王益鹤，杨 娜

(北京交通大学 土木建筑工程学院，北京 100044)

随着设计理念的迅猛发展以及轻质、高强材料的广泛使用，现代建筑结构跨度不断增大，刚度不断降低。人行荷载作用下的结构振动问题越来越引起人们的重视。一方面，结构在人的行走、运动和使用过程中产生的过量振动，使其舒适度及安全性受到影响;另一方面，更为重要的是，分布在结构上的人群作为独立的动力体系，既会在结构振动下改变其动荷载的大小，引发振动的二次效应，又会对结构的动力特性产生影响，即人与结构间的相互作用。早在1831年，60名士兵行军过桥导致英国布劳顿桥倒塌的事故［1－2］，就使人们认识到人致振动对结构的影响。2000年，英国伦敦千禧桥在开通当日即产生严重振动的事件［3］，受到国际上异乎寻常的关注及系统的研究。

近年来，对于人致振动的研究取得了丰硕的进展，但仍有许多方面需要完善。传统的将人作为外部动荷载的处理方式，忽略了人是复杂的动力系统这一重要因素，未能考虑人与结构间的相互作用，无法预测具有轻质、低频等特点的柔性结构的振动。一系列生物力学领域的人体模型开始应用于土木工程中，这些模型将振动环境下的人体简化为不同自由度的刚度、质量和阻尼体系(SMD)。最简单的人体模型是单自由度(SDOF)有阻尼体系，如图 1。一些学者［4－5］用 SDOF模型模拟人与结构相互作用。Mansfield等［6］和 Matsu-moto等［7］通过实验曲线拟合人体位于振动台上的驱动点频率响应函数来获得人体模型，研究结果表明，SDOF模型无法描述人体振动响应幅频特性曲线中出现的两个峰值，拟合结果较差，而双自由度(2-DOF)人体模型则精确描述了人体动力特性。Matsumoto［7］认为，没有必要用多于2-DOF的模型获得人体动力特性。Sachse等［8］也认为，更复杂的模型用于研究人体局部部位运动及振动在人体自身的传递过程，不适用于研究人与结构相互作用。Kim 等［9］也采用 ISO 5982［10］的2-DOF人体模型(见图2)分析人行桥的竖向振动问题。然而，SMD模型忽略了人体运动的生物特性，无法捕捉到人体步态及人体运动对结构振动的影响，也无法反映结构振动促使人体调整步态，进而直接改变动荷载大小的状况。而针对人体双足行走这一特点，Geyer等［11］提出用双足步行模型(见图3)模拟人体的周期步行，模拟了步行时的双足同时落地现象。后来一些研究人员［12－14］又对双足模型进行了不同的修正，但均将人身体简化为质心，未考虑2-DOF人体模型所精确描述的人体动力特性。

图1 单自由度人体模型Fig.1 SDOF model

图2 双自由度人体模型(ISO 5982)Fig.2 2-DOF model(ISO 5982)

本文综合考虑2-DOF的SMD模型所表示的人体动力特性及双足模型双足步行的特点，基于ISO 5982模型与双足模型，建立了新型双足步行模型。利用Lagrange方程确立新型双足步行模型的运动方程并进行Matlab编程，对步行过程中的力学特性进行描述，并对人体能量及参数变化进行了研究。

图3 双足模型Fig.3 Bipedal model

1 新型双足模型运动方程的建立

新型双足模型如图4所示。采用ISO 5982的SMD模型表示行人的身体部位，并将其支撑于两个无质量的等长弹簧和阻尼构成的体系。人体质量等效为质量m1和m2，身体刚度为k1，阻尼为c1，长度为lb;人腿部弹簧刚度为k1eg，阻尼为cleg，长度为l0。

图4 新型双足模型步行原理图Fig.4 Schematic of the new bipedal model

该模型中，两个由弹簧和阻尼构成的体系独立运动，当与地面接触时产生弹性力和阻尼力，这两个力与重力和惯性力一起构成平衡力系，影响人体运动。弹簧在摆动过程中不与地面接触时，则相应地弹性力和阻尼力为零，此时弹簧没有物理意义，直到再次与地面接触。

利用Lagrange方程建立运动方程。在双足支撑阶段，人体的动能和势能分别表示为:

其中:z1和z2分别表示人体m1和m2的垂直位移，u表示人体m1和m2的水平位移，g表示重力加速度，Ll和Lt分别表示支撑腿和随动腿的弹簧长度。

人体的阻尼力所做虚功的变分δW表示为:

式中:cl和ct分别为支撑腿和随动腿的阻尼，vl和vt为支撑腿和随动腿的轴向速度;δ(ΔLl)和δ(ΔLt)是支撑腿和随动腿弹簧长度的虚变形;{F1，F2，F3}为对应广义坐标{z1，z2，u}的广义力。

根据人体广义坐标和落脚点的位置，支撑腿和随动腿的弹簧长度分别表示为:

其中:di表示步行过程中第i步步长。

支撑腿和随动腿的轴向速度，可由m2的竖向速度和水平速度合成得出，

式中:θl，θt分别为支撑腿、随动腿与地面的夹角。

支撑腿和随动腿的位移变分，也可根据m2的竖向位移z2和水平位移u合成得出，

将式(4)和(5)代入式(1)和(2)，得:

将式(6)、(7)、(8)和(9)代入到式(3)中，得:

对比式(3)和(12)，得广义力:

新型双足模型运动的Lagrange方程可以表示为:

把动能、势能和广义力的表达式分别代入到Lagrange方程，并用矩阵的形式写出，便得到整个系统的运动方程:

式中:M、C、K分别表示系统的质量、阻尼和刚度矩阵;U，，分别表示系统的位移、速度和加速度向量;F为荷载向量。具体表达式如下:

其中:

双足支撑阶段时，需同时考虑运动方程中涉及到支撑腿和随动腿的量;单足支撑阶段时，将运动方程中所有与随动腿相关的量取值为零，即可。实际上，单足支撑阶段可以视为双足支撑阶段的特殊情况。

考虑阻尼弹簧腿的双足模型能够模拟包括双足和单足支撑的一个完整步态。然而，受阻尼耗能的影响，运动过程中系统的运动方程将无法保持平衡，在实际模拟时，模型将在若干步态之后失去稳定［11，13，15］。为了得到稳定的步行，本文采用外力做功的方式保持步行过程中的总能量恒定及运动方程平衡。

对于任意时刻t，总能量由动能、弹性势能和重力势能构成，可以表示为:

假定外力在水平方向上所做的功等于能量的损失，则水平控制力可以表示为如下形式:

式中:Fctrl(t)为水平控制力，E0为初始输入的能量，E(t)为时刻t的人体能量，Δu(t)为时刻t质心的水平位移增量。

式(19)中，荷载向量变为:

上述分析过程，可充分描述完整的步行。注意到整个系统的阻尼矩阵和刚度矩阵是时变的，因此，线性体系的动力分析方法不适用于本文分析，需用迭代的方法解决。本文选取New-Raphson非线性方法进行迭代求解。

2 新型双足模型数值模拟

对于双足模型，一定速度下的腿刚度kleg和冲击角θ0，是影响人体运动的关键参数。Geyer等［11］首先给出双足模型的kleg和冲击角θ0的参数区域图。Whittington等［12］列出了腿刚度 kleg＜50 kN·m－1，冲击角 θ0在50 °～80°内的参数区域图。Kim等［13］将腿刚度kleg取值为14～28 kN·m－1，并认为阻尼比 ξ在3% ～8%范围内即可描述人体步行。

考虑人体动力特性后，本文选取以下人体特性:其中身体部位参考人体质量ISO 5982模型［10］，mh=75 kg(其中 m1=62 kg，m2=13 kg)，身体刚度 k1=62 kN·m－1，身体阻尼 c1=14.6 kN·s·m－1，身体长度取lb=0.4 m;腿部参数根据已有双足模型［13－14］，取腿刚度kleg=20 kN·m－1，阻尼比 ξ=8%，腿长取为l0=1 m。步行初始速度为1.1 m·s－1，在步行过程中假定冲击角θ0=69°为常数。本文对上述推导过程进行Matlab编程，详细分析整个步行过程。

鉴于ISO 5982模型由人体振动响应幅频特性得出，将新型双足模型的人体表观质量幅频特性曲线与ISO 5982模型进行对比。如图5所示，两曲线接近。即新型双足模型在描述人体步行的同时，兼顾了人体动力特性。

根据选取参数，可模拟得到行人单步行走时的步行荷载，如图6和图7所示的竖向及纵向地面反力时程。由于人体步行时，每一步身体的重心都会高低起伏一次。双足模型能够捕捉到重心变化产生的加速度，使竖向地面反力和纵向地面反力均出现两个峰值。其中竖向地面反力有两个波峰和一个波谷，其中波峰对应双足模型中脚落地和离开地面两个时刻，波谷对应双足模型单足垂直支撑人体的时刻。竖向地面反力是非对称的，第一个峰值明显比第二个峰值要大。纵向地面反力也表现出两个峰值，但从负值到正值变化。模拟得到的结果与Bachmann等［16］实测的结果一致，可知双足模型可较好的模拟人体的步行特性。

与其它动荷载不同，人步行过程中两腿交替行进，带动整个身体前进运动。图8和图9为双足模型模拟得到的人体持续步行中，左右两腿产生的竖向及纵向连续地面反力。由于人正常双足行走时，脚跟先着地，之后脚尖离地，每一步都有一个短暂的双脚同时接触地面的过程，即双脚重叠时间，即图8和图9所示的左右脚地面反力的重叠时刻部分。

图5 人体表观质量幅频特性Fig.5 Normalised apparent masses response functions

图6 单步竖向地面反力Fig.6 Vertical ground reaction force with one foot

图7 单步纵向地面反力Fig.7 Longitudinal ground reaction force with one foot

图8 步行中产生的竖向地面反力Fig.8 Vertical ground reaction force in walking

图9 步行中产生的纵向地面反力Fig.9 Longitudinal ground reaction force in walking

图10和图11给出了人体上下两部分m1和m2的竖向位移和加速度。可知，m1和m2的位移幅度接近，只是m1的位移滞后于m2。m1和m2的加速度接近，但由加速度局部放大图可知，m1的加速度值要大于m2。即人体上下两部分m1和m2的运动状态有所不同。新型双足模型可反映人体不同部位的相对振动情况。

从图8和图9中可以看出，持续步行的步行荷载时程是平稳的。然而，如果没有水平控制力作为反馈机制，人体水平速度将越来越小，经过若干步之后步态将失去稳定。如图12所示，其中虚线为未施加控制机制的速度，很明显，控制机制对于保持步态的稳定是必须的。图13所示即为步行中施加在人体上的水平控制力时程，由图可得，水平控制力贯穿于整个步行过程中，且每一步的水平控制力相似。

通过图13所示的水平控制力做功补偿能量损失，使得步行过程中的总能量保持平衡，进而保持人体平稳步行。图14所示为人体步行过程中的能量时程。从整个过程来看，在施加了反馈机制后，人体的能量在重力势能、弹性势能和动能之间进行转化，而总能量保持为常数不变。

图11 m1和m2的加速度Fig.11 The acceleration of m1 and m2

图12 步行中的水平速度Fig.12 Horizontal velocity in walking

图13 步行中的水平控制力Fig.13 Control force in walking

图14 步行中的人体能量Fig.14 Energy in walking process

图15 一个步态内的能量变化量Fig.15 Change in Energy across a gait cycle

图15所示为一个完整步态内的能量变化量时程。在双足支撑阶段的初始时刻，即本文模拟所选取的初始点，各能量变化量为零。随后进入单足支撑阶段，人体身体部位开始向上运动，重力势能增加，此时腿部弹簧伸展且人体前进速度减小，弹性势能及动能减小。当支撑腿垂直地面时，此时人体身体部位达到最高，重力势能达到整个过程的最大值，弹性势能及动能减为最小。随着人体身体部位降低，重力势能开始减小，弹性势能及动能增大。最终到达下一个双足支撑阶段开始时刻，各能量变化量重新变化到零。由此可见，步态结束时刻系统各能量状态与步态开始时刻相同，步态保持稳定，新步态开始。整个过程中，能量变化量整体未变，总能量的变化量始终为零。能量保持恒定。

3 参数影响分析

腿刚度、冲击角和步行速度三个重要参数影响着人体的连续稳定步行。本文研究了三个重要参数对步行特性的影响。

图16所示为腿刚度对地面反力的影响，步行速度为1.1 m·s－1，冲击角保持 69 °不变。从图中可以看出，随着腿刚度增加，竖向及纵向地面反力均增大。而腿刚度的变化对步行周期的影响较小。进而在步行速度恒定下，步长变化所受的影响也较小。

图17所示为冲击角对地面反力的影响，步行速度为1.1 m·s－1，腿刚度保持 20 kN·m－1不变。从图中可以看出，随着冲击角增加，竖向及纵向地面反力均减小，步行周期减小。进而在步行速度恒定下，步长也减小。

图16 腿刚度对地面反力的影响Fig.16 Effect of leg stiffness on ground reaction force

图17 冲击角对地面反力的影响Fig.17 Effect of attack angle on ground reaction force

图18所示为步行速度对地面反力的影响，腿刚度为20 kN·m－1，冲击角保持69°不变。从图中可以看出，随着步行速度增加，竖向及纵向地面反力均增大，步行周期减小。

图18 步行速度对地面反力的影响Fig.18 Effect of walking speed on ground reaction force

4 结论

通过建立新型双足模型模拟人体的步行运动，描述了步行中产生的地面反力及能量变化过程，分析了腿刚度、冲击角和步行速度等参数对步行特性的影响。主要结论如下:

(1)新型双足模型能够考虑人体自身动力特性及双足步行特点，能够模拟包括双足和单足支撑阶段的完整连续的步行过程。

(2)连续平稳步行的新型双足模型总能量恒定，其能量随着步行过程在重力势能、弹性势能和动能之间进行转化。

(3)竖向及纵向地面反力受腿刚度、冲击角和步行速度影响较大;而步行周期受腿刚度影响较小，受冲击角和步行速度影响较大。

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