贾金鹏

摘 要：归纳总结了含绝对值不等式求参数取值范围和在线性规划问题中求参数取值范围的常见题型及解决方法，并结合实例进行了分析和说明。

关键词：不等式;线性规划;参数;取值范围

本文归纳总结出了常见问题的基本类型及解决方法，并结合具体实例进行了分析和说明。

问题一：含绝对值不等式求参数取值范围

类型一：解集相同问题

这类问题在题目中经常有“解集是……求a的值”等关键词，处理的方法就是利用不等式的解集与所给解集相同建立方程。

下面以2013年辽宁高考题为例进行分析和说明。

已知函数f（x）=x-a，a>1，已知关于x的函数不等式f（2x+a）-2f（x）≤2，解集为，求a的值。

分析：我们注意到题目中给出了含参不等式的具体解集，因而应明确题型——“集合相等”（即含参不等式解集的左、右端点分别是1和2），化简含参不等式，我们得到f（2x+a）-2f（x）=-2a，x≤04x-2a，0

类型二：恒成立问题

这类问题在题目中经常有“任意x属于某个区间某个式子都成立、不等式解集包括某个指定区间”等关键语句，我们可利用这些关键语句来确定题目的基本类型，处理的方法就是a≥f（x）？圯a≥f（x）max，a≤f（x）？圯a≤f（x）mix。

下面以2013年新课标一卷高考题为例进行分析和说明。

已知函数f（x）=2x-1+2x+a，g（x）=x+3

设a>-1，且当x∈[-，〕时， f（x）≤g（x），求a的取值范围。

分析：我们注意到题目中求的是a的取值范围，并且是x取指定区间的任意一个值，不等式都成立，应属于“恒成立”问题。化简不等式f（x）≤g（x），得出a≤x+2，应满足a≤x+2对x∈[-，]恒成立，也就是a≤x+2的最小值，即a≤-+2，进而得到a的取值范围。

类型三：存在性问题

这类问题在题目中经常有“有解、解集非空”等关键词，可利用这些关键语句来确定题目的基本类型，处理方法为：

a≥f（x）？圯a≥f（x）mix，a≤f（x）？圯a≤f（x）max。

下面以2012年唐山一模题为例进行分析和说明。

设f（x）=2x-x+3，若关于x的不等式f（x）+2t-3≤0有解，求参数的t的范围。

分析：我们注意到题目中说的是不等式有解（即至少有一个解），应属于“存在性”问题。化简不等式得到2t-3≤x+3-2x，应满足x至少取一个值，使得这个不等式成立。也就是2t-3≤x+3-2x的最大值，求x+3-2x的最大值，我们利用图象可知它的最大值是3，因而得到2t-3≤3，进而求出t的取值范圍。

问题二：在线性规划问题中求参数取值范围

类型一：求约束条件中参数的取值范围

线性目标函数z=x+y在线性约束条件x+y-3≤02x-y≤0y≤a下取得最大值的最优解只有一个，求实数a的取值范围。

分析：依据题意，画出可行域（如图1）。由于a的值待求，因此特别要注意y=a这条直线的位置。由于线性目标函数z=x+y在线性约束条件x+y-3≤02x-y≤0y≤a下取得最大值的最优解只有一个，我们注意到直线y=-x+z（注意z的几何意义）与直线x+y-3=0平行，这就要求可行域的右上方的边界位置只能出现一个点，而不是一条线段。因此y=a这条直线一定就不能在直线x+y-3=0和2x-y=0交点的上方。我们只需求得交点的纵坐标，a不大于它就可以了。

类型二：求目标函数中参数的取值范围

1.最优解无穷问题

此类问题的参数往往是线性目标函数中x或y的系数，其处理方法是如果最优解有无穷多个，则说明目标函数所在直线的斜率等于某一边界线的斜率，则由此列出方程而求出某系数的具体数值。我们以下面这道题为例进行分析和说明。

已知三点A（5，2），B（1，1），C（3，4），平面区域为△ABC的内部及边界，若使目标函数z=ax+y取得最大值的最优解有无数多个，求实数a的值。

分析：依据题意，画出可行域（如图2）。我们可以把目标函数z=ax+y写成y=-ax+z的形式，z的几何意义就是该直线在y轴上的截距。因此直线y=-ax+z越向上平移z值越大。因为目标函数z=ax+y取得最大值的最优解有无数多个，所以就需要直线y=-ax+z与向上的边界直线平行。由于a符号不确定，因此要对a进行讨论。当a=0时，直线y=a与边界直线都不平行，不合题意;当a>0时，直线y=-ax+z的斜率为负值，该直线应与直线CA平行，即-a=kAC;当a<0时，直线y=-ax+z的斜率为正值，该直线应与直线CB平行，即-a=kBC，进而求出a的两个值。

2.最优解唯一问题

此类问题的参数往往是线性目标函数中x或y的系数，其处理方法是如果最优解有唯一一个，则说明目标函数所在直线的斜率大于（或小于）某一边界线的斜率，或者介于两条边界线斜率之间，则由此列出不等式（组）而求出某系数的取值范围。我们以下面这道题为例进行分析和说明。

已知变量x，y满足x+2y-3≤0x+3y-3≥0y-1≤0，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围。

分析：依据题意，画出可行域（如图3）。我们可以把目标函数z=ax+y写成y=-ax+z的形式，z的几何意义就是该直线在y轴上的截距。因此直线y=-ax+z越向上平移z值越大。我们发现直线x+2y-3=0与x+3y-3=0交点恰好是（3，0），因为目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取得最大值，所以就需要直线y=-ax+z经过点（3，0）的向上的倾斜程度最大。由于a符号不确定，因此要对a进行讨论。显然当a=0时目标函数z=ax+y在（3，0）取得最小值;当a<0时，直线y=-ax+z的斜率为正值，目标函数z=ax+y在（3，0）仍然取得最小值;只有当a>0时，直线y=-ax+z的斜率为负值，经过（3，0）点时向上的部分在直线x+2y-3=0的上方，即-a=kAB，进而求出a的取值范围。

？誗编辑 温雪莲