朱建华,孟新柱

(山东科技大学 数学与系统科学学院,山东 青岛 266590)

等周约束条件下泛函的无条件极值曲线求法证明

朱建华,孟新柱

(山东科技大学 数学与系统科学学院,山东 青岛 266590)

利用函数的连续偏导数,积分分部求解,函数极值的性质,在结合常微分方程中隐函数定理性质,以及高阶常微分方程求解知识,证明了在等周问题约束条件下将条件极值转为无条件极值的类Euler方程．

Euler方程； 极值性质； 隐函数定理； 积分变换

0 引言

在许多实际问题中,求泛函

(1)

的极值时,除了要求容许曲线类为通过两点的光滑曲线之外,还要求曲线满足另外一些约束条件,也就是泛函(1)中的条件极值．

等周问题就是指:给出一个目标泛函(M,L),一个约束泛函(M,N)以及一个给定的常数c,我们要求在条件N(u)=c约束下,求解泛函I达到极小值的必要条件和充分条件．

1 等周问题的提法

在条件

(2)

下,求一光滑曲线y=y(x).使泛函

取得极值．其中F,G对于变元x,y,y′都有二阶连续偏导数,l为曲线定长．

下面这个定理的核心思想就是泛函(1)在条件(2)下的极值曲线,就是相当于把泛函(1)中的函数F(x,y,y′)换成F(x,y,y′)+tG(x,y,y′),然后求此泛函的无条件极值曲线．

证明

(3)

对式(2)移项可以得

(4)

假设y=y0(x)+αθ(x)+βτ(x)是泛函(1)在满足条件(2)下可行函数类．构造下列方程

(5)

令方程

T(α,β)=0

(6)

下面证明(6)满足隐函数存在定理:

(i)式(6)中G(x,y,y′)满足G(x,y,y′)对于x,y,y′而言是连续可微的函数,且T(α,β)对于β存在连续偏导数．

(7)

对(7)进行分部积分,因为

τ(u0)=τ(u1)=0.

所以有

令

(8)

因为式(1)在y=y0处取极值,φ(α)在α=0处取极值．

故φ′(0)=0，而

令α=0有

(9)

由隐函数可微性定理有

所以

(10)

将式(10)代入式(9),得到

(11)

令

所以式(11)可以简化为

对式(11)进行移项得

对式(11)分部积分得

其中θ(x)是[u0,u1]上的任意二阶连续可微函数且有θ(u0)=θ(u1)=0则由引理2得

定理得证．

2 应用

解得t=0.舍去(因为在这个条件下约束方程没有意义).

3 结束语

本文的主要利用本科阶段的基础知识证明在等周约束条件下将条件约转为无条件约束的类Euler方程,并且给出一道例题说明在此类约束条件下泛函方程转为无条件约束方程求极值曲线问题的有效性．

[1]缪淑贤.含多个函数的泛函的等周问题的变分方法[J].沈阳建筑工程学院学报,1999 15(4):404-209.

[2]老大中.变分法基础[M].北京:国防工业出版社,2004:194-197.

[3]张恭庆.变分学讲义[M].北京:高等教育出版社,2011:91-96.

[责任编辑：李春红]

IsoperimetricFunctionalConstraintConditionsoftheUnconditionalExtremeValueCurveMethodtoProve

ZHU Jan-hua,MENG Xin-zhu

(College of Mathematics and Systems Science,Shandong University of Science and Technology,Qingdao Shandong 266590,China)

In this paper,we use some basic mathematics knowledge that we learn in the university including of continuous partial derivative function,integral division,the nature of the function extreme value,in combination with ordinary differential equations in the nature of the implicit function theorem,and knowledge of higher order ordinary differential equation,proves that the constraint conditions in isoperimetric problem of Euler equations of conditional extreme value into the unconditional extreme value.

euler equation; extremal property; implicit function theorem; integral transform

2015-04-13

国家自然科学基金资助项目(N11371230); 山东省自然科学基金资助项目 (ZR2012AM012)

孟新柱(1972-),男,山东菏泽人,教授,博士,主要从事脉冲微分方程、泛函微分方程等研究. E-mail:15764226503@163.com

0176.2

:A

:1671-6876(2015)03-0189-04