赵建华，张 陵， 孙 清

(1.西安交通大学 机械结构强度与振动国家重点实验室，西安 710049;2.西安交通大学 土木工程系，西安 710049)

工程结构在长期的服役过程中，由于受到自然灾害或人为因素的作用，将不可避免地会发生材料秉性劣化和局部损伤现象。如果损伤累积到一定程度而未被及时发现，则可能会出现突发性事故，从而造成巨大的经济和人员生命的损失。因此，对结构损伤识别的研究一直是国际上的研究热点［1］。Ben等［2］利用超声兰姆波方法对碳纤维增强塑料板进行了损伤识别研究，并通过试验加以验证。余竹等［3］通过数值与现场实桥试验验证了小波包能量曲率差指标对损伤识别的有效性。刘伟等［4］提出了利用曲率模态与曲面拟合值的差异进行损伤定位的方法。近些年来，基于结构模态参数及其衍生量指标的损伤识别方法得到了广泛的研究，取得了许多有指导工程实践价值的成果。频率作为结构的固有属性之一，由于测试方法简单且精度高，所以可以通过结构损伤前后固有频率的变化来识别结构的损伤。Salawu［5］综合分析了各种利用损伤前后固有频率变化确定损伤的方法，认为仅靠频率信息不足以精确确定损伤位置。Vestroni等［6］利用损伤前后的频率变化量对简支梁结构的裂纹进行了识别，研究表明只需前几阶低阶模态便可准确定位，但损伤定量的效果欠佳。郭国会等［7］和谢峻等［8］推导出结构的频变比是损伤位置的函数，认为该方法难以精确地定位和定量，因为不同位置和程度的损伤可能会引起相同的频率变化。通过以上的研究可知，单纯利用频率指标来准确的识别出结构损伤尚有一定的困难。应变能作为模态振型的衍生量，对结构局部损伤的敏感性大大高于模态振型。损伤一般会导致结构局部刚度降低而使柔度增加，所以损伤后的单元模态应变能往往大于损伤前。Stubbs等［9］首先提出伯努利－欧拉梁的应变能计算公式，并利用损伤前后应变能比值对一维梁式结构进行了损伤定位研究。Cornwell等［10］对应变能方法作了进一步推广，并将其应用到二维板式结构的损伤识别中。Shi等［11］提出单元模态应变能的概念，研究表明利用损伤前后单元模态应变能变化率可以准确确定出结构损伤位置。Kumar等［12］利用损伤前后模态应变能的变化来判断三明治梁是否发生损伤以及确定出具体的损伤位置。刘晖等［13］利用应变能耗散率和相应的结构损伤前后应变能变化的关系推导出单元的损伤程度变量，数值分析表明该指标定位效果很好但定量误差偏大。不难看出，大部分基于模态应变能的损伤识别方法主要针对的是结构的损伤定位问题，而要获得精度较高的损伤定量则还需其他方法作进一步分析。本文以单元模态应变能为基本量，首先提出归一化条件下的模态应变能损伤定位指标;在损伤定位的基础上，建立基于比例损伤模型和频率变化法的刚度矩阵压缩损伤定量方程，并用最小二乘法求解出损伤单元的损伤程度。数值算例结果验证了所提方法的有效性和正确性，并表明所提方法对测量噪声有较强的鲁棒性。

1 损伤表征

一般而言，结构或其构件在服役或遭受突发外力作用时，其内部各点的应力分布是不同的。倘若结构发生损伤(如材料表面腐蚀、出现裂纹、累积变形等)，则其损伤区域的力学性质定会有明显的变化。弹性模量作为衡量材料产生弹性变形难易程度(刚度)的指标，是最能表征材料力学性质的一个参数量，可以很好地反映损伤对结构及其构件受力所产生的影响。因此，对于各项同性的弹性材料，结构的损伤可以表示为如下的形式［14－15］:

其中:E为完整材料的弹性模量，Ed为损伤材料的有效弹性模量;d(x，y)是表征局部损伤状态的损伤分布函数，当 d(x，y)=0时，表示完整状态，当d(x，y)=1时，表示在损伤处材料完全破损，当0＜d(x，y)＜1时，表示材料出现一定程度的破损。

2 损伤位置识别

结构损伤一般只引起结构局部刚度发生变化，而质量不变。针对这一特点，文献［11］定义结构损伤前后，第j个单元关于第i阶模态的单元应变能如下:

将式(4)展开，并忽略高阶项的影响，可得

下面通过简单的理论推导来证明模态应变能变化是损伤定位的敏感因子。由摄动理论可以推导出损伤前后第i阶模态振型的改变量为［16］

假设结构第p个单元发生损伤，将式(6)代入式(5)，整理后可得

定义结构损伤前后整个结构关于第i阶模态总的模态应变能分别如下:

由式(8)和(9)可得第j个单元关于第i阶模态的归一化模态应变能分别为

把式(14)构建指标NMSECRj称为归一化条件下的模态应变能变化率损伤定位指标。采用该指标来确定结构的损伤位置，可以有效地减少损伤位置的误判，大大提高损伤位置识别的效率。

3 损伤程度识别

不考虑阻尼的影响，结构损伤前后的特征方程可表示为

其中:K和Kd分别表示损伤前后结构的刚度矩阵，M和Md分别表示损伤前后结构的质量矩阵;刚度和质量矩阵均为n阶方阵;λi和λdi、φ和φdi分别表示损伤前后第i个特征值和相对应的振型。

假设损伤前后结构质量保持不变，损伤只引起结构局部材料弹性模量的折减并导致刚度产生变化量ΔK，同时特征值及其对应振型也产生变化量 Δλi和Δφi，即

把式(17)～(20)代入式(16)并展开整理，可得

由式(15)可知，式(21)第一项为结构无损伤状态下的特征方程，故其值为零。忽略高阶项的影响并对式(21)两端同时左乘φTi，得

因为刚度和质量矩阵均为对称方阵，即KT=K，MT=M，所以由对式(15)两端转置可知式(22)第一项也为零。如果对振型进行质量归一化处理，即满足Mφi=1，此时式(22)可简化为

需要说明的一点是，矩阵ΔK为稀疏矩阵。因为只有在损伤位置处，结构刚度才发生改变，即ΔK对应的元素值非零;而在其他无损伤区域刚度的变化则为零，其所对应的元素值也为零，所以结构发生局部损伤时，仅仅有很少一部分刚度矩阵元素产生变化值，刚度变化矩阵ΔK绝大部分元素为零，形成一个稀疏矩阵。如果删除矩阵ΔK中所有全为零的行和列，只保留那些非全零行和列，就可获得只跟有限元模型中损伤单元相关的压缩后的刚度变化矩阵ΔK'。与此同时，去除归一化振型φi中与损伤单元自由度不相关的元素值，得到缩减后的仅与损伤单元自由度相关的振型 φ'i，式(23)可改写为如下形式［17］

在有限元模型中，可以用比例损伤模型来表示损伤引起的刚度矩阵改变量，即ΔK'可以表示为每个单元的刚度矩阵与损伤系数的乘积之和，具体表示如下

式中;Kj和dj分别表示第j个单元刚度矩阵对压缩矩阵ΔK'的贡献量及对应的单元损伤系数;nd表示损伤单元的个数;求和符号表示刚度矩阵的组装。

把式(25)代入式(24)，可得

其中:S是一个m×nd矩阵，且表示与振型和刚度矩阵相关的灵敏性矩阵;d是一个nd×1维列向量，且 d=［－d1，－d2，…，－dnd］T，表示单元损伤系数向量;Δλ是一个 m×1维列向量，且 Δλ=［Δλ1，Δλ2，…，Δλm］T，表示特征值变化向量;m 为计算的振动模态阶数。需要补充说明的一点是，式(26)中矩阵和向量的大小与结构损伤的数目相关，而与结构本身的大小没有关系。在工程实践中，即使面对大型复杂结构的损伤识别问题，其损伤识别方程个数也仅有很少的若干个，因为式(26)的方程个数取决于损伤单元个数和测试模态阶数。此外，由式(26)可知，计算振型和单元刚度相关灵敏性矩阵不需要损伤后的振型，这样就可以有效地避免测试振型误差对损伤程度识别结果的影响，大大提高识别的精度。

为了得到式(26)的唯一解，测试模态阶数应该与损伤单元个数相等，即m=nd。但在实际的振动测试中，人为因素或测试设备造成的测试误差不可避免，因此为了更加准确的识别结果，通常选取的测试模态阶数大于损伤单元个数(m＞nd)，这就使得式(26)成为一个超定方程。求解式(26)中损伤系数向量d，可以通过最小化误差平方的最小二乘优化算法［18］来进行计算，首先构造误差函数如下)

且须满足条件

其中:dk为向量d的第k个变量。把式(27)代入式(28)并经过矩阵变换，可得

4 数值分析

以图1所示平面桁架结构为例验证上述所提方法的有效性。该结构有限元模型包含31个典型的杆单元，14个节点和25个自由度，其基本参数为:弹性模量E=210GPa，材料密度ρ=7850 kg/m3，横截面积A=0.0025 m2，杆件长度l=0.5 m。结构的损伤用单元弹性模量的折减来模拟。每个节点只考虑竖向的平动自由度，模态测试数据用结构的有限元模型模拟获取，且假定模态振型满足质量归一化条件。文中通过提取结构损伤前后的前6阶模态数据来进行损伤识别计算。假设有三种损伤工况:工况1，单元7和16发生损伤，刚度分别降低5%和10%;工况2，单元4和15发生损伤，刚度分别降低20%和30%;工况3，单元6、12和13发生损伤，刚度分别降低25%、30%和20%。在实际的工程结构振动测试中，频率的测试精度较高，而模态振型则受周围环境噪声的影响较大。为了分析测量噪声对损伤识别效果的影响，对振型分别加入2%和5%的测量噪声。噪声表达式如下［19］:

式中:φi和 φi分别表示加噪声前后第i阶模态振型;ε为噪声水平大小程度;rand(－1，1)为在区间［－1，1］内均值为0，方差为1的正态分布随机数。

图1 平面桁架结构模型Fig.1 Planar truss structure model

4.1 损伤定位结果

图2～4分别给出了三种工况利用归一化条件下的模态应变能变化率损伤定位指标确定的结构损伤位置直方图。从图中可以很容易的看出，发生损伤位置处的损伤定位指标NMSECR明显大于其他非损伤单元，不同的噪声水平对损伤定位指标NMSECR值的大小有一定的影响，但对最终的损伤定位效果及其准确性的影响却很小。从图2可以看出，单元7和16对应的NMSECR指标远远大于其他未发生损伤的单元，说明单元7和16对应的位置处即为结构的损伤位置，这与工况1的损伤位置假定完全一致，即所提损伤定位方法正确有效。由于单元16位置处结构的损伤程度比单元7位置处大，所以对应的NMSECR指标也较大。需要说明的一点，NMSECR指标只表示损伤前后某一单元应变能的变化大小，其值大小只能定性的表示出损伤的严重程度，但并不能准确定量。此外，噪声对NMSECR指标值的大小会有一定程度上的影响，但影响很有限，并不会出现非损伤单元的损伤定位误判。当噪声水平为2%时，NMSECR指标值与无噪声时相比最大相对误差为1.9%;当噪声水平为5%时，NMSECR指标值与无噪声时相比最大相对误差为4.3%。从图3可以清楚地看出单元4和15发生了损伤，因为他们的损伤定位指标值明显大于其他非损伤单元。当噪声水平为2%时，NMSECR指标值与无噪声时相比最大相对误差为1.88%;当噪声水平为5%时，NMSECR指标值与无噪声时相比最大相对误差为4.65%。同样，从图4也可以容易地判断出单元6、12和13发生损伤。参照图1知，单元6、12和13分别为结构的竖杆、弦杆和腹杆，说明该方法对结构任何位置的损伤定位亦有效。当噪声水平为2%时，NMSECR指标值与无噪声时相比最大相对误差为1.87%;当噪声水平为5%时，NMSECR指标值与无噪声时相比最大相对误差为4.59%。通过对上述三种工况的损伤定位效果和不同噪声水平下NMSECR指标值的误差分析可知，所提NMSECR指标在噪声水平不大于5% 时可以准确地识别出桁架结构的损伤位置，而且对噪声具有良好的鲁棒性。

图2 工况1的损伤定位结果Fig.2 Damage localization for case 1

图3 工况2的损伤定位结果Fig.3 Damage localization for case 2

图4 工况3的损伤定位结果Fig.4 Damage localization for case 3

4.2 损伤定量结果

由损伤定位结果可知，工况1中单元7和16为损伤单元;工况2中单元4和15为损伤单元;工况3中单元6、12和13为损伤单元。在确定了损伤位置的基础上，利用式(29)对不同噪声水平下的损伤程度进行计算。文献［20］提出利用结构特征值变化率 δi=－Δλi/λi作为判断结构第i阶模态对损伤诊断的灵敏性指标。表1给出了三种工况在损伤前后特征值的变化率。从表1可以看出，第1阶特征值变化率最大，说明第1阶频率对损伤最为敏感，而且损伤越多且越严重，变化也越大。对于工况1，第1、2和5阶模态变化率较大，因此选取这3阶模态进行损伤程度的计算;同理，对于工况2 和3，分别选取第1、3、5 阶和第1、2、4、5和6阶模态进行损伤程度的计算。表2给出了利用本文和文献［21］中方法得到的损伤定量结果比较，并对其进行了误差分析。从表2知，本文方法在无噪声、噪声水平2%和噪声水平5%时，三种工况下损伤程度识别结果与真实损伤程度之间的相对误差最大值分别为3.4%、5.2%和5.72%，文献［21］中方法的相对误差最大值分别为4.4%、7.47%和 7.15%，说明在噪声水平不超过5%时噪声对结构损伤程度识别的影响较小，能够满足一般的工程要求。进一步分析，在无噪声、噪声水平2%和噪声水平5%时，三种工况下分别用这两种方法得到的损伤程度平均相对误差分别为2.54%、3.32%、4.8%和3.3%、4.56%、5.88%，显然本文方法的识别精度更高。此外，利用文中所提损伤定量方法确定单元损伤程度，最大好处是定量方程数目只与为数不多的损伤位置个数相关，避免了其他类似方法求解大型方程的繁冗。

表1 特征值变化率(Δλ/λ)/%Tab.1 Change ratios of eigenvalue(Δλ/λ)/%

表2 本文损伤定量结果和文献［21］中方法比较 /%Tab.2 Comparisons of damage extent prediction between the proposed method and Ref.［21］/%

5 结论

本文提出了一种先利用归一化条件下的模态应变能变化进行结构损伤定位，然后再利用改进的频变法进行损伤定量的两阶段损伤识别方法。该方法首先对损伤前后的单元模态应变能进行归一化处理，构建基于归一化条件下的模态应变能变化损伤定位指标对结构进行准确的损伤定位识别;其次，在确定损伤位置的基础上，建立了只跟损伤单元相关的基于比例损伤模型的损伤定量方程，并用最小二乘技术进行损伤程度的求解。数值算例结果表明，该方法只需要前几阶模态数据便可准确识别出结构的损伤位置和程度，而且对测量噪声(噪声水平不大于5%)具有较强的鲁棒性。由于损伤定量方程中灵敏性矩阵和损伤程度未知量向量的大小只与结构损伤位置的数目相关，而与结构本身的大小没有关系，这就大大减少了损伤定量方程的个数和计算复杂度，使得所提方法为有效地解决大型复杂结构的损伤识别问题提供了理论基础。

［1］郭惠勇，李正良，彭川.结构损伤动力识别技术的研究与进展［J］.重庆建筑大学学报，2008，30(1):140－145.GUO Hui-yong，LI Zheng-liang，PENG Chuan.Researches and advances in structural damage dynamic identification technology［J］.Journal of Chongqing Jianzhu University，2008，30(1):140－145.

［2］Ben B S，Ben B A，Vikram K A，etal.Damage identification in composite materials using ultrasonic based Lamb wave method［J］.Measurement，2013，46:904 －912.

［3］余竹，夏禾，Goicolea J M，等.基于小波包能量曲率差法的桥梁损伤识别试验研究［J］.振动与冲击，2013，32(5):20－25.YU Zhu，XIA He，Goicolea J M，et al.Experimental study on bridge damage identification based on wavelet packet energy curvature difference method［J］.Journal of Vibration and Shock，2013，32(5):20－25.

［4］刘伟，高维成，李惠，等.钢筋混凝土空间网格结构曲率模态曲面拟合损伤识别研究［J］.振动与冲击，2013，32(3):68－74.LIU Wei，GAO Wei-cheng，LI Hui，et al.Damage detection based on surface fitting of curvature mode for a reinforced concrete spatial lattice structure［J］.Journal of Vibration and Shock，2013，32(3):68－74.

［5］Salawu O S.Detection of structural damage through changes in frequencies:a review［J］.Engineering Structures，1997，19(9):718－723.

［6］Vestroni F，Capecchi D.Damage detection in beam structures based on frequency measurements ［J］. Journal of Engineering Mechanics，2000，126(7):761 －768.

［7］郭国会，易伟建.基于频率进行简支梁损伤评估的数值研究［J］.重庆建筑大学学报，2001，23(2):17－21.GUO Guo-hui， YI Wei-jian. A numerical study on the damage assessment of a simply-supported beam on natural frequencies［J］.Journal of Chongqing Jianzhu University，2001，23(2):17－21.

［8］谢峻，韩大建.一种改进的基于频率测量的结构损伤识别方法［J］.工程力学，2004，21(1):17－25.XIE Jun，HAN Da-jian.An improved method for structural damage detection based on frequency measurement［J］.Engineering Mechanics，2004，21(1):17－25.

［9］Stubbs N，Kim J T，Farrar C R.Field verification of a nondestructive damage localization and sensitivity estimator algorithm［C］.Proceedings of the 13thInternational Modal Analysis Conference，1995:210－218.

［10］Cornwell P，Doebling S W，Farrar C R.Application of the strain energy damage detection method to plate-like structures［J］.Journal of Sound and Vibration，1999，224(2):359－374.

［11］Shi Z Y，Law S S，Zhang L M.Structuraldamage localization from modal strain energy change［J］.Journal of Sound and Vibration，1998，218(5):825－844.

［12］Kumar M，Shenoi R A，Cox S J.Experimental validation of modal strain energies based damage identification method for a composite sandwich beam ［J］.Composite Science and Technology，2009，69:1635－1643.

［13］刘晖，瞿伟廉，袁润章.基于应变能耗散率的结构损伤识别方法研究［J］.工程力学，2004，21(5):198－202.LIU Hui，QU Wei-lian，YUAN Run-zhang.A structural damage detection method based on modal strain energy dissipation ratio theory［J］.Engineering Mechanics，2004，21(5):198－202.

［14］Banks H T，Inman D J，Leo D J，et al.An experimentally validated damage detection theory in smart structures［J］.Journal of Sound and Vibration，1996，191(5):859－880.

［15］Luo H，Hanagud S.An integral equation for changes in the structural dynamics characteristics of damaged structures［J］.International Journal of Solids and Structures，1997，34(35－36):4557－4579.

［16］史治宇，罗绍湘，张令弥.结构破损定位的单元模态应变能变化率法［J］.振动工程学报，1998，11(9):356－360.SHI Zhi-yu，LAW S S，ZHANG Ling-mi.Determination of structural damage location based on element modal strain energy change［J］.Journal of Vibration Engineering，1998，11(9):356－360.

［17］Ge M，Liu E M.Structural damage identification using system dynamic properties［J］.Computers and Structures，2005，83:2185－2196.

［18］Santos J V A，Soares C M M，Soares C A M，et al.A damage identification numerical model based on the sensitivity of orthogonality conditions and least squares techniques［J］.Computers and Structures，2000，78:283－291.

［19］张纯，宋固全.去噪正则化模型修正方法在桥梁损伤识别中的应用［J］.振动工程学报，2012，25(1):97－102.ZHANG Chun，SONG Gu-quan.Bridge damage identification by finite element model updating with Tikhonov regularization and wavelet denoising［J］.Journal of Vibration Engineering，2012，25(1):97－102.

［20］张效忠，姚文娟.基于敏感模态单元应变能法结构损伤识别［J］.中南大学学报(自然科学版)，2013，44(7):3014－3023.ZHANG Xiao-zhong， YAO Wen-juan. Structural damage identification using element strain energy method based on sensitive modals［J］.Journal of Central South University(Science and Technology)，2013，44(7):3014－3023.

［21］郭惠勇，李正良.基于应变能等效指标的结构损伤识别技术研究［J］.固体力学学报，2013，34(3):286－291.GUO Hui-yong， LI Zheng-liang. Structural damage identification method based on strain energy equivalence parameter［J］.Chinese Journal of Solid Mechanics，2013，34(3):286－291.