费淑晶

一、 比较路线的长短

图1是某游乐场示意图，AF∥BC，EC⊥BC，BA∥DE，BD∥AE. 甲、乙两人同时从B处匀速走到F处，甲路线是B→A→E→F；乙路线是B→D→C→F. 假设两人速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F处？请说明理由.

【分析】要判断甲、乙两人谁先到达F处，就是要计算二人所行走的路径，即要比较两条路径的长短. 首先我们可以把本题的实际问题构建成数学模型——比较两条线段的长短的问题，其次，把线路用线段分别表示为BA+AE+EF和BD+DC+CF，最后，再比较BA+AE+EF和BD+DC+CF的大小关系.

解：甲、乙两人同时到达. 理由如下：

延长ED交BC于点G，因为BA∥DE，AF∥BC，所以四边形ABGD是平行四边形，所以AB=DG. 因为BA∥DE，BD∥AE，所以四边形ABDE是平行四边形，所以BD=AE，AB=DE，所以DE=DG. 因为EC⊥BC，所以CD是Rt△ECG的中线，所以CD=DE. 因为AF∥BC，所以F是EC的中点，所以FC=EF，所以DE=DG=AB=CD.

故BA+AE+EF=BD+DC+CF，即B→A→E→F与B→D→C→F相等，因此，甲、乙两人同时到达.

二、 设计方案

如图2所示，某村有一个四边形花坛，在它四个角A、B、C、D处均有一棵桃树，该村准备扩建花坛，既想使花坛的面积扩大一倍，又想保留原来的四棵桃树不动，使挖过的花坛更美观，想挖成一个平行四边形，请问能否实现？若能，请设计；若不能，请说明理由.

【分析】由于四棵桃树分别在四边形的顶点上，所以要想把花坛挖成一个平行四边形，并且使花坛的面积扩大一倍，那么这四棵桃树应在平行四边形的边上，且每个边上应该都有一棵桃树，所以我们可以经过四个顶点分别作对角线的平行线，如图3所示，就能够解决此问题.

解：能够实现. 理由如下：

连接AC、BD，二者相交于点H，再分别过点B、D、C、A作MN∥AC，PQ∥AC，MQ∥BD，NP∥BD，那么，四边形ANBH、BMCH、CQDH、DPAH分别都是平行四边形，所以，

S△ABH=S平行四边形ANBH；

S△BCH=S平行四边形BMCH；

S△CDH=S平行四边形CQDH；

S△ADH=S平行四边形APDH .

因为S四边形ABCD=S△ABH+S△BCH+S△CDH+S△ADH=S平行四边形ANBH+S平行四边形BMCH+S平行四边形CQDH+S平行四边形APDH=（S平行四边形ANBH+S平行四边形BMCH+S平行四边形CQDH+S平行四边形APDH）=S平行四边形MQPN .

因此，平行四边形MQPN的面积比四边形ABCD的面积扩大了一倍.

（作者单位：江苏省连云港市赣榆区外国语学校）