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建立不等式模型解决实际问题

2015-07-13湖北省秭归县沙镇溪镇初级中学王祥平

卫星电视与宽带多媒体 2015年15期
关键词:处理费月工资薪金

湖北省秭归县沙镇溪镇初级中学 王祥平

下面两例分别取材于实际生活的节水问题和个人收入所得税的问题,它能通过建立恰当的数学模型使问题获解,是考察建模能力的好题。但遗憾的是一些参考解答的建模不够合理,甚至由于建模不合理出现解答错误的情况。本人认为此类应用题易建立不等式模型解之。

例1.为加强公民的节水意识,某城市制定了以下水费收费办法:每户每月用水未超过7立方米时,每立方米收费1.0元并加收0.2元的城市污水处理费;超过7立方米的部分每立方米收费1.5元并加收0.4元的城市污水处理费。设某户每月用水量为x(立方米),应交水费y(元)。

(1)分别写出用水未超过7立方米和超过7立方米是y与x之间的函数关系式;

(2)如果某单位共有用户50户,某月共交水费541.6元,且每户的用水量均未超过10立方米,求这个月用水未超过7立方米的用户最多可能有多少户?

解 :(1)当0≤x≤7时,

y=1.2x(0≤x≤7); ①

当x>7时,

y=1.9(x-7)+8.4(x>7).②

(2)设有x户的用水量未超过7立方米,则有(50-x)户的用水量超过7立方米但未超过10立方米,根据题意得:

8.4x+(5.7+8.4)(50-x)≥541.6

解得x≤28.67

所以x的最大整数解是x=28

故用水未超过7立方米的用户最多为28户。

说明其中式子8.4x表示x户用水7立方米的水费,它应大于或等于x户这个月的实际用水水费;式子(5.7+8.4)(50-x)则表示(50-x)户用水10立方米的水费,同样也应大于或等于(50-x)户这个月的实际用水水费。

在有些参考解答中对第(2)题的解法是:

设有x户用水未超过7立方米,那么要使x的取值最大,则这x户用水应刚好为7立方米,而另外(50-x)户用水量应尽可能大,不妨设为10立方米。依题意得

8.4x+(5.7+8.4)(50-x)=41.6

解得,x≈28.67

若x=29,此时交费的最大总额为298.4+21×14.1=537.9<541.6.所以取x=28.

在这个解答中,“要使x的取值最大,则这x户用水应刚好为7立方米,而另外(50-x)户用水量应尽可能大,不妨设为10立方米”使人很难看懂;在建立方程解出x≈28.67后,如何取近似值?为什么要对x=29进行试验,而x=28不需检验,也让同学们感到难以把握。此题在“未超过7立方米”“未超过10立方米”及“求最多可能有多少户”等诸多信息的提示下很容易联想到建立不等式模型去解。事实上建立不等式模型去解,就可以克服以上弊端。

例2.《中华人民共和国个人所得税法》规定个,公民全月工资,薪金所得不超过1600元的部分不必纳税,超过1600元的部分为全月应纳税所得税,此项税款按小表分段累计计算:_

(1)若某人3月份应交纳此项税款为115元,则他的当月工资薪金为多少?

(2)如果沙镇溪初级中学共有教职工100人,某月交纳税款5000元,且每人的当月工资薪金都在超过1600元而不超过2500元之间,求当月工资薪金不超过2100元的教职工最多可能有多少人?

解:(1)设某人当月工资薪金为x元,

∵500×5%=25(元)

(2000-500)×10%=150(元)

(25+150)=175元>115元

∴他的当月工资薪金应小于3600元而大于2100元。

500×5%+(x-2100)×10%=115

解得 x=3000

答:他当月工资薪金为3000元。

(2)设当月工资薪金不超过2100元的教职工有y人,则当月工资薪金超过2100

元但未超过2500元的教职工有(100-y)人,根据题意:

500×5%y+500×5%(100- y)+(2500-2100)×10%(100-y)≥5000

解得y≤37.5

∴y的最大整数解是y=37

答:当月工资薪金不超过2100元的教职工最多可能有37人。

从以上两例可以看出当问题中出现“不超过”“最多”“至少”等关键词的实际应用题,可考虑建立不等式的数学模型解之。

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