孙孟琴

（长春工程学院机电学院，吉林 长春 13001230012）

对球头铣刀铣削加工过程简化为具有相互垂直的两个自由度的集中质量块，系统在X与Y方向的数学模型［1］表达式如下：

球头铣刀的动力学模型被假设为在二维坐标系X，Y下的二个自由度的振动模型，进给方向延着X轴。铣刀的N个齿被假设为等距，当第j齿切削位置时，将参与切削的切削刃上的切削力累加后，在X与Y方向上总球头铣刀的动态铣削力表达式如下：

第j齿的转角位移为：

R0为球头刀最大半径；φ为螺旋滞后角。

由方程式1-3可以看到，由于球头铣刀铣具有2个以上刀齿，对及切削厚度的再生效应，两个方程均为二阶常系数非齐次线性微分方程，这类非齐次线性微分方程的解析基本无法实现，由20世纪80年代以来开始的计算机技术，用计算机的数值计算进行仿真的方法越来越多地被应用到复杂的模型当中，即用仿真算法将原始的数学模型转换成计算机上能运行的仿真模型，用仿真算法求解这类常系数非齐次线性微分方程，从而对球头铣刀的动力学特性进行仿真。

1 球头铣刀动力学模型常见的计算机仿真算法

通常求解常微分方程初值问题的数值方法可分为两类：

单步法：计算第i个点处的值时，只用到第i-1个点处的数值信息；

多步法：计算第i个点处的值时，要用到第i+1个点之前的多个网络点处的数值信息；

用数值方法求解常系数非齐微分次方程时，现常用到的数值算法有：Simpson方法、Eluer方法、显式Runge-Kutta方法、Adams方法、基于数值积分的Eluer方法等［2］。

1.1 Euler方法

在一段两点构成的区间上，任取一些节点，将这些节点进行离散化，离散化的方法采用数值微分，即将常系数非齐微分次方程转化为差分方程，算法简单，把原来方程降阶为一阶的方程，将节点处离散的解作为近似的解。此Euler方法在求解的过程中，节点间的仿真步长较大时，求解时仿真步数就会增加，带来的误差将慢慢扩大。如果节点间的仿真步长较小时，求解步数增加，求解效率下降。求解过程中，误差的产生与各离散点的计算值误差有关，也与步长大小相关。此Euler方法在求解常系数非齐微分次方程时，虽然简单，但是精度只用一位数，精度不高。

1.2 基于数值积分的Eluer方法

基于数值积分Eluer方法是将区间内的节点采用高阶数值积分来对节点进行离散化，即将常系数非齐微分次方程转化为数值微分方程。基于数值积分的Eluer方法，解决了步长对求解精度的影响，只要节点步长适当，方程的收敛性与求解精度都高于基于数值微分的Eluer方法，但是如果节点步长不合适，使求解时误差被放大，仿真结果会失真，计算失败，它的精度是二位数。

1.3 Simpson方法

Simpson算法是近似计算定积分的方法，由此导出常系数非齐微分次方程求解公式属于隐式求解，多步算法，也由此常系数非齐微分次方程的求解精度为四位，不能再提高了，但是方程求解的收敛性与稳定性都高于前两者（基于数值微分的Eluer方法、基于数值积分的Eluer方法），可是求解时一直有较大误差。

1.4 显式Runge-Kutta方法

目前是一种应用很广的算法，该方法是单步算法，简单的理解是一阶Runge-Kutta方法是基于数值微分的Eluer方法，二阶Runge-Kutta方法是基于数值积分的Eluer方法，最经典的是四阶Runge-Kutta算法，即对节点上的离散值进行线组合来代替求解高阶导数，也就是用Taylor离散法建立的差分方程，此方法在求解动力学方程时具有很好的收敛性与数值稳定性，方法简练，但是离散方法要求方程解具有良好的光滑性，才能使近似解准确趋近，如果没有好的光滑性，那么数值解的精度也许只是一位数。此算法的缺点是每一步的计算工作量都较大，四阶以上的Runge-Kutta算法较少被采用。从实际出发，按所要求求解的精度选择合适的算法，在采用显式Runge-Kutta方法时，节点处离散解的误差大于迭代允许误差时，步长减到一半，再计算，反复到离散点误差小于迭代允许误差值为止。反过来，节点处离散解的误差小于迭代允许误差时，步长增加，再计算，反复到离散点误差累加到迭代允许误差值为止。它的精度是四位的，适合在计算机上进行迭代数值计算。当该方法在球头铣刀动力学系统微分方程时表现出了较好的收敛性及稳定性，同时在求解过程中始终保持较小的计算误差。

1.5 Adams方法

Adams方法是多步方算法，它是对节点处采用Lagrange型离散法来进行求解。方程求解的收敛性较好，但是求解过程的稳定性低于Simpson方法和Runge-Kutta方法。因为此方法的初始值误差累积导致最终的误码差较大。

2 总结

由上可以看到Simpson方法、Eluer方法、显式Runge-Kutta方法、Adams方法、改进的Eluer方法的算法、精度、方程求解的收敛性及稳定性都不同，通过分析与比较，适合两自由度球头铣刀铣削加工动力学方程的算法为四阶显式Runge-Kutta方法，求解过程中计算误差较小，能更好进行动力学性能仿真。

［1］孙孟琴，王立臣.球头铣刀动力学模型及其铣削加工稳定性的研究［J］.机床与液压，2012，40（9）：52-54.

［2］吴志强，张晏铭，秦浩东.成格-库塔法与差分法的比较［J］.成都大学学报，2014，33（4）：337-338.