刘悦，盛虎

(大连交通大学 电气信息学院，辽宁 大连 116028)



独立分量分析在含有多种噪声的图像去噪中的应用

刘悦，盛虎

(大连交通大学 电气信息学院，辽宁 大连 116028)

提出一种基于负熵的分数低阶独立分量分析(ICA)算法，为使算法更好的适用于实际环境，结合当下较为新颖的Volterra滤波方法——VLMS算法，该算法对高斯噪声有良好的去除效果.仿真结果表明，算法对于含有两种噪声的混合图像具有良好的分离特性及实际意义.

脉冲噪声；分数低阶；ICA；VLMS；图像去噪

0 引言

在传统图像去噪的文献中，一直以高斯模型为主导地位，在很多情况下，高斯模型不但是合理的而且符合中心极限定理，这使得图像处理分析起来更加容易，并且容易得到图像处理问题的解析解.高斯分布函数值仅仅需要知道均值和方差两个统计量，所以，高斯模型的各种图像处理方法得到充分的发展.但是在实际生活中，并不是所有信号都是符合高斯分布的，有些信号具有某种冲击特性和厚重的拖尾，如水下声纳采集信号、大气的放电现象、音频信号、海洋动物、雷达和卫星通信中的接受噪声、远程电话的转换以及一些金融时间序列等等，这些信号会表现出非常强的冲击性和厚重的拖尾特性，它们的瞬间值会远远超出其均值.在传统的图像处理中，通常使用高斯模型，但在这种情况下，如果继续使用高斯模型作为噪声模型，那么传统去噪方法的性能会严重退化，甚至停止工作.人们开始尝试运用不同的随机过程模型来模拟这些来自真实的噪声分布情况，最终发现α稳定分布[1]是一种非常优秀的真实噪声的数学模型.

独立分量分析(independentcomponentanalysis,ICA)是一种全新的信号处理和数据分析方法，它是在盲源分离的研究过程中出现的，这种方法是基于信号的高阶统计量.它在没有源信号和传输通道参数先验知识的情况下，以统计独立为原则，通过选择目标函数和优化算法将信号分解成若干个独立源.当图像中同时含有高斯噪声与alpha稳定分布噪声时，现存的许多基于二阶统计量的去噪方法会发生性能退化，甚至不能有效的工作.本文基于目前应用最多的FastICA算法，使用分数低阶相关矩阵对图像进行白化处理，从而使基于高阶统计量的ICA算法适用于alpha稳定分布噪声的去除.在去除混合噪声中的脉冲噪声后，使用VLMS算法处理高斯噪声.

1 定义

独立分量分析[2-3]可以描述如下：设s(t)=[s1(t),s2(t),…,sN(t)]T是产生观测信号的N个相互统计独立的源信号，x(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T是M个观测信号，且观测信号x(t)是源信号s(t)经过线性混合而产生的，如式(1)：

(1)

可写成：

(2)

混合分离模型如图1所示.

图1 混合分离模型

由图1可见，独立分量分析是在没有先验知识的情况下，也就是在源信号s(t)和混合矩阵A未知时，只利用观测信号x(t)和源信号s(t)是统计独立这一假设，尽可能的分离出源信号s(t).独立分量分析的实质就是在分离结果相互独立的前提下，找到一个线性变换分离矩阵W，使输出信号u(t)尽可能的逼近源信号s(t).输出信号u(t)是对源信号s(t)的一个估计：

u(t)=Wx(t)=WAs(t)

(3)

2 含噪图像

设含噪图像同时含有高斯噪声和Alpha稳定分布脉冲噪声，模型如下所示：

x(t)=s(t)+n1(t)+n2(t)

(4)

其中:s(t)为源图像;n1(t)为高斯噪声;n2(t)为Alpha稳定分布脉冲噪声.

Alpha稳定分布[4]是一种广义的高斯分布，它是一类具有广泛代表性的随机分布模型.Alpha稳定分布没有统一的封闭的概率密度(ProbabilityDensityFunction，PDF)表达式，但是它有统一的特征函数表达式[5]，如下：

φ(t)=exp[iδt-|γt|αBt,α]

(5)

其中，

(6)

式中：0<α≤2,-1<β≤1，-∞<δ<∞,γ>0.Alpha稳定分布分别由α、β、δ、γ四个参数决定[6].其中，α是特征指数，决定该分部的脉冲程度，α越小，脉冲特性越强且拖尾越长，其偏离中心位置的随机变量概率越大，当α=2时，Alpha稳定分布对应于高斯分布.β是对称参数，决定分布的倾斜程度，当β=0时，稳定分布为对称分布，记SαS.当β=0，α=1时，稳定分布为柯西分布.δ是位置参数，对应稳定分布的中值和均值.γ是尺度参数，相当于高斯分布的方差.

本文算法是在欠定条件下进行的独立分量分析，因此，混合矩阵A的维数为 2×3，这样经过混合得到的观测图像为2幅，这2幅图像都含有源图信息、高斯噪声和Alpha稳定分布脉冲噪声.

3 本文算法

本文算法的基本流程为，源图像、高斯噪声图像和Alpha稳定分布脉冲噪声图像经过混合矩阵A(2×3)后，得到两幅分别同时含有高斯噪声和Alpha稳定分布噪声的图像.首先，对其进行预处理——分数低阶预白化.其次，运用经典的FastICA算法，在欠定的条件下，对其进行独立分量分析，得到两幅图像，第一幅为Alpha稳定分布脉冲噪声图像，第二幅为含有少量高斯噪声的源图像.最后，运用当下较为新颖的VLMS算法对含有高斯噪声的源图像进一步去噪.

3.1 改进FastICA算法

根据概率论中的中心极限定理[7]，多个独立分布的和要比其中任何一个独立分布更加趋向于高斯分布，该原理可以应用到独立分量分析问题上，因为观测信号x是由源信号经过线性加权得到，因此，观测信号x更加接近高斯分布，由此可认为非高斯性越强，独立性越高.在分离过程中，可以通过对分离结果非高斯性的度量来判断分离结果间的相互独立性，当分离结果的非高斯性达到最大，表明各个独立分量的分离已经完成.基于负熵[8]的FastICA算法便是根据这一原理实现的.

在进行ICA处理之前，首先进行预处理，预处理包含去均值及白化处理，白化处理运用PCA方法.主分量分析(PrincipalComponentAnalysis,PCA)是基于信号的二阶统计量(如协方差)的经典方法，它只考虑信号的二阶统计特性，分解出来的各个分量之间是相互正交的.在独立分量分析的预处理阶段，PCA的目的是求出观测信号x的分数相关矩阵，但对于Alpha稳定分布随机变量来说，它并不存在协方差和协方差矩阵等二阶统计量，许多传统的算法在Alpha稳定分布上失效.为此，本文针对Alpha稳定分布在原有算法的基础上予以改进，提出一种基于分数低阶理论[9]的独立分量分析算法.在预处理阶段，对观测信号x进行分数低阶预白化处理，即求出x的分数低阶相关矩阵[10].

分数低阶相关矩阵的定义式：

0

(7)

(8)

3.2 VLMS算法

VLMS[11]算法是基于LMS的Volterra图像滤波算法，它是针对高斯噪声提出的.对混合后得到的两个混合图像进行分数低阶ICA分离，分离出两幅图像[12].

对于Alpha稳定分布来说，α的值越小，其非高斯性越强，与高斯噪声相比，Alpha稳定分布噪声的非高斯性最强，这样在分离过程中，会首先将Alpha稳定分布噪声提取出来，因此，第一幅图像为Alpha稳定分布噪声图像，第二幅图像为带有高斯噪声的源图像.这样，对第二幅图像直接进行VMLS处理，即可得到去噪后的图像.

3.3 步骤

(1)对于观测数据x进行中心化,使它的均值为0;

(2)然后对数据进行分数低阶预白化处理;

(3)选择要估计的独立分量的个数m,置迭代次数p=1;

(4)选择具有单位范数的初始权矢量(可随机的)wp;

(7)标准化Wp=Wp/‖Wp‖;

(8)如果Wp不收敛的话，返回第五步;

(9)令p=p+1，如果p≤m，返回第四步;

(10)得到分离矩阵Wp;

(11)对含噪图像进行分离S=Wpx，得到Alpha稳定分布噪声图像s1和含有高斯噪声的源图像s2;

(12)运用VLMS算法对s2进行图像去噪，得到去噪后的图像s.

4 仿真结果

实验取3幅256×256大小的图像.如图2所示，图2(a)为原图像，图2(b)为由高斯噪声生成的图像，图2(c)为由alpha脉冲噪声生成的图像，α=1.6.将它们按逐行的方式转化为相应的3 个一维信号，产生随机混合矩阵rand(2,3).一维信号与随机混合矩阵混合后得到混合图像图2(d)及图2(e).再对混合信号利用本文改进的FastICA算法在欠定的条件下进行独立分量分析.用改进的FastICA对混合图像进行盲分离，即假定在未知源图像和混合矩阵下对混合图像进行分离，图2(f)为分离出的脉冲噪声图像，图2(g)为分离出的原图像与高斯噪声的混合.

(a)原图

(b)高斯噪声

(c)alpha噪声

(d)混合图像1

(e)混合图像2

(f)分离图像1

(g)分离图像2

图2 改进FastICA分离出的图像

图3是本文算法与直接运用VLMS算法的比较仿真图.图3(a)为本文算法，即应用改进的Fast ICA算法去除脉冲噪声后，再运用VLMS算法去噪后的图像.图3(b)是直接VLMS算法对混合后的2个图像中的其中一幅图像进行去噪后的图像.可以看出，传统基于二阶统计量的去噪方法会发生性能退化，甚至失效，其不能将两种噪声同时去除.良好的噪声去除算法应保证在去除噪声时不对原图像产生较大的影响，本文算法不但去除了尖锐的脉冲噪声和高斯噪声，而且还很好地保护图像的细节，因此，更加适用于实际环境.

(a)本文算法去噪图像

(b)VLMS算法

图3 本文算法与直接运用VLMS算法比较

为了更好的说明本算法的去噪效果,采用峰值信噪比及平均绝对误差作为其检验指标.其中混合图像的峰值信噪比和平均绝对误差，只用两幅图像中的一幅图像做实例.如表1所示.

表1 本文算法去噪后的峰值信噪比和平均绝对误差

由表可得出，本文去噪方法与传统的去噪方法相比，能够更好的去除高斯噪声和脉冲噪声.传统去噪方法大多是基于高斯模型下提出的，因此，在含有脉冲噪声时明显失效.本文首先运用改进的Fast ICA算法分离出脉冲噪声，再运用VLMS算法去除高斯噪声.与传统去噪算法相比，去噪效果明显得到提高.

5 结论

Fast ICA是一种高效的计算方法，在未知源图像和混合矩阵下对混合图像进行分离，它使分离出来的噪声具有最大独立性，但该方法只考虑信号二阶统计特性，对含有alpha稳定分布脉冲噪声的情况失效.本文提出的改进算法是在传统的Fast ICA算法的基础上将其分数低阶化，使其能够去除脉冲噪声.本文首次将独立分量分析方法与Volterra滤波算法结合使用，从实验中可以看到本文算法对于人为加入两种模拟噪声的处理，得到了较好的效果，而且不需要知道原图像的先验信息.

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Independent Component Analysis of Image Denoising For Mixed Noise Removal

LIU Yue,SHENG Hu

(School of Electrical and Information Engineering,Dalian Jiaotong University,Dalian 116028,China)

A fractional lower order is proposed based on negative entropy of ICA method. In order to make the algorithm better suited to the actual conditions, the filtering method of VLMS is combined with good removal effect on gaussian noise. Theoretical analysis and computer simulation results show that the new method performs superior to traditional image denoising methods in removing mixed noice and practical significance.

random-valued impulse noise; fractional lower order; ICA; VLMS; image denoising

1673-9590(2015)03-0077-05

2014-11-03

国家自然科学基金资助项目(61201419)

刘悦(1990-)，女，硕士研究生；盛虎(1978-)，男，副教授，博士，主要从事非平稳信号处理E-mail:liuyue0303@126.com.

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