卵形齿轮的计算机辅助设计研究

2015-04-19冯东旭陶兴旺

机械制造 2015年12期

□ 史诺 □ 刘琼 □ 冯东旭 □ 陶兴旺

1.杨凌职业技术学院机电工程分院陕西杨凌 712100 2.杨凌职业技术学院信息工程分院陕西杨凌 712100 3.陕西科技大学食品与生物工程学院西安 710021

非圆齿轮机构是用来传递非匀速比运动的，将其应用于各类机械中，可以获得减轻冲击与振动、提高生产效率、减小工位误差等良好效果，但是非圆齿轮设计复杂、制造困难，直到近年来随着CAD/CAM技术的迅速发展，非圆齿轮才进入了实用化时期。在目前的技术条件下，进行精确建模是非圆齿轮制造中最关键的一步。陈兆荣[1]利用UG平台，以一实例阐述了卵形齿轮的三维模型创建过程；苑鹏[2]采用CAXA软件，实现了卵形齿轮的三维造型。这些研究都是针对特定数据进行的，当数据改变时，又得重复整个设计流程。为了实现变异设计与系列化设计，笔者选取卵形齿轮这一常见非圆齿轮为研究对象，利用Pro/E软件进行参数化建模，并将模型导入ADAMS软件中，进行啮合状态与运动状态的分析，对模型的正确性进行验证。

1 卵形齿轮的设计计算

卵形齿轮传动是一对完全相同的节曲线绕各自的中心作纯滚动，如图1所示。

卵形齿轮的节曲线方程为：

传动比函数为：

卵形齿轮节曲线周长为：

式中：e为偏心率；a为长轴半径；φ为转角。

轮齿在节曲线上均匀分布，故模数m、齿数z与节曲线周长必须满足关系式：

一般情况下，首先根据实际工况确定卵形齿轮的传动比曲线方程，根据方程可得到节曲线的偏心率e，为了使卵形齿轮不出现凹形，偏心率的取值范围为e≤1/3[3]。然后根据设计需求选取齿轮的模数m和齿数z，模数m应根据机构尺寸和强度条件，参照相似的圆柱齿轮模数选取，齿数z一般为4x+2，x为任意整数，这样才能够保证长轴两端的轮齿与短轴两端的齿槽啮合。偏心率e、模数m、齿数z确定之后，可代入式（3）中解出节曲线的长轴半径a，从而确定了卵形齿轮的主要特征。

2 卵形齿轮模型的建立

2.1 驱动参数的设置

▲图1 卵形齿轮传动示意图

除了上述偏心率e、模数m、齿数z、长轴半径a 4个参数之外，每个轮齿还需要确定齿顶高因子ha、顶隙因子c、压力角α，为了满足卵形齿轮具有互换性，在制造过程中一般采取标准插齿刀或滚刀切制轮坯，所以齿顶高因子ha为1、顶隙因子c为0.25、压力角α为20°，利用这7个参数来驱动并实现卵形齿轮的各个几何特征。

2.2 齿廓的确定

2.2.1 齿廓的设计方法

卵形齿轮节曲线各点处的曲率半径不同，因此每个轮齿的齿形各不相同，单就一个齿形而言，左齿廓与右齿廓也不相同，因此采用解析方程计算齿廓的工作量很大，在工程中不易推广。为了避免繁琐复杂的计算，采用齿形折算法是求出卵形齿轮齿廓的有效方法，虽然应用此种方法得出的齿廓曲线没有解析法精确，但其精度足以满足绝大部分实际工况的使用需求。齿形折算法的原理如图2所示，若a点是卵形齿轮某轮齿在节曲线上的中点，该点的曲率半径为 Ra，则该轮齿近似为分度圆与卵形齿轮节曲线相切于a点、半径为Ra的圆柱齿轮的轮齿，同理，对于b点，该轮齿近似为分度圆半径为Rb的圆柱齿轮的轮齿[4]。

▲图2 齿形折算法原理示意图

2.2.2 齿廓曲线的生成

一个完整的齿形包括6条曲线，即齿顶曲线、齿根曲线、左右两条齿廓线以及两条齿根过渡曲线。首先需要确定的是节曲线，因为齿顶曲线和齿根曲线只需要将节曲线在法向上向上偏移一个齿顶高、向下偏移一个齿根高就可实现，通过Pro/E软件中的“来自方程的曲线”功能，输入方程就可得到精确的节曲线。对于齿顶高因子ha为1的齿轮，齿根过渡曲线的半径为0.38m，只需要在齿根圆及左右齿廓线之间进行倒角就能方便地得出。生成齿形的关键及难点是确定左右两条齿廓线。

齿廓线需要以轮齿在节曲线上的中心作为参照进行定位，各轮齿的左右齿廓线将节曲线分为4z等份，所以可通过定义比率的方式确定中心。例如图3所示PNT1点，以节曲线为对象，定义比例为1.5/z就可得到，这个点是第一个轮齿在节曲线的中心。PNT1点所对应的曲率半径可以通过卵形齿轮的节曲线方程推出，其值为：

应用齿形折算法时，这个值可直接通过作图法得出，首先以PNT1点及节曲线为参照，创建穿过PNT1点且位于节曲线法向的基准面DTM1，然后以FRONT面与TOP面为参照，创建同时穿过两参照对象的基准轴 A-1，DTM1与 A-1相交于 PNT2点，PNT2点即为PNT1点所对应的曲率中心，两点之间的距离R1即为曲率半径，同时是此轮齿所对应的圆柱齿轮的分度圆半径。

得出圆柱齿轮的分度圆半径后，再利用渐开线方程生成曲线，但此曲线并不是右齿廓曲线，必须绕PNT2点旋转，旋转角度由渐开线的性质推导出，其值为[5]：

右齿廓曲线形成后，以DTM1面作为参照进行镜像，可得到左齿廓曲线。所有曲线绘制完后的效果如图4所示，删去多余线段后可得到第一个轮齿的完整齿形。其余各齿的齿形可按上述步骤逐一绘制，由于卵形齿轮完全对称，所以绘制完成四分之一的轮齿齿形之后，进行两次镜像操作即可得到完整的卵形齿轮的轮廓。轮廓经过拉伸操作，就可得到卵形齿轮的实体模型。

2.3 齿轮实体的生成

打开菜单栏中的工具-参数对话框，如图5所示，对各参数的数值进行修改，修改完毕后进行再生就可得到所需的卵形齿轮模型。例如，输入e=0.2 mm、m=3 mm、z=18、a=26.486 16 mm，得到的卵形齿轮模型如图6 （a）所示；输入 e=0.3 mm、m=3 mm、z=22、a=31.662 582 mm，得到的卵形齿轮模型如图6（b）所示。

▲图3 齿廓曲线的生成

▲图5 参数对话框

3 实例验证

卵形齿轮的模型是否正确，可通过测试卵形齿轮副在运动中的啮合状态和所反应出的运动特性来进行验证。以图6（a）所示的卵形齿轮为例，在Pro/E中进行卵形齿轮副的装配，导入ADAMS中进行运动学分析。首先通过定义材料属性赋予模型质量，然后定义主动齿轮及从动齿轮与大地之间的连接为旋转副，用于约束齿轮与大地之间的3个平动自由度和2个旋转自由度，由于ADAMS中齿轮副只具有定传动比，所以对于卵形齿轮的仿真不能采用，只有通过定义两齿轮之间的接触力才能保证啮合传动。最后在主动轮上施加30 r/s的驱动，运动仿真的模型如图7所示。

设置仿真时间为0.2 s，运算步数为1 000步，在仿真过程中，可清楚地观察到轮齿逐一啮合，符合共轭齿轮啮合定律。求解结束之后，查看仿真结果，主动轮与从动轮的角速度如图8所示。主动轮的角速度保持恒定，从动轮的角速度呈明显的周期性变化，但角速度曲线有一定的波动，这主要是由于接触力造成在传动过程中的振动以及卵形齿轮的变速特性形成的振动脉冲两个因素共同作用下形成的[6-7]。从动轮的角速度曲线通过拟合可以得到和理论计算完全一致的角速度曲线，证明了建立的卵形齿轮模型是正确的。