王理峰,石艳玲

(1.南京铁道职业技术学院 社科部,江苏 南京 210031; 2.盐城工学院 基础部,江苏 盐城 224051)

度量空间上自映射有异状点的一个充要条件

王理峰1,石艳玲2

(1.南京铁道职业技术学院 社科部,江苏 南京 210031; 2.盐城工学院 基础部,江苏 盐城 224051)

设f是N维度量空间到自身的可降自映射,给出了f有异状点的一个充要条件为存在链回归点但不是周期点,且f的ω-极限集与周期点集的交非空．

周期点; 链回归点;ω-极限集; 异状点

0 引言

1 基本定义

设(X,ρ)为度量空间,其中ρ表示X上的度量．为了简便通常将这个度量空间简记为X,φ表示空集．f∈C0(X,X),f0表示恒等映射,对任意自然数n,定义fn=f∘fn-1．如果映射f:X→X是一个连续映射,则称f为空间X上的一个连续自映射．

定义1 设f是度量空间X上的一个连续自映射,x∈X:

1)点x成为f的一个周期点,如果∃n∈N,使得fn(x)=x;点x成为f的一个n-周期点;如果∃n∈N,使得fn(x)=x并且fk(x)≠x,(k=1,2,…,n-1)．f的周期点的全体记为P(f)．对于x∈X,集合O(x,f)={fn(x):n≥0}称为x的轨迹,如果x∈P(f),则O(x,f)称为一个周期轨迹．

2)点x称为f的一个非游荡点,如果∀ε>0,∃n∈N,∃y∈Oε(x)使得fn(y)∈Oε(x)．并用Ω(f)表示f的所有非游荡点的集合．

3)点y∈X称为点x∈X关于f的ω-极限点,如果{fm(x)}有一个子列fmk(x)→y(k→+∞)．点x关于f的ω-极限点全体记为ω(x,f)．

4)点x称为f的一个链回归点,如果对∀ε>0,存在自然数m和有限点列x0,x1,…,xm∈X,使得x0=xm=x并且ρ(f(xi),xi+1)<ε,i=0,1,2,…,m-1.并用CR(f)表示f的所有链回归点的集合．

5)设x∈X,如果对x的任何邻域V(x),存在自然数n,使得fn(x)∈V(x),则称x为f的回归点．记为R(f).

6)称x∈X为f的几乎周期点,如果对∀ε>0,∃n>0,s.t.,对任意整数q≥0存在自然数r,q≤r≤N+q,满足ρ(fr(x),x)<ε,记f的几乎周期点的全体为AP(f)．

7)设x∈X,如果满足(i)x∈P(f),(ii)∃P∈ω(x,f)∩P(f),(iii)∃xk→P(k→∞)以及mk∈Z,使x=fmk(xk)(k=1,2,…,),则称x为f的异状点．

2 若干命题

命题1[1]设I=[0,1]是单位区间,f∈C0(I,I),则f有异状点的充分必要条件是存在x∈CR(f)/P(f),使得ω(x,f)∩P(f)≠φ.

所以fn1∘n2∘…∘nn(x)=x,即x∈P(f)．

命题3的证明与文[3]中的证明类似．

3 定理及其证明

1)f有异状点;

2)存在z∈CR(f)P(f),使得ω(z,f)∩P(f)≠φ．

[1]熊金城.关于线段连续自映射链回归点的一个注记[J]. 中国科学技术大学学报,1985(15):385-389.

[2]金渝光.有素周期点的一类正方形自映射[J]. 重庆师范大学学报:自然科学版,1993(2):51-54.

[3]杜瑞瑾.关于一类n维自映射的周期点集[J].重庆工商大学学报:自然科学版,2006,23(1):11-14

[4]刘喜玲.一类n维自映射有异状点的特征[J].大庆师范学院学报,2007,27(2):12-14.

[5]张爱华,王尧.n维单体上的连续自映射有素周期点的条件[J]. 鞍山师范学院学报,2003(2):4-6.

[6]熊金城.线段映射的动力系统:非游荡集,拓扑熵以及混乱[J].数学进展,1988,17(1):1-11.

[7]金渝光.关于自映射的周期点集[J].重庆师范学院学报:自然科学版,1995,12(4):35-38.

[责任编辑：李春红]

ANecessaryandSufficientConditionofHomoclinicPointsforaSelf-mappingontheMetricSpace

WANG Li-feng1,SHI Yan-ling2

(1.Dapartment of Social Science,Nanjing Railway Vocational and Technical College,Nanjing Jiangsu 210031,China)

(2.Basic Department,Yancheng Institute of Technology,Yancheng Jiangsu 224051,China)

Iffis a reduced self-mapping of theN-dimensional metric space to itself,Here this paper presents a necessary and sufficient condition forfwith homochinic points:Existences chain recurrent but not periodic point,and theω-limiting point set and periodic point set is nonempty intersection.

periodic point; chain recurrent;ω-limiting point; hoochinic point

2015-04-08

江苏省普通高校研究生科研创新计划项目(CXZZ12-0083); 江苏省高校哲学社会科学基金项目(2014SJD283); 中国职教学会轨道交通专业委员会课题项目(201418)

王理峰(1981-),女,河南平顶山人,讲师,硕士,研究方向为应用数学及多元统计. E-mail:qingqingcaolf@163.com

O174

:A

:1671-6876(2015)03-0207-04