刘志林，孙巍巍，王晓鸣，冯君（.南京理工大学机械工程学院，江苏南京0094；.南京理工大学理学院，江苏南京0094）

基于盖帽模型的混凝土动态球型空腔膨胀模型和侵彻阻力分析

刘志林1，孙巍巍2，王晓鸣1，冯君1
（1.南京理工大学机械工程学院，江苏南京210094；2.南京理工大学理学院，江苏南京210094）

为了获得弹丸高速侵彻混凝土介质的阻力方程，提出了一种基于混凝土盖帽模型的球形动态空腔膨胀模型。利用一般形式的状态方程和屈服准则描述混凝土材料的动态力学特性，获得了通用混凝土球形空腔膨胀模型的动态响应表达式。通过引入Dracker-Prager Cap屈服模型，在新的空腔膨胀模型中考虑了混凝土高压下的屈服软化特性。计算结果表明：采用带剪切饱和的Mohr-Coulomb屈服准则与Tresca屈服准则推导出的阻力方程在高速阶段与盖帽模型差别较大。实验结果证明：基于盖帽模型的球形空腔膨胀模型因考虑混凝土高压屈服软化特性与实验结果具有更好的一致性。

兵器科学与技术；侵彻力学；球形空腔膨胀；混凝土；盖帽模型；阻力方程

0　引言

弹丸侵彻混凝土介质靶体的研究是近20年研究侵彻问题的热点和难点，其研究方法一般有实验法、数值仿真法和经验法。其中，经验法是用在大量实验结果基础上总结归纳出的经验公式或半经验公式预测侵彻深度等侵彻问题。因经验公式使用条件苛刻等原因，工程计算中常使用半经验公式来计算侵彻深度。半经验公式的研究中最常见的是Forrestal等[1]提出的动态球形空腔膨胀理论，根据动态球形空腔膨胀理论计算侵彻阻力，再运用牛顿第二定律可较为方便地获得弹丸侵彻深度。此种方法可预测不同侵彻速度下弹丸的侵彻深度，是弹丸侵彻混凝土介质的问题研究中十分重要的方法，在工程设计中发挥了极大的作用。相对于实验法和数值仿真法，半经验法效率高、费用低，因此，找到一种能够预测侵彻深度的半经验公式，在工程设计中显得尤为重要。

半经验公式中，侵彻阻力的计算是关键，动态球形空腔膨胀理论是常见侵彻阻力方程的理论研究方法。Forrestal等[1]采用线性混凝土压力—体积应变关系和Mohr-Coulomb屈服准则，将混凝土球形空腔的动态响应区划分为弹性区、开裂区和塑性区，建立了混凝土靶的动态空腔膨胀模型。李志康等[2]进一步发展了混凝土靶的动态空腔膨胀模型，将混凝土球形空腔的动态响应区域划分为弹性区、开裂区和孔隙压实区，其中孔隙压实区的混凝土采用三段式线性状态方程和考虑拉伸破坏带剪切饱和的Mohr-Coulomb屈服准则描述，推导出了球形空腔动态膨胀响应的理论表达式[2-3]。目前，常用的Mohr-Coulomb准则并不能准确反映混凝土高静水压力下的体积屈服特性，因此无法精确地获得弹丸在高速段的侵彻混凝土介质的阻力方程。

盖帽模型起源于剑桥粘土模型[4]，后经过学者的发展和推广，使之应用到岩石、混凝土、陶瓷及粉末等材料上[5]。引入盖帽模型的目的是为了考虑静水压力导致的材料孔隙破坏，从而产生体积屈服现象。因此在静水轴一端开口的剪切破坏面加上盖帽封口以形成盖帽模型，如Drucker-Prager剪切面与盖帽的组合[6]。因此，在空腔膨胀理论中引入盖帽模型是一种计算高速侵彻阻力的可行方案。

本文采用考虑高压软化效应的混凝土盖帽屈服准则，结合HJC状态方程[2，7]，建立考虑混凝土材料软化效应的球形空腔膨胀理论，从而得到弹丸高速侵彻混凝土的阻力方程和侵彻深度。

1　动态空腔膨胀理论

1.1基本方程

动态空腔膨胀理论是基于连续介质力学的计算空腔在半无限介质中空腔膨胀速度与其表面压力关系的理论计算方法，在球对称条件下，Euler坐标系下的可压缩动态球形空腔动态膨胀模型的质量、动量守恒方程[7]分别为

式中：ρ为密度；v为质点速度；r为极坐标；t为时间；σr和σθ分别为径向和环向应力，取压为正。

（1）式和（2）式的求解需先确立混凝土状态方程和屈服准则，目前各种动态空腔膨胀理论的差别主要在于状态方程和屈服准则的选择[8]。为了方便推导，现给出状态方程和屈服准则的一般表达式：

式中：体积应变μ=1-ρ0/ρ，ρ0、ρ分别为变形前、后的密度；p=（σr+2σθ）/3为静水压力。

因为球形空腔膨胀过程具有自相似性[7]，采用相似变换方法，将偏微分方程（1）式和（2）式化为常微分方程组来求解，引入相似变换ξ=r/ct、S=σr/f′c、 U=v/c，其中：c为响应区内侧的界面速度；f′c为混凝土单轴抗压强度。得到无量纲控制方程组的一般形式

式中：f′（μ）=d p/dμ；ω=d p/dσr.

1.2状态方程

本文采用HJC状态方程[2，7]作为混凝土的状态方程，HJC状态方程将混凝土在其动态压缩条件下的响应分为弹性区、孔隙压实区、密实区。其中，弹性区和孔隙压实区均为线性关系，密实区也可采用线性关系进行近似替代[2，9]。此时，三段式状态方程（如图1所示）可以用（6）式表示：

式中：K、Kc和K1分别为弹性区、孔隙压实区和密实区的体积模量；pc=f′c/3为初始孔隙压实压力；p1为初始密实压力；μc为孔隙初始压实的体积应变；μp为初始密实体积应变。

图1　混凝土材料的状态方程Fig.1　Equation of state for concretematerials

1.3屈服准则

本文引入Drucker-Prager盖帽模型定义混凝土材料的屈服准则。盖帽模型主要用于模拟岩石、混凝土和黏土类介质，目前已被嵌入Ls-dyna等动力分析程序[9]。盖帽模型是基于固体力学中孔洞和裂缝效应的叠加原理而提出的本构模型。如图2（a）所示，固体材料中只有孔洞时，屈服强度（盖帽函数）在压力较小时较为平稳，在高压下下降较快，当孔洞完全压实后，降为0；如图2（b）所示，固体材料中只有裂缝时，裂缝间的摩擦力不断增加，屈服强度随着压力的增加不断提高；混凝土材料中同时存在孔洞和裂缝，因此混凝土最终的盖帽模型屈服准则如图2（c）所示。

考虑盖帽的屈服准则和带剪切饱和的Mohr-Coulomb屈服准则的主要差别在高压阶段，盖帽模型考虑了混凝土高压下体积屈服而产生的软化效应。球对称问题中的 Drucker-Prager盖帽模型如图3所示。与 Mohr-Coulomb类似，不同点在于Drucker-Prager盖帽模型其高压段考虑了盖帽模型。本文根据Drucker-Prager盖帽模型，对Mohr-Coulomb屈服准则进行改进，在Mohr-Coulomb屈服准则的高压段加上盖帽。

图2　盖帽模型Fig.2　Cap model

图3　考虑盖帽的屈服准则Fig.3　Yield criterion with cap

图3中：λ为混凝土材料参数；pm为剪切强度峰值对应的静水压力；τ0=f′c（3-λ）/3为混凝土材料粘聚强度；R为材料常数，控制盖帽的偏心距离；α为过渡面控制参数，控制剪切屈服面与盖帽连接处的平滑度。剪切强度峰值对应的静水压力值根据（7）式[6]求得

式中：pb为剪切强度降为0时对应的静水压力。

考虑盖帽的屈服准则将混凝土在动态压缩条件下的响应分为硬化区、软化区和流动区。硬化区和软化区的分界点为剪切峰值压力pm，压力值达到初始密实压力p1时，盖帽模型同时达到流动区，即pb= p1.混凝土的剪切峰值对应压力一般不会超过初始密实压力[10]，因此整个密实区的材料抗剪能力为0，本文称此区域为密实流动区。而孔隙压实区则划分为两个子区域，即硬化孔隙压实区和软化孔隙压实区。

考虑到盖帽模型非线性函数在空腔膨胀理论中计算的难度，本文对Drucker-Prager盖帽模型中的盖帽模型进行了修改，如图3所示。将原有的非线性盖帽模型进行了线性的简化（即α取0），具体数学表达为

式中：ft为混凝土的单轴抗拉强度。

（5）式已给出了控制方程组的一般形式，只需将各响应区对应的屈服准则（8）式和混凝土状态方程（6）式代入（5）式，便可得到各响应区控制方程组。这里只给出硬化孔隙压实区和密实流动区的控制方程组（9）式和（10）式，其他响应区控制方程可类似得到，硬化孔隙压实区控制方程组如下：

随着静水压力增大，混凝土材料孔隙率逐渐降低，达到密实状态时其抗剪能力几乎为0，近似看成流体状态。此时屈服准则取流动区段，即取λ=0，τ0=0.得到密实流动区的控制方程

1.4数值计算

根据上述的混凝土材料的状态方程和屈服准则，将空腔膨胀响应区分成弹性区、开裂区、硬化孔隙压实区、软化孔隙压实区、密实流动区，如图4所示。

图4　空腔膨胀响应区划分Fig.4　Response region of spherical cavity expansion

弹性区和开裂区的控制方程组存在解析解[7]，而其他区的控制方程组不存在解析解，但根据屈服准则（8）式和Hugoniot间断条件[2，6-7]，可得到硬化孔隙压实区、软化孔隙压实区、密实区的界面上的边界条件，再用Runge-Kutta Felhberg数值方法求解带边界条件的偏微分方程组。硬化孔隙压实区、软化孔隙压实区和密实流动区的边界条件分别为

式中：Tm=τm/f′c，τm=τ0+λpm，τm为剪切峰值强度。

除了弹性区和开裂区有解析解外，其他区域并不存在解析解，且每个区域边界内侧的界面速度都是未知量。由于开裂区内侧界面和弹性区内侧界面上的质点速度和径向应力均为开裂区界面波速与弹性区界面波速的比值的函数（即为α′的函数），为了求得整个响应区的控制方程，必须采用试算法。在给定的α′前提下求解，从而确定空腔膨胀速度V与空腔表面径向应力σr（弹体阻抗）的关系，并按照 （12）式进行无量纲化拟合，确定常数A、B、C：

式中：A为靶材静强度项的无量纲材料常数；B为靶材黏性效应项的无量纲材料常数；C为流动阻力项的无量纲材料常数[17]。

计算步骤如下：

步骤1 读入基本参数，初始化各变量，给定空腔膨胀速度 V0、α′，根据弹性区和开裂区的解析解[7]计算S2+、U2+.

步骤2 若C1＞C2，则开裂区存在；否则，令C2=C1，此时开裂区消失。根据Hugoniot间断条件计算U2-.

步骤3 用Runge-Kutta Felhberg数值方法求解硬化孔隙压实区，获得U′3+、S′3+、C′3.若U′3+=1，输出空腔表面压力S′3+，循环结束；否则根据Hugoniot间断条件计算U′3-.如果C′3＜C2，硬化孔隙压实区存在；否则，令C3′=C2，此时硬化孔隙压实区消失。

步骤4 用Runge-Kutta Felhberg数值方法求解软化孔隙压实区控制方程组，获得U3+、S3+、C3.若U3+=1，输出空腔表面压力S3+，循环结束；否则根据Hugoniot间断条件计算U3-.如果C3＜C′3，软化孔隙压实区存在；否则，令C3=C′3，此时软化孔隙压实区消失。

步骤5 用Runge-Kutta Felhberg数值方法求解密实流动区控制方程组，获得U4+、S4+.若U4+=1，且V0＜C3，输出空腔表面压力S4+，循环结束；否则返回步骤1.

根据文献[3，10]中的混凝土材料参数的确定方法，确定混凝土材料参数，如表1所示。

根据空腔膨胀理论计算步骤，得到空腔膨胀速度与空腔表面径向应力的关系，如图5所示。按照（12）式的拟合结果为 A=9.036、B=0.856、C= 0.659.

表1　混凝土材料参数Tab.1　Parameters of concretematerial

图5　无量纲空腔膨胀速度与径向应力理论计算值及其拟合结果Fig.5　Dimensionless cavity expansion rate and calculated radial stress values and their fitting results

图6为（12）式阻应力中各项占总应力的比例W随空腔膨胀速度（0～1 700m/s）变化的关系。含系数A的静态阻力项占总阻应力的大小随着空腔膨胀速度的增大而逐渐减小，含系数C的流动阻力项的比例逐渐增大，含系数B的黏性阻力项的比例先增大后减小，且黏性项的比例最大都不超过15%.由图6可看出：在空腔膨胀速度较低（小于250m/s）时，静态阻力项起主导作用（W＞70%）；随着速度的增加（约600 m/s），流动阻力项所占比例超过静态阻力项；当速度大于1 100 m/s时，流动阻力起主导作用（W＞70%）.

图6　各项应力占总应力的比例随着膨胀速度变化关系Fig.6　Relationship between the cavity expanding velocity and the percentage of each stress

空腔膨胀速度与各界面速度关系如图7所示，随着空腔膨胀速度的增大，整个混凝土响应依次出现下列分区：

1）弹性区—开裂区—硬化压实区；

2）弹性区—开裂区—硬化压实区—软化压实区；

3）弹性区—开裂区—硬化压实区—软化压实区—流动密实区；

4）弹性区—硬化压实区—软化压实区—流动密实区；

5）弹性区—硬化压实区—流动密实区；6）弹性区—流动密实区。

图7　空腔膨胀速度与界面速度及各分区的关系Fig.7　The cavity expanding velocity and interface velocity and the relationship amomg different partitions

本文比较了采用考虑盖帽的屈服准则、Tresca屈服准则和考虑剪切饱和的Mohr-Coulomb屈服准则下的空腔膨胀理论计算的侵彻阻力，3种屈服准则如图8所示。

Tresca屈服准则和考虑剪切饱和的Mohr-Coulomb屈服准则可表示为（13）式和（14）式：

图8　3种混凝土屈服准则Fig.8　Three kinds of concrete yield criteria

本文前面给出的控制方程组是含屈服准则函数和状态方程函数的一般形式方程组，所以将（13）式或（14）式替代（8）式进行计算，即可得到Tresca屈服准则或考虑剪切饱和的Mohr-Coulomb屈服准则下的侵彻阻力。计算结果如图9所示。

图9　不同屈服准则下的阻力方程对比Fig.9　Comparison of resistance equations obtained from various yield criteria

由图9可知，在空腔膨胀速度较低（无量纲速度小于3）时，考虑剪切饱和的Mohr-Coulomb屈服准则和盖帽屈服强度准则计算的侵彻阻力差别很小，空腔膨胀速度较高（无量纲速度大于7）时，采用Tresca屈服准则和考虑剪切饱和Mohr-Coulomb准则的侵彻阻力差别很小，此时考虑盖帽模型屈服准则的侵彻阻力明显比Tresca屈服准则和考虑剪切饱和的Mohr-Coulomb屈服准则的侵彻阻力要小，且随着空腔膨胀速度的增大，偏差越明显。

2　实验验证

本文为了验证阻力模型，实施了尖卵形弹丸高速侵彻混凝土靶板实验。实验中，使用105mm火炮作为发射平台，弹丸撞击速度范围为800～1 400m/s，弹丸直径2a=60.0mm，头部卵形系数CRH=3.0；混凝土靶体强度等级为C40，实测150mm×150mm× 150mm立方体试块单轴无侧限抗压强度 fcu= 46.8MPa（圆柱体强度f′c=0.8fcu=37.4MPa），ρ0= 2 300 kg/m3.实验现场布置示意图和发射前弹靶实物分别如图10和图11所示。

图10　实验布置示意图Fig.10　Schematic diagram of experimental setup

侵彻实验后回收的弹丸如图12所示。可知，实验后弹丸磨蚀和头部变形情况与实验前弹丸对比发现，弹丸侵蚀现象不明显，质量损失量最大的撞击速度为1 402m/s的弹丸（质量损失4.6%，长度缩短5%），其他撞击速度下的弹丸质量损失和长度缩短量都较小，根据文献[11-12]，此条件下的弹丸可按刚性弹处理。本文计算侵彻深度值按刚性弹模型来处理，不考虑弹丸质量损失和弹丸头部形状变化。

图11　发射前弹靶实物图Fig.11　Projectile and target before launch

图12　实验后的弹丸Fig.12　Projectiles after experiment

实验与模型的验证结果如表2所示。

表2　实验结果对比Tab.2　Experimental results and calculated values

从表 2可看出：采用带剪切饱和的 Mohr-Coulomb屈服准则预测的弹丸，侵彻深度在着靶速度小于1 060m/s时较为准确；速度大于1 060m/s后，预测的侵彻深度偏差较大，且误差随着撞击速度的增加而增大（速度小于1 060 m/s时，误差小于15%，速度1 402m/s时，误差达30.6%），计算值都趋于保守，说明此速度下侵彻阻力预测值过大。Forrestal等[8]提出的工程经验算法，计算值在速度1 150m/s时误差小于15%，当撞击速度再增加时，误差也在继续增大（速度为1 402 m/s时，误差达22.2%），而本文提出的基于盖帽模型预测的刚性弹侵彻深度和实验结果符合较好（速度为995 m/s时，误差为 15.2%，其他速度时的误差都小于10%）.

3　结论

采用HJC模型三段线性状态方程和考虑软化效应的盖帽屈服准则，建立了高速条件下可压缩混凝土材料动态球形空腔膨胀理论。研究结果表明：

1）空腔膨胀速度较低时（无量纲速度小于3），带剪切饱和Mohr-Coulomb屈服准则和盖帽屈服强度准则下，计算的侵彻阻力差别很小。

2）空腔膨胀速度较高时（无量纲速度大于6），盖帽模型下计算的侵彻阻力明显小于Tresca屈服准则和考虑带剪切饱和Mohr-Coulomb准则下的侵彻阻力计算值。

3）基于混凝土盖帽屈服准则的空腔膨胀模型计算的侵彻阻力，在弹体高速侵彻（800～1 400m/s）预测的刚性弹侵彻深度和实验结果符合较好。

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Spherical Cavity-expansion Model for Concrete Targets Based on Cap Model and Penetration Resistance Analysis

LIU Zhi-lin1，SUNWei-wei2，WANG Xiao-ming1，FENG Jun1
（1.School of Mechanical Engineering，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，Jiangsu，China；2.School of Science，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，Jiangsu，China）

In order to obtain the resistance equations of high-velocity projectile penetration into concrete targets，a dynamic spherical cavity-expansion model based on cap model is proposed.The general dynamic response expressions of concrete，which are applied to all kinds of spherical cavity expansionmodel，are obtained by describing the dynamicmechanical behaviors of concretematerialwith general equation of state and yield criterion.Yield softening properties of concrete under high pressure are considered in the proposed cavity expansion model by introducing the Drucker-Prager cap model.The calculated results show that the resistance equations of high velocity stage derived using Mohr-Coulomb yield criterion with shear saturation and Tresca criterion are great different from those derived using the cap model.The predictions obtained from the cap model are in good agreementwith experimental data.

ordnance science and technology；penetration mechanics；spherical cavity expansion；concrete；cap model；resistance equation

O385

A

1000-1093（2015）12-2209-08

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.12.001

2015-05-11

国家自然科学基金项目（51308297）；国家重点基础研究发展计划项目（2011年）

刘志林（1988—），男，博士研究生。E-mail：liuzhilin1017@163.com；王晓鸣（1962—），男，教授，博士生导师。E-mail：202xm@163.com