初等函数值域(最值)的导数求法

2015-05-10林顺来杨朝熙

福建教育学院学报 2015年2期

关键词：通法值域定义域

林顺来杨朝熙

(漳州市第三中学，福建漳州 363000)

初等函数值域(最值)的导数求法

林顺来杨朝熙

(漳州市第三中学，福建漳州 363000)

函数值域、最值问题历来是教学中的重、难点。由于没有通性通法，学生往往难于找到有效的解决方法。文章从可导函数的单调性出发，运用函数极值、极限等知识获得值域、最值的导数求法，从而得到一种通法。

值域；最值；求导；极值；极限

我们知道对于给定函数解析式y=f(x)的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定，确定的方法是针对函数的类型选取相应的方法：(1)若为特殊的基本初等函数(正比例函数反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数与对数函数、三角函数与反三角函数、幂函数等)，这类函数的值域问题利用它们定义域上的单调性求解。(2)若为复合函数，可以利用其定义域上的单调性(判定方法是：通过复合前基本初等函数的单调性并循“同增异减”的法则)来获得值域。(3)其他的基本初等函数的值域，通常的处理方法是：对解析式的特征选取特定的方法加以解决(常见的方法有：二次函数型的配方法、反函数法、判别式法、数形结合法、不等式法、函数的有界性法等[1])。由于没了共性通法，教学中学生往往感到困难。能否找到这类问题的通性通法？笔者在教学中发现，处理问题的关键在于搞清此类函数在其定义域内的单调性，若知道它的单调性情况便可求其值域。随着教材中《导数》的学习，使得“可导函数”的单调性判断成为可能。同时在《普通高中课程标准实验教科书·数学》(文科选修1-1、理科选修2-2“导数及其应用”)专门辟出一节讨论可导函数的最大值与最小值：

一、闭区间上函数的最值

设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:

(1)f(x)在(a,b)内的极值；

(2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。

二、单峰函数的最值

可导函数在其定义域(区间)内只有一个点使f′(x)=0,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较；也可以知道这就是最大(小)值。这里所说的定义域(区间)也适用于开区间或无穷区间。

上述两点的指导意义:提供了可导函数y=f(x),x∈D最值的导数求法，利用这种方法同样可以求函数的值域:

若函数y=f(x)是定义在闭区间[a,b]上连续,开区间(a,b)上可导。那么函数y=f(x)的值域即为最大值与最小值。(1)f′(x)=0令解出方程在定义区间上的根；(2)比较f(x)在方程f′(x)=0的根处的函数值与端点处的函数值,就能得出最大最小值。

得可疑点x=-1,x=1(不合题意舍去)

通过比较,可见函数f(x)=x4-1nx4有最大值e4-4,最小值1.

求可导函数在闭区间上的最值的过程中,当得出可疑点,无须再检验它是否为极值点,而直接将可疑点与端点处的函数值进行比较,这是与求可导函数的极值不同的地方[2]。

计算函数在可疑点与端点处的值为：

又∵当x∈(-∞，0)时，y′>0

对于无理函数的值域问题,传统解题思路要么通过平方去掉根号,再根据二次函数的一些性质求值域;或者通过换元,令其中一项等于t,将原函数转化为关于t的函数求解。这两种方法在实际操作中没那么容易，学生遇到这类问题心理上会产生畏惧感，若用可导函数在闭区间上的最值求法，就会显得自然。例3解法利用单峰函数的函数性质获得值域，解决了导数在求闭区间上可导函数值域的一般性方法。

得可疑点x=-1,x=1；当x∈(-∞,-1)时，y′<0；

当x∈(-1，)时，y′>0；

当x∈(1,+∞)时,y′<0。

当x→+∞时，y充分接近0.

注：本题的导数法以及函数极限在求值域中的运用。至此,可导函数在其定义域上的值域均可用上面的方法获得。

通过上面的分析，对一般的初等函数，求函数的最大(小)值基本的方法是通过函数的单调性来判定，它的最值必在下列各点中取得：导数为零的点、导数不存在的点、端点。关键在于对不可导的连续点，开区间或无穷区间内最大(小)值的分析，借助导数知识使得初等函数的最值问题获得全新的思路和方向。

解：∵f(x)是R上的奇函数，且在[0，+∞)上是增函数，∴f(x)是R上的增函数.于是不等式可转化为f(cos2θ-3)>f(2mcosθ-4m),即cos2θ-3>2mcosθ-4m,即cos2θ-mcosθ+2m-2>0.

数学高考中经常涉及方程或不等式中参数的取值范围的考查。在解与不等式或方程有关的问题时,此类问题常常运用分离参数法转化为函数的值域或最值获得解决。我们往往由于忽略变换的等价性而产生错误的解答,如果能恰当地利用导数解法，利用函数单调性,则会避免这种错误.下面的两道高考题笔者给出异于参考答案的导数解法，从中体会导数在解决最值问题的极大优势：

(Ⅰ)求f(x)的单调区间和值域；

(Ⅱ)设α≥1，函数g(x)=x2-3α2x-2α，x∈[0,1],若对于任意x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得g(x0)=f(x1)成立，求x∈[0,1]的取值范围.

通过比较可知：当x∈[0,1]时，f(x)的值域为[-4,-3].

(Ⅱ)对函数g(x)求导，得g′(x)=3(x2-α2)

因此α≥1，当x∈[0,1]时，g′(x)<3(1-α2)≤0

因此当x∈[0,1]时，g(x)为减函数，从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1),g(0)]

又g(1)=1-2α-3α2，g(0)=-2α，即当x∈[0,1]时有g(x)∈[1-2α-3α2,-2α]

任给x1∈[0,1]，f(x1)∈[-4,-3]，存在x0∈[0,1]使得g(x0)=f(x1)，则[1-2α-3α2,-2α]⊃[-4,-3]