刘 浩，李晓东，杨文岐，孙侠生

(西北工业大学 航空学院，西安 710072)

高超声速飞行器的飞行速度高，其马赫数一般大于5，有时甚至可达8～9或更高，因而这种飞行器在飞行过程中会遭受强烈的气动加热作用，在机体和翼面结构上产生以高温和大温度梯度为特征的瞬态热环境。这种热环境会通过改变结构的刚度和刚度分布来改变结构的动力学特性［1］，与此同时飞行器飞行中常常存在激烈的结构振动现象，这种力热耦合作用的力学环境会对飞行器机体结构和飞行安全产生显著地影响［2］。因此，研究瞬态热环境下的结构模态试验方法对高超声速飞行器的设计和安全飞行具有重要的意义。瞬态热环境下的结构动力学系统是一个典型的时变系统，其模态参数依赖于结构温度场的时变特性。因此，传统的建立在时不变系统基础上的模态试验方法不再适用，需要建立一种新的能够应用于时变结构系统的模态试验方法。

美国NASA兰利研究中心在20世纪50年代开展了大量关于热模态试验的研究［3－6］，取得了显著的成果，但是对试验件的加热温度比较低，且温度控制精度差，以均匀恒定温度分布为主，试验没能获得模态振型及模态阻尼随温度的变化。2010年NASA德莱顿研究中心对X－37的C/SiC舵面结构开展了热模态试验研究［7］，试验中使用的高温加速度传感器由于技术不成熟并未准确测得加速度信号，因而试验没有成功。北京航空航天大学进行了高速飞行器翼舵结构的热振动特性试验研究［8－9］，采用分别在延长杆端头安装普通加速度传感器和激振器将其与热场隔开的方法实施试验，成功将热模态的试验能力提高到了800℃ ～900℃，获得了宝贵的试验结果，但延长杆增加的附加质量和附加刚度或多或少都会影响试验结果。北京强度环境研究所进行了舵面结构的热模态试验技术研究［10－11］，采用振动台基础激励和激光测振仪测量振动响应，获得了一阶弯曲频率和扭转频率随加热时间和温度的变化规律，但试验是在均匀恒定温度场下进行的，并未研究瞬态热环境下结构的热模态特性。

前述的热模态试验均在纯随机激励作用下采集受热结构的时域振动响应信号，然后采用数学方法进行分析处理。模态参数辨识的数学方法主要包括基于信号处理技术的方法和时间序列分析方法两大类。基于信号处理技术的模态参数辨识方法的代表是希尔伯特－ 黄变换［12］、魏格纳－维尔变换［13］、小波变换［14］和短时傅里叶变换［15］等，前两种方法只能用于频率分析，而小波方法则可同时得到模态频率和阻尼，短时傅里叶变换虽能得到所有模态参数，但不能同时得到高的时间和频率分辨率，并且上述四种方法对于密集模态的识别精度均不能保证。时间序列分析方法主要有分段自回归模型方法［16］、时变自回归模型方法［17］、时变自回归滑动平均模型方法［18］等，这些方法均能得到模态频率和阻尼比，但这些方法均存在恰当的模型阶次不易确定和虚假模态判断比较困难的问题。

本文将瞬态热环境模拟试验系统和振动测试系统相结合，建立了一套翼面结构热模态地面试验系统，使用气动加热数值计算得到的结构瞬态温度场作为热环境模拟加温控制的依据，采用石英灯加热器在翼面结构两面同时施加受控的瞬态热环境，使用激振器对结构进行激励，使用激光测振仪测量结构振动位移。提出了模态频率自动跟踪方法，该方法是对传统相位共振方法的一种改进，通过将智能控制技术与比例积分微分(Proportion Integration Differentiation，PID)控制技术相结合以在线实时调整激振力频率使得试验结构在瞬态加热过程中始终处于相位共振状态。最后，将模态频率自动跟踪方法用于一个翼面结构的热模态试验，获得了结构模态频率与加热时间的关系，并与数值计算结果进行了对比，验证了用于热模态试验的模态频率自动跟踪方法的有效性和准确性。同时探究了瞬态热效应影响结构模态参数的内在机理，揭示了热效应影响结构模态参数的本质，为高超声速飞行器在瞬态热环境下的振动特性分析和安全可靠性设计提供了依据和验证手段。

1 模态频率自动跟踪方法

1.1 模态频率自动跟踪方法的基本原理

模态频率自动跟踪方法是一种改进的相位共振方法，基本原理是通过在传统相位共振方法中引入智能PID控制模块，将测量得到的激振力和结构位移响应的相位差与±90°的关系作为控制器的输入，将激振力的频率作为控制器的输出，并在加热过程中实时反馈至信号发生器产生新的激振力信号，以使试验结构始终保持在某阶模态的相位共振状态，记录每一时刻激振力的频率和结构振动形态即可得到该阶模态的频率和振型。对所需的每一阶结构模态重复频率自动跟踪的过程，即可得到结构所有主要模态频率和振型的时变特性。

模态频率自动跟踪方法假设时变结构的模态参数在一个短的时间区间内不变。在该假设下，时变结构在一个单频简谐激励信号作用下的振动响应仍是一个单频简谐信号，且当输入激振力的频率等于结构系统的某阶固有振动频率时，结构的振动位移响应与输入激振力的相位差为±90°。因此，在试验过程中只要保证测量得到的振动位移响应与输入激振力的相位差维持在±90°，即可使试验结构始终处于相位共振状态。

1.2 相位共振法

一个N自由度的结构动力学系统，其振动运动可由一个二阶常微分方程组来描述，表示如下

式中:M，C和K分别为结构系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，x为位移向量，f为激励力向量。

在采用相位共振方法的结构模态试验中，激振力向量f为一组同频率的简谐力向量，表示如下

其中:e为自然对数的底数，j为虚数单位，ω为激振力的圆频率，t为时间，F为激振力向量的幅值，为一实向量。由强迫振动理论可知，结构的稳态响应仍然为同频率的简谐振动，振动方程表示如下

其中:x为振动位移响应向量，X为x的幅值向量，为一实向量，φ为位移响应相对激振力的相位滞后角度。将上式(2)和式(3)代入式(1)可得一个复方程，其实部和虚部分别表示如下

如果输入激振力f的圆频率ω恰好为结构某一阶固有圆频率ωr时，根据结构固有模态的定义，有下式成立

其中:Xr为第r阶模态圆频率ωr对应的模态振型，将上式(6)代入式(5)可得

由于结构阻尼矩阵C，第r阶模态频率ωr和振型Xr均不可能为零，因此，有下式成立

将上式(8)代入式(4)可得

上式(6)、(8)和式(9)表明，当结构处于某阶固有频率下的相位共振状态时，其振动位移响应与激振力的相位差为±90°，激振力幅值向量与结构响应阻尼力幅值向量平衡，而结构振动位移响应的惯性力与弹性回复力平衡。因此，可通过观察激振力与振动位移响应之间的相位差来判断试验结构是否达到相位共振状态。当结构系统达到相位共振状态时，激振力的频率即为试验结构的某阶固有振动频率，振动位移响应的形态即为该阶固有振动频率所对应的固有振型。

在模态试验中，为提高结构动力学系统相位共振状态判断的可靠性，一般对试验结构施加仅包含实部的激振力，并将结构动力学系统所有测量点的振动响应信号归纳为一个实值目标函数，即模态指示函数(Mode Indictor Function，MIF)，表示如下

式(6)中Xi表示第i个测量点的振动响应，Re(Xi)表示振动响应Xi的实部，n为测量点个数。当模态指示函数的值接近于1时，即认为结构系统达到了某阶模态的相位共振状态，此时的激振力频率和结构振动形态即为结构的固有振动频率和振型。

1.3 智能PID控制方法

智能PID控制方法是一种将智能控制(Intelligent Control，IC)与PID控制相结合的控制方法，基本原理是利用智能控制技术将人工智能以非线性控制方式应用到PID控制器中，使被控系统在任意运行状态下都能得到比单独使用PID控制技术更好的控制效果。智能PID控制的基本流程是首先判断控制器输入量的变化趋势，然后根据相关算法确定参数并输入PID控制器，最后经PID控制算法计算得到智能PID控制的输出，如图1所示。其中PID控制器的控制算法可根据控制偏差的比例、积分和微分项的线性组合来表示，如下所示

其中:u(t)为控制器的输出(被控对象的输入)，e(t)为控制误差(智能PID控制器的输入参数)，Kp为比例项系数，Ti为积分项系数，Td为微分项系数。

图1 智能PID控制原理与流程示意图Fig.1 Schematic of Intelligent PID controller

在普通PID控制器中控制参数是固定不变的，而智能PID控制器则可根据控制误差实时调整控制器的控制参数。设e(k)为当前采样时刻离散化的系统误差采样值，e(k1)和e(k2)分别为前一步和前两步采样时刻的系统误差，分别定义前一步和前两步采样时刻的误差变化率，记为Δe(k)和Δe(k1)，表示如下

设 emax、emid和 emin为误差界限，其中 emax＞ emid＞emin，设umax为控制器输出的最大值，umin为控制器输出的最小值，u(k)为控制器第k次的输出值，u(k1)为控制器第k1次的输出值。

当|e(k)|＞emax时，系统误差的绝对值很大，此时不论误差的变化趋势如何，都应考虑控制器按最大(或最小)输出，以便迅速调整误差。即

当e(k)·Δe(k)＞0时，系统误差在朝绝对值增大的方向变化。如果emax＞e(k)＞emid，则系统误差仍然较大，此时应采取的控制策略为实施较强的控制作用，以便使系统误差的绝对值迅速减小，表示如下

其中:K1为大于1的常数。如果emid＞e(k)＞emin，则系统误差并不是很大，此时控制器的控制策略应为实施一般控制作用，表示如下

当e(k)·Δe(k)＜0时，系统误差在朝绝对值减小的方向变化。如果emax＞e(k)＞emid，则系统误差仍然较大，此时控制器控制策略应为实施一般控制作用，表示如下

如果emid＞e(k)＞emin，则系统误差并不是很大，此时控制器的控制策略应为实施较弱的控制作用，表示如下

其中:K2为小于1的常数。

当|e(k)|＜emin时，系统误差的绝对值很小，此时控制器的控制策略应保持输出不变，表示如下

与普通PID控制算法相比，智能PID控制算法具有以下优点:

(1)智能PID控制算法中的控制参数可以在线实时自动调整，对系统固有参数的变化具有较好地适应性，适用于时变参数的动态控制问题;

(2)智能PID控制参数能保证全局最优，可以较好的解决控制的动态品质和精度二者间的矛盾;

(3)智能PID控制参数的确定不需要系统精确的数学模型，适用于不易得到精确数学模型的动态系统控制。

由于瞬态热环境下的结构动力学系统是一个时变参数系统，且激振力相位与结构振动位移响应相位之间的数学关系和数学模型不易确定，因此，采用智能PID控制方法对该系统进行控制是必然的和合适的。

1.4 模态频率自动跟踪方法试验流程

综上所述，可将基于模态频率自动跟踪方法的时变结构系统热模态试验分为预试验和正式试验两个阶段，基本流程如下:① 采用正弦扫频信号对常温结构进行激励，获取常温状态下结构各阶模态频率和振型;② 选取某一阶常温模态频率作为该阶模态频率自动跟踪的初始值激励试验结构使其达到相位共振状态;③ 启动瞬态热环境模拟系统，同时合理设置智能PID控制器的初始控制参数，并在加温过程中实时调整以使试验结构始终维持在相位共振状态，在加温全程记录激振力频率和结构振动形态;④ 结束加温过程，重新选取另一阶常温模态频率，重复上述试验流程，直至得到所需的所有模态。

上述试验流程中①为预试验阶段，其余三步为正式试验阶段，从模态频率自动跟踪方法的试验流程中可以看出，该方法每次加热过程中只能获得某一阶模态参数随加热时间的变化，因此，要获得多阶模态参数就需要重复加热过程多次量测。图2给出了基于模态频率自动跟踪方法的热模态试验流程。

图2 基于频率自动跟踪方法的热模态试验流程图Fig.2 Schematic of modal frequency auto－tracing method

2 试验件与试验装置

结构热模态地面试验系统是由试验件、瞬态热环境模拟系统和地面振动测试(Ground Vibration Test，GVT)系统三部分组成的一个有机整体，瞬态热环境模拟系统在试验中主要模拟飞行器结构承受的瞬态热载荷，振动测试系统主要记录激励结构的激振力信号和测量受热结构的振动响应信号，并实现模态频率自动跟踪。结构热模态试验系统的组成原理如图3所示。

2.1 试验件及安装方法

切尖三角形翼面结构是高速飞行器常用的一种翼面结构形式，本文选择了一个切尖三角形薄板翼面结构作为热模态试验件，该翼面结构的根弦长1800mm，稍弦长150mm，半展长1200mm，前缘后掠角31°，厚度9mm，如图4所示，试验件材料为TA15钛合金。

图3 热模态试验系统组成Fig.3 Schematic of thermal modal test system

本试验中试验件垂直安装，由于实际中翼面结构是与质量较大的机身固连在一起的，因而试验中结构的力学边界条件用根部固支来模拟，通过将试验件和试验夹具安装在钢梁底座并与承力地轨固定来实现，试验件及试验夹具件如图5所示，夹具材料为不锈钢，通过计算和试验验证，夹具及底座的支持频率均满足固支边界条件的要求。

图4 试验件平面模型Fig.4 Two-dimensional model of test structure

图5 试验件安装照片Fig.5 Installation of test structure

2.2 瞬态热环境模拟系统

试验件工作状态下的瞬态温度场由瞬态热环境模拟系统根据气动加热的计算结果来模拟，瞬态热环境模拟系统由石英灯管辐射加热器、温度传感器、加温控制仪、可控硅、控制计算机等组成，见图3右半部分。瞬态热环境模拟系统的基本原理是通过石英灯管对试验件进行辐射加热，采用温度传感器测量温度控制点的温度值并与试验控制值进行对比获取偏差，然后根据温度偏差由加温控制仪驱动可控硅元件修正输入到加热器的瞬时功率，形成对试验件温度的闭环控制，从而精确实现试验件的瞬态热环境模拟。

由于在高温环境下金属结构表面灰度会呈现非均匀状态，为了使试验件表面热量吸收及反射特性更为一致，将试验件表面涂成了黑色，同时在激光测振仪反射点局部涂刷白色反光涂料以利于激光反射，如图5所示。在试验件左右两面100mm处分别安装石英灯管红外加热阵列，如图6所示，其中白色石棉布的作用是对试验的热环境进行屏蔽。

2.3 地面振动测试系统

图6 石英灯管红外加热阵列Fig.6 Quartz lamp heating system

地面振动测试系统由信号发生器、功率放大器、电磁激振器、激光测振仪、数据采集器、控制计算机等组成，见图3左半部分。试验中激振器安装于翼面结构的翼梢部位，由于试验件温度最高可达500℃以上，本试验设计了专用连杆并通水冷却，其目的是将激振器与试验件隔离，防止激振器和力传感器温度过高，连杆穿过石棉布与激振器及试验件用螺栓连接。试验中采用激光测振仪测量结构振动位移响应，激光测振仪是一种非接触式测量设备，不会产生附加质量和刚度，也不受高温环境的限制，应用于热模态试验十分方便。激光测振仪的基本原理是，通过测量入射激光与反射激光的频率差，根据激光多普勒效应来计算被测结构振动速度，其表达式如下

其中:Δf为入射激光与反射激光的频率差，称为入射激光的多普勒频移，λ为入射激光的波长，V为被测结构的振动速度。由上式可知，当测得入射激光与反射激光的频率差时，即可计算出振动速度，然后通过一次积分即可得到振动位移。试验时通过在石棉布上打孔使激光测振仪发出的激光束穿过加热器照射到试验件表面即可对振动位移响应进行测量。

3 试验结果与分析

建立了2.1中试验件气动加热和结构温度场求解的有限元模型，共划分为6628个六结点楔形单元和2个四结点四面体单元，5184个结点。在选定的典型飞行弹道上采用气动加热/结构传热一体化计算技术求解气动加热和对应的结构瞬时温度场，图7分别给出了不同时刻结构温度分布云图。

图7 不同时刻结构温度分布云图Fig.7 Temperature distribution of test structure

根据图7所示的气动加热计算得到的结构温度场和试验加热模拟装置的实际情况，在热模态试验中将试验件表面划分为六个加热温区，双面同时加热，每一面三个加热温区，翼面温区划分如图8所示。加热时间为180 s，加热结束后保温20 s，加热前先将试验件预热至50℃后正式开始加热过程，加热时1#和4#温区的温升速率为2.5℃/s，2#和5#温区的温升速率为1.2℃ /s，3#和6#温区的温升速率为0.6℃/s，试验过程中沿弦向各个温区的最高温度分别为500℃、266℃和158℃。

图8 加热温区划分示意图Fig.8 Distribution of heating area

表1 1#温区控制温度与实际温度Tab.1 Control value vs.Measure value of temperature in 1#heating area

图9分别给出了试验测得的六个温区的实际测量温度与加温控制温度的对比，可以看出加温过程中加温控制温度曲线与实际测量温度曲线吻合得很好，且在温度上升过程和转折过渡区域均具有良好的跟随性。表1记录了加热过程中1#温区加温控制温度值与实际测量温度值，并给出了加温控制的百分误差，可以看出加热过程温度跟踪的百分误差均在0.5%以内，这验证了本试验中热环境模拟系统能够获得与期望的热环境相一致的动态模拟试验结果。

图9 各温区控制温度与实际温度的对比Fig.9 Control value vs.Measure value in the six heating areas

根据1.4所述的模态频率自动跟踪试验流程进行翼面结构试验件的热模态试验，图10是热模态试验现场照片。表2记录了不同加热时刻一阶模态频率的数值计算值与试验值，并给出了百分误差。数值计算采用结构有限元方法在MSC.Nastran软件中进行，将试验中加热控制设备模拟的瞬态温度场加载到结构有限元模型上进行瞬态非线性模态分析，从表2中可以看出试验结果与数值计算结果具有良好的一致性，两者结果的百分误差最大值在5%以内，这证明了频率自动跟踪方法对热模态试验问题的有效性。

图10 热模态试验现场照片Fig.10 Photo of thermal modal test

图11给出了翼面结构前四阶瞬时频率随加热时间的变化关系，并与有限元数值计算结果进行了对比。从图11中可以看出，试验结果与数值计算计算结果吻合地很好，在加热时间的前180 s，翼面结构的温度和温度梯度都会相应增大，前四阶模态频率均呈现逐渐减小的趋势，频率最小值出现在180 s附近，而在保温的后20 s内，由于结构内部的传热效应，试验件温度梯度减小，前四阶模态频率均有回升的趋势，其中第四阶模态频率在150 s后出现试验值与计算值误差变大的原因可能是计算对结构内部应力模拟不准。前四阶模态频率的最小值与常温值相比分别下降了18.39%、28.56%、19.25%和21.3%，而相应的翼面三个加热温区在结构模态频率最小值点处结构材料的弹性模量与常温的值相比分别减小了21.54%、10.08%和5.2%，结构材料弹性模量的变化如图12所示，1#(4#)温区结构材料弹性模量的变化与模态频率的变化大致相当，而其他温区结构材料弹性模量的变化则比模态频率的变化小得多，可以推测除了弹性模量外，结构内部的热应力对结构热模态特性的影响应该也是显著的。

表2 一阶模态频率数值计算值与试验值Tab.2 Calculate value vs.experiment value of 1st order modal frequency

图12 结构材料弹性模量随温度变化Fig.12 Elastic module vs.temperature

图13 前四阶模态频率随结构温度的变化关系Fig.13 Modal frequency vs.temperature

为了进一步探究热应力对结构模态频率的影响，对均匀温度分布下翼面结构的热模态特性也进行了试验和数值计算。图13给出了翼面结构分别在常温(20℃)、100℃、200℃、300℃、400℃和500℃各个稳态温度状态下的模态频率数值计算值和试验值的对比。从图13中可以看出，数值计算值与试验值符合地比较好，随着温度的升高结构前四阶模态频率是单调下降的，并且变化趋势与图12中材料弹性模量的变化趋势一致。与常温值相比前四阶模态频率的分别下降了12.19%、13.27%、12.49%和 11.05%，结合图 11 前四阶模态频率的变化量可知，稳态热温度状态比瞬态加热过程中模态频率的变化要小得多。

通过对试验结果的分析可得，当加热时间到达180 s时即进入保温过程，此时结构温度表面温度梯度已基本不变，但值得注意的是由于热传导过程的存在结构内部温度梯度开始逐步减小，因此，结构内部热应力也在相应地逐步减小。同时，由于结构受热后主要产生膨胀变形，导致结构各部分之间相互挤压，因而其内部热应力主要应为压应力。综上可以推测，加热最后阶段结构模态频率上升的原因最可能是结构内部压应力的减小而导致结构局部弯曲刚度的增加，同时瞬态温度场下结构内部的压应力比均匀温度条件下大得多，即瞬态温度场下结构局部弯曲刚度比均匀温度条件下小得多，这也就解释了瞬态温度场下结构模态频率变化较大的内在机理。

4 结论

(1)提出的模态频率自动跟踪方法对瞬态热环境条件下结构的热模态试验是有效的，试验结果与数值计算结果吻合良好。模态频率自动跟踪方法是传统的相位共振方法的一种改进，具有物理意义明确、数据处理简单的特点，并且可在试验过程中同步得到结构模态频率和振型，适用于时变结构系统的模态特性试验;

(2)试验结果表明，瞬态热环境下结构模态频率的变化比均匀温度条件下要大得多，且瞬态温度场下结构模态频率的变化不是单调的。通过对试验与计算结果的分析可以推测，上述现象是由结构内部存在的不均匀热应力导致的。试验件面内温度梯度诱导的不均匀热膨胀产生的试验件面内热应力可能是压应力或拉应力，压应力会使结构局部弯曲刚度减小，拉应力会使结构局部弯曲刚度增大。本文试验中面内的热应力是以压应力为主，因此结构的模态频率会随加热过程的推进逐渐减小，而在最后的保温段内由于面内温度梯度减小导致压应力减小，从而使结构模态频率有所回升。另外，热环境下结构的各阶模态频率均会发生变化。

［1］Jack J M，Adam J C，Andrew R C.Aerothermoelastic modeling considerations for hypersonic vehicles［C］.16th AIAA/DLR/DGLR International Space Planes and Hypersonic Sys-tems and Technologies Conference， AIAA，2009:2009－7397.

［2］Nathan J F，Carlos E S.Cesnik A R C，et al.Reduced order aerothermoelastic framework for hypersonic vehicle control simulation［C］.AIAA Atmospheric Flight Mechanics Conference，AIAA，2010:2010 －7928.

［3］Vosteen L F，Fuller K E.Behavier of a cantilever plate under rapid heating conditions［R］.NACA RM L55E20，1955.

［4］Richard A，Pride L，Ross L.Some effects of rapid heating on box beam［C］.NACA Conference on Aircraft Loads，Flutter and Structures，1955:489 －495.

［5］Mcintyre K L.Vibration testing during high heat rates［R］.RTD-TDR－63－4197，part1，1963.

［6］Vosteen L F，McWithey R R，Thomson R G.Effect of transient heating on vibration frequencies of some simple wing structures［R］.NACA technical note 4054，1957.

［7］Spivey N D.High-temperature modal survey of a hot-structure control surface［C］.The 27th International Congress of the Aeronautical Sciences，Nice，France，2010.

［8］吴大方，赵寿根，潘兵，等.高速巡航导弹翼面结构热振联合试验研究［J］.航空学报，2012，33(9):1633－1642.WU Da-fang，ZHAO Shou-gen，PAN Bing，etal.Reserch on thermal-vibration joint test for wing structure of high-speed cruise missile［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2012，33(9):1633－1642.

［9］吴大方，赵寿根，潘兵等.高速飞行器中空翼结构高温热振动特性试验研究［J］.力学学报，2013，45(4):598－605.WU Da-fang，ZHAO Shou-gen，PAN Bing，et al.Experiment study on high temperature thermal-vibration characteristics for hollow wing structure of high-speed flight vehicles［J］.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2013，45(4):598－605.

［10］苏华昌，骞永博，李增文，等.舵面热模态试验技术研究［J］.强度与环境，2011，38(5):18－24.SU Hua-chang，QIAN Yong-bo，LI Zeng-wen，et al.The study of rudder thermo-modal test technique［J］.Structure ＆Environment Engineering，2011，38(5):18 －24.

［11］肖乃风，刘永清.热振联合试验控制技术研究［J］.强度与环境，2012，39(2):53 －57.XIAO Nai-feng，LIU Yong-qing.Research of control technology in thermal-vibration test［J］.Structure ＆ Environment Engineering，2012，39(2):53 －57.

［12］Shi Z Y，Law S S.Identification oflinear time-varying dynamical systems using hilbert transform and EMD method［J］.Journal of Application Mechanics，2007，74:223－230.

［13］续秀忠，华宏星，张志谊，等.应用时频表示进行结构时变模态频率辨识［J］.振动与冲击，2002，21(2):36－44.XU Xiu-zhong，HUA Hong-xing，ZHANG Zhi-yi，et al.Time-varying modal frequency identification by using time-frequency representation［J］.Journal of Vibration and Shock，2002，21(2):36－44.

［14］史治宇，沈林.基于小波方法的时变动力系统参数识别［J］.振动测试与诊断，2008，28(2):108－112.SHI Zhi-yu，SHEN Lin.Parameter identification of linear time-varying dynamical system based on wavelet method［J］.Journal of Vibration，Measurement ＆ Diognosis，2008，28(2):108－112.

［15］续秀忠，张志谊.基于时频滤波的时变模态分解方法［J］.噪声与振动控制，2005，25(5):15 －17.XU Xiu-zhong，ZHANG Zhi-yi.Decomposition of time-varying modal by time-frequency filter［J］.Noise and Vibration Control，2005，25(5):15 －17.

［16］于开平.时变结构动力学数值方法及其模态参数识别方法研究［D］.哈尔滨:哈尔滨工业大学，2000.

［17］续秀忠，张志谊，华宏星，等.应用时变参数建模方法辨识时变模态参数［J］.航空学报，2003，24:230－233.XU Xu-zhong，ZHANG Zhi-yi，HUA Hong-xing，et al.Identification of time-variant modal parameters by a time-varying parameter approach［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2003，24:230－233.

［18］Petsounis K A，Fassois S D.Non-stationary functional series TARMA vibration modeling and analysis in a planar manipulator［J］.Journal of Sound and Vibration，2000，231(5):1355－1376.