, et al. Reliability Assessment of Hydraulic Systems in Automobile Crane Based on Bayesian Networks[J].China Safety Science Journal,2011,21(5): 90-96.

[6]Penz C A, Flesch C A, Nassar S M, et al. Fuzzy-Bayesian Network for Refrigeration Compressor Performance Prediction and Test Time Reduction[J].Expert Systems with Applications,2012,39(4):4268-4273.

[7]Wang Y,Xie M.Approach to Integrate Fuzzy Fault Tree with Bayesian Network[J].Procedia Engineering,2012,45:131-138.[8]陈东宁，姚成玉，党振．基于T-S模糊故障树和贝叶斯网络的多态液压系统可靠性分析[J].中国机械工程，2013，24(7)：899-905.

Chen Dongning, Yao Chengyu, Dang Zhen. Reliability Analysis of Multi-state Hydraulic System Based on T-S Fuzzy Fault Tree and Bayesian Networks[J].China Mechanical Engineering, 2013, 24(7): 899-905.

[9]姚成玉，陈东宁，王斌．基于T-S故障树和贝叶斯网络的模糊可靠性评估方法[J].机械工程学报，2014，50(2)：193-201.

Yao Chengyu, Chen Dongning, Wang Bin．Fuzzy Reliability Assessment Method Based on T-S Fault Tree and Bayesian Network[J].Journal of Mechanical Engineering,2014,50(2):193-201.

[10]Bi R G, Han X, Jiang C, et al. Uncertain Buckling and Reliability Analysis of the Piezoelectric Functionally Graded Cylindrical Shells Based on the Nonprobabilistic Convex Model[J].International Journal of Computational Methods, 2013, 11(6): 1350080.

[11]乔心州，吕震宙．基于区间模型的结构非概率可靠性优化[J].应用力学学报，2012,29(6):682-686.

Qiao Xinzhou, Lü Zhenzhou.Structural Non-probabilistic Reliability Optimization Based on Interval Model[J].Chinese Journal of Applied Mechanics,2012,29(6):682-686.

[12]罗阳军，亢战，Li Alex．基于凸模型的结构非概率可靠性指标及其求解方法研究[J].固体力学学报,2011,32(6):646-654.

Luo Yangjun,Kang Zhan,Li Alex.Study on Structural Non-probabilistic Reliability Index under Convex Models and Its Solution Methods[J].Chinese Journal of Solid Mechanics,2011,32(6):646-654.

[13]Blockley D.Analysing Uncertainties:Towards Comparing Bayesian and Interval Probabilities[J].Mechanical Systems and Signal Processing,2013,37(1):30-42.[14]Jiang C, Bi R G, Lu G Y, et al. Structural Reliability Analysis Using Non-probabilistic Convex Model[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2013, 254: 83-98.[15]李昆锋，杨自春，孙文彩．结构凸集-概率混合可靠性分析的新方法[J].机械工程学报,2012，48(14)：192-198.

Li Kunfeng, Yang Zichun, Sun Wencai. New Hybrid Convex Model and Probability Reliability Method for Structures[J].Journal of Mechanical Engineering,2012,48(14):192-198.

[16]熊彦铭，李世玲，杨战平．基于超椭球模型的故障树区间分析方法[J].系统工程与电子技术，2011，33(12)：2788-2792.

Xiong Yanming, Li Shiling, Yang Zhanping. Fault Tree Interval Analysis Based on Hyper-ellipsoidal Model[J].System Engineering and Electronics, 2011, 33(12): 2788-2792.

[17]卢昊,张义民，赵长龙，等．多失效模式机械零件可靠性灵敏度估计[J].机械工程学报，2012，48(2)：63-67.

Lu Hao, Zhang Yimin, Zhao Changlong, et al. Reliability Sensitivity Estimation of Mechanical Components with Multiple Failure Modes[J].Journal of Mechanical Engineering, 2012, 48(2): 63-67.

(编辑苏卫国)

System Reliability Assessment Method Based on Hyper-ellipsoid Bayesian Networks and Their Sensitivities

Chen Dongning1,2Yao Chengyu3

1.Hebei Provincial Key Laboratory of Heavy Machinery Fluid Power Transmission and Control,Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei,066004 2.Key Laboratory of Advanced Forging & Stamping Technology and Science (Yanshan University),Ministry of Education of China,Qinhuangdao,Hebei,066004 3.Key Laboratory of Industrial Computer Control Engineering of Hebei Province,Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei,066004

Failure probabilities of root nodes were described by interval model to solve the difficulty to obtain the failure probabilities accurately.Hyper-ellipsoid model was utilized to define the ranges of the uncertain parameters to improve the relatively conservative reliability indices calculated by the interval Bayesian networks method.Sensitivity indices of hyper-ellipsoid Bayesian networks were proposed to provide basis for finding the key link of the system.The leaf node’s failure probability and the root nodes’ state posterior possibilities were solved by combining with Bayesian networks bidirectional inference under the condition of the root nodes’ failure probabilities as known.Reliability assessment example was given at last.

reliability assessment;Bayesian network;hyper-ellipsoid;interval model;sensitivity

2014-09-16

国家自然科学基金资助项目(51405426);河北省自然科学基金资助项目(E2012203015)；河北省教育厅资助科研项目(ZH2012062)

TB114.3< class="emphasis_italic">DOI

：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.04.019

陈东宁,女,1978年生。燕山大学机械工程学院副教授、博士。主要研究方向为系统可靠性及智能优化。获国家科技进步二等奖1项。出版专著2部,发表论文40篇。姚成玉,男,1975年生。燕山大学电气工程学院教授、博士。