胡小兵 罗 惠

(宁波市房屋建筑设计研究院有限公司，浙江 宁波 315040)

最小势能法与极限平衡法的对比分析

胡小兵 罗 惠

(宁波市房屋建筑设计研究院有限公司，浙江 宁波 315040)

针对圆弧滑裂面最小势能法与传统的极限平衡法进行了对比，对比表明：在求解滑裂面上的法向应力方法不一样，但求得的安全系数基本一致，并通过算例进行了验证，指出最小势能法整个求解过程无需划分条块，计算过程方便简洁，是一种比较合理和可行的计算方法。

稳定性分析，最小势能，极限平衡法

0 引言

边坡稳定性分析一直是岩土工程的一个重要研究课题，也是岩土工程领域的一个热点问题。目前边坡稳定性分析方法主要有：极限平衡法、塑性极限分析法、有限元强度折减法、矢量和法、最小势能法等[1-6]，其中极限平衡法是边坡稳定性分析的传统方法，在实际边坡工程中被广泛应用。该方法的特点是考虑土体的静力平衡以及摩尔库仑准则，通过力或力矩在极限状态下的平衡进行安全系数的求解，由于该方法概念明确，且在计算方法上形成了大量的计算经验和计算模型，因而成为目前边坡稳定性分析的主要分析方法。最小势能法是由Mauldon和Ureta[7]针对一种特殊形状的岩质棱柱体，基于最小势能原理，提出的一种边坡稳定性分析的新方法，该方法通过分析边坡整体势能的变化进行求解，安全系数可以直接求出，整个过程不需要划分条块，不需要迭代，计算过程简便。

本文针对圆弧滑裂面将最小势能法与极限平衡法进行对比分析，通过对两者的求解过程对比分析，有助于了解最小势能法求解安全系数的简便性，最后本文也编辑了一个最小势能法的界面计算程序，便于利用最小势能法进行安全系数的计算。

1 分析方法对比

Bishop法是极限平衡法中计算模型较为成熟的一种分析方法，在边坡实际工程中被广泛应用，该方法是1952年由毕肖普针对圆弧滑动面提出的，其基本计算过程如下。

如图1所示边坡，设可能的滑动面是一圆弧AC，其圆心为O,半径为R,将滑动土体ABC分成若干竖向土条，取其中的任意一条(第i条)分析其受力情况。如图1b)所示，作用在土条上的力有：土条的自重Wi，滑动面上的法向反力Ni及剪应力Ti，还有土条两侧的法向力Ei，Ei+1及竖向剪切力xi，xi+1。土条在这些力的作用下处于平衡状态，则由y方向力的平衡得：

Wi+ΔXi-Tisinαi-Nicosαi=0

(1)

其中，ΔXi为作用在土条两侧的剪应力差；αi为条块i的法向力与y轴的夹角。

由于土体在尚未破坏时，土条滑动面上的抗剪强度只发挥了其中的一部分，此时，将滑裂面上的抗剪强度指标按同一比例降低为c/FS以及tanφ/FS，进而使得滑动面上的抗剪强度全部发挥，并且沿着此滑裂面处达到极限平衡状态，即有：

(2)

其中，ci,φi分别为土条i的粘聚力和内摩擦角。

把式(2)代入式(1)中可得：

(3)

通过对整个滑裂面取圆心O的力矩平衡，此时作用在土条两侧的法向力的力矩将相互抵消，而各土条滑裂面上的法向应力均通过圆心，则:

(4)

由式(3)，式(4)得：

(5)

式(5)就是Bishop法求解边坡安全系数的普遍公式，Bishop证明，若忽略土条两侧的剪切力，所产生的误差仅为1%。

最小势能法是一种从能量的角度分析边坡稳定性的新型分析方法，该方法求解安全系数的基本思路如下。

(6)

则整个边坡系统势能为：

(7)

其中，积分域L代表整个圆弧AD。

(8)

把式(7)代入式(8)得：

(9)

Ni=m(n1d1+n2d2)dl

(10)

由摩尔库仑准则可得每一微段dl的极限剪应力Ti为：

Ti=cidl+Nitanφi

(11)

其中，ci，φi分别为土体的粘聚力和内摩擦角。

则当边坡处于极限平衡状态时，整个滑裂面的极限剪应力为：

(12)

此时，定义安全系数FS为滑裂面上的极限剪应力与实际剪应力的比值，通过对圆心O取力矩平衡得：

(13)

其中，l1为合外力的水平分力R1到圆心O的力臂；l2为合外力的竖向分力R2到圆心O的力臂。

当作用的合外力只有重力W时，式(13)变为：

(14)

其中，l为重力到圆心的力臂。

分析综述：通过上面极限平衡法安全系数的求解式(5)以及最小势能法安全系数的求解式(14)可以看出,两者的分母都是整个滑体的重力对圆心O的力矩，而分子都是整个滑裂面的极限剪应力对圆心O的力矩，进而可以看出两者求解安全系数的区别在于求解滑裂面上的法向力方法不一样，极限平衡法是通过划分条块，由力的平衡求得，且法向力包含未知数需要不断迭代，而最小势能法无需划分条块，通过势能原理求得滑体的虚位移，利用力与位移的关系求得法向力，整个过程无需迭代，计算简便。

2 界面程序

通过上面理论公式的推导过程可以看出，在求解安全系数的过程中需要大量的计算，因此为了方便采用最小势能法计算以及将其很好的应用于实践，本文通过MATLAB将上述公式进行编辑，将编辑后的程序嵌入到界面计算模块，进而形成一个简便的界面计算程序。如图3所示，在进行使用时用户只要在“输入”列中输入相应的参数，点击计算，就能在安全系数输出框里输出相应的安全系数，整个过程简洁、方便，便于用户的使用。

3 算例

通过下面一个算例将最小势能法与极限平衡法的计算结果进行对比分析，该算例被很多学者拿来验证计算方法的合理性。

如图4所示，该边坡滑裂面为一椭圆滑裂面，椭圆滑裂面的圆心坐标Y(6.1,21.3)，边坡坡率0.5，坡高h=12.2 m，土体的物理参数为：容重r=19.2 kN/m3、粘聚力c=29.3 kN/m3、内摩擦角φ=20°，椭圆的长轴a=24.4 m、短轴b=24.4 m，极限平衡法与最小势能法的计算结果见表1。

表1 不同方法的计算结果[8]

最小势能法简化Bishop法简化Janbu法Spencer法2.1302.1261.9602.117

从表1中可以看出，最小势能法与极限平衡法的计算结果非常接近，且与简化Bishop法最接近，这也验证了上面的理论分析，同时也表明最小势能法是合理且可行的。

4 结语

最小势能法是一种基于势能原理求解安全系数的新型边坡稳定性分析方法，相对于极限平衡法，在求解滑裂面上的法向应力时不用划分条块，整个求解过程也无需迭代，计算过程简单，通过算例对比表明：最小势能法与极限平衡法的计算结果非常接近，是一种比较可行和合理的计算方法，本文开发了一个最小势能界面计算程序，便于用户使用最小势能法进行边坡稳定性分析。

[1] 陈昌富,朱剑锋.基于 Morgenstern-Price法边坡三维稳定性分析[J].岩石力学与工程学报,2010,29(7):1473-1480.

[2] 袁 恒,罗先启,张振华.边坡稳定分析三维极限平衡条柱间力的讨论[J].岩土力学,2011,32(8):2453-2458.

[3] 赵尚毅，郑颖人，时卫民，等.用有限元强度折减法求边坡稳定安全系数[J].岩土工程学报，2002，24(3):343-346.

[4] 刘艳章,葛修润,李春光,等.基于矢量法安全系数的边坡与坝基稳定性分析[J].岩石力学与工程学报,2007,26(10):2130-2140.

[5] 罗先启,袁 恒.求解边坡矢量和安全系数的三维条分法[J].岩石力学与工程学报,2011,30(S1):2865-2870.

[6] 李小强,白世伟,李 铀.最小势能方法在二维边坡稳定分析中的应用[J].岩土力学，2004，2(6):909-912.

[7] Mauldon M,Ureta J.Stability of rock wedges with multiple sliding surface[J].Candian Geotechnital Journal,1999,14(1):51-66.

[8] 张常亮.边坡稳定性三维极限平衡法研究[D].西安：长安大学，2008.

Comparative analysis of minimum potential energy method with limit equilibrium method

Hu Xiaobing Luo Hui

(NingboHousingDesign&ResearchInstituteCo.,Ltd,Ningbo315040,China)

The paper compares minimum potential energy method with limit equilibrium method at arc slide face, proves by the comparison that it differs with the method to solve the slide face, indicates it shares some similarity in solving the safety coefficient by the calculation cases, and points out the minimum potential energy method needn’t item compartmentalization in the whole solution process, so it has simple calculation process as a reasonable and feasible calculation method.

stability analysis, minimum energy, limit equilibrium method

1009-6825(2015)32-0072-03

2015-09-05

胡小兵(1979- )，男，高级工程师，一级注册结构工程师； 罗 惠(1989- )，男，助理工程师

TU311

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