孔令杰

（菏泽学院物理与电子工程系，山东菏泽274015）

耗散介观RLC串并联电路在热真空态下的量子涨落

孔令杰

（菏泽学院物理与电子工程系，山东菏泽274015）

利用阻尼谐振子正则量子化方法，实现了对耗散介观RLC串并联电路的量子化，并在此基础上，研究了基于热场动力学（TFD）理论的热真空态下的电荷和自感磁通链、电压和电流的量子涨落.结果表明，在热真空态下电荷和自感磁通链、电压和电流都存在着各自的量子涨落，且量子涨落及量子涨落积不仅与电路中的器件参数有关，而且还与时间和温度有关.

耗散介观RLC串并联电路；量子化；热真空态；量子涨落

在20世纪70年代，Louisell通过借鉴经典谐振子量子化处理的研究方法实现了对无源介观LC电路的量子化工作.在此基础上，文献［1－4］分别对LC电路、串联RLC电路、电容耦合电路、电感耦合电路中的电荷及电流在多种量子态下的量子涨落进行了广泛的研究.由此可以看出，作为微电子技术发展的原理性基础，建立一套完整的量子理论来研究电路及器件本身的量子效应已经是一项十分迫切的任务［5－7］.

本文在文献研究的基础上，借鉴彭桓武先生对阻尼谐振子做正则量子力学处理的研究思想［8］，提出了实现耗散介观RLC串并联电路的正则量子化方法.运用热场动力学（TFD）理论，讨论了耗散介观RLC串并联电路中电荷和自感磁通链、电压和电流在热真空态下的量子涨落，以期为耗散介观RLC串并联电路的设计及通过调节电路中的器件参数来控制电路的量子噪声提供一种有效可行的研究思路.

1 耗散介观RLC串并联电路的量子化

耗散介观RLC串并联电路如图1所示.图1中：L为电感；C为电容；R为线性电阻，is（t）为理想电流源；uL和iL分别为电感的电压与电流；uC和iC分别为电容的电压与电流；uR和iR分别为电阻的电压与电流.

假定电容器两端极板之间的电荷为q，根据集总电路的基尔霍夫定律可知，该耗散介观RLC串并联电路的经典电路方程为：

对（2）式求导可得

（3）式意味着，在一个R≠0的耗散介观电路中，q和p不满足哈密顿正则方程，因而在经典力学中不构成正则共轭变量.故如果要在海森堡表象中实现q和p的量子化，也就是说使q和p能够分别代表广义坐标算符Q和广义动量算符P，就必须使q和p满足如下对易关系（即量子化条件）

按照正则量子化方案，考虑由非正则共轭变量q和p到正则共轭变量Q和P的转换过程，现引入如下正则变换：

则由（2）式可得

显然，（6）式满足哈密顿正则方程

所以Q和P构成新的广义坐标算符和广义动量算符，且二者互为正则共轭变量，并满足如下对易关系

结合（6）式和（7）式可以得到该耗散介观RLC串并联电路的哈密顿量为

利用有关量子力学的处理方法，为了把由（9）式所给出的哈密顿量进行量子化，现根据（8）式构造如下产生算符a和湮没算符a＋，其表达式为

由（8）式和（10）式，极易验证a和a＋满足如下关系

则该耗散介观RLC串并联电路的哈密顿量用a和a＋表示为

至此，便通过阻尼谐振子正则量子化的方法，实现了该耗散介观RLC串并联电路的量子化.

2 TFD理论下的热真空态

TFD理论是研究有限温度条件下量子效应的一种有效方法，它将力学量的统计力学系统平均值用力学量在热真空态（与温度有关的真空态）中的期望值来表示［9］.因此，TFD理论在希尔伯特空间的基础上，又引入了一个与之对偶的虚拟“希尔伯特空间”，称为Tilde空间，由这2个空间共同构成一个直积空间，且在这个直积空间中，自由度增加了一倍.这样对于真实希尔伯特空间中的每个算符和态，在Tilde空间中也存在相应的Tilde算符和Tilde态，故该直积空间中的态相当于是由一个真实模和一个虚拟模（Tilde模）组成的双模态［10－12］.

设与希尔伯特空间中的玻色算符a和a＋相对应的Tilde空间中的算符为~a和~a＋，则算符~a和~a＋满足如下对易关系：

式（14）中θ为一个与平均热粒子数n0有关的量，且n0＝sinh2θ，而n0与温度T的关系由Bose－Einstein分布确定

其中：ω为场的共振频率；ħ为普朗克常量；kB为玻耳兹曼常量.

由（14）式可得热化后产生算符a（θ）和湮没算符a＋（θ）的表达式：

3 耗散介观RLC串并联电路在热真空态下的量子涨落

未接通电流源时，即is（t）＝0.此时，假定该耗散介观RLC串并联电路处于上述所定义的热真空态下，研究此状态下该耗散介观RLC串并联电路中电荷和自感磁通链、电压和电流的量子涨落.

3.1电路中电荷和自感磁通链在热真空态下的量子涨落

由（12）式可得电路中的电荷

则由（17）式可得电路中的自感磁通链为

考虑（17）和（18）式可得该耗散介观RLC串并联电路中电荷和自感磁通链的平均值与方均值分别为：

（19）式表明：热真空态下，该耗散介观RLC串并联电路中电荷和自感磁通链的平均值均为零，但它们的方均值不为零，即电路中电荷和自感磁通链都存在着量子涨落效应.

由（19）式可得电路中电荷和自感磁通链在热真空态下的量子涨落及量子涨落积：

（20）式表明：电路中电荷和自感磁通链在热真空态下具有各自的量子涨落效应，且量子涨落及量子涨落积不仅与电路中电感、电容和电阻的器件参数有关，还与时间t和温度T有关.具体分析如下：

（1）由于阻尼电阻的存在，量子涨落及量子涨落积均随时间t按指数规律衰减，衰减的快慢由时间常数α决定.

（2）由于函数cothβ是随β的增大而单调减小的，故由（20）式可知，在有限温度下，电路中电荷和自感磁通链的量子涨落及量子涨落积均随温度的升高而单调增加.存在特殊情况，当T→0时，，此时电路由热真空态退化到真空态，则电路中电荷和自感磁通链的量子涨落及量子涨落积均与温度T无关，其表达式为：

3.2电路中电容电压和电流在热真空态下的量子涨落

则由（22）式可得电路中的电容电流为

考虑（22）式和（23）式可得该耗散介观RLC串并联电路中电容电压和电流的平均值与方均值分别为：

（24）式表明：热真空态下，该耗散介观RLC串并联电路中电容电压和电流的平均值均为零，但它们的方均值不为零，即电路中电容电压和电流都存在着量子涨落效应.

由（24）式可得电路中电容电压和电流在热真空态下的量子涨落及量子涨落积：

（25）式表明：电路中电容电压和电流在热真空态下具有各自的量子涨落效应，且量子涨落及量子涨落积不仅与电路中电感、电容和电阻的器件参数有关，还与时间t和温度T有关.

3.3电路中电感电压和电流在热真空态下的量子涨落

由（26）式可得该耗散介观RLC串并联电路中电感电压和电流的平均值与方均值分别为：4

（27）式表明：热真空态下，该耗散介观RLC串并联电路中电感电压和电流的平均值均为零，但它们的方均值不为零，即电路中电感电压和电流都存在着量子涨落效应.

由（27）式可得电路中电感电压和电流在热真空态下的量子涨落及量子涨落积：

（28）式表明：电路中电感电压和电流在热真空态下具有各自的量子涨落效应，且量子涨落及量子涨落积不仅与电路中电感、电容和电阻的器件参数有关，还与时间t和温度T有关.

3.4电路中电阻电压和电流在热真空态｜00～〉T下的量子涨落

考虑到is（t）＝0，则由图1可知，电阻电压uR＝RiR，且电阻电流iR＝－iC.同样，由（23）式可得电路中的电阻电压和电流分别为：

由（29）式可得该耗散介观RLC串并联电路中电阻电压和电流的平均值与方均值分别为：

（30）式表明：热真空态下，该耗散介观RLC串并联电路中电阻电压和电流的平均值均为零，但它们的方均值不为零，即电路中电阻电压和电流都存在着量子涨落效应.

由（30）式可得电路中电阻电压和电流在热真空态下的量子涨落及量子涨落积：

（31）式表明：电路中电阻电压和电流在热真空态下具有各自的量子涨落效应，且量子涨落及量子涨落积不仅与电路中电感、电容和电阻的器件参数有关，还与时间t和温度T有关.

为了直观定量地描述热真空态下该耗散介观RLC串并联电路中电荷和自感磁通链、电压和电流的量子涨落效应，现借助Matlab软件数值计算的方法来展示量子涨落效应随温度T变化的规律，函数随kBT变化的曲线如图2所示.

由图2可见，当该耗散RLC串并联电路的谐振频率ω较高且温度T较低的情况下，量子涨落效应随温度T变化的趋势可忽略不计；而当谐振频率ω较低且温度T较高的情况下，量子涨落效应随温度T变化的趋势将变得十分明显，这将严重影响到电路中信号的保真度与稳定性.此时如果能选择合适的谐振频率与温度的比值，即在谐振频率ω一定的情况下，给电路适当降低温度T，则温度T对电路量子涨落效应的影响就可忽略.

4 结论

本文在借鉴阻尼谐振子正则量子化方法的基础上，首先对耗散介观RLC串并联电路进行了量子化处理.然后，研究了耗散介观RLC串并联电路处在热真空态下电荷和自感磁通链、电压和电流的量子涨落效应.通过上述分析研究，得到如下结论：（1）在耗散介观RLC串并联电路中，电荷和自感磁通链是满足对易关系的，能够进行量子化处理.这就体现出宏观电路与介观电路的区别.宏观情形下，电路中电荷和自感磁通链、电压和电流完全可以同时确定；而介观情形下，电路中电荷和自感磁通链、电压和电流是不可能同时确定的.（2）未接通电流源时，耗散介观RLC串并联电路在热真空态下，电路中电荷和自感磁通链、电压和电流都存在着各自的量子涨落，且量子涨落及量子涨落积不仅与电路中电感、电容和电阻的器件参数有关，还与时间t和温度T有关.由于阻尼电阻的存在，量子涨落及量子涨落积均随时间t按指数规律衰减，衰减的快慢由时间常数α决定；而在有限温度下，电路中电荷和自感磁通链、电压和电流的量子涨落及量子涨落积均随温度的升高而单调增加.（3）由于在特殊情况下，当T→0时电路由热真空态退化到真空态，此时电路中电荷和自感磁通链、电压和电流的量子涨落及量子涨落积均与温度T无关.

［1］ 李洪奇.介观耗散LC并联电路的量子化［J］.量子光学学报，2004，10（4）：143－147.

［2］ 梁宝龙，李艳玲，孟祥国，等.介观RLC电路的量子化及其在有限温度下的量子效应［J］.量子电子学报，2007，24（3）：335－340.

［3］ 谢月新，李志坚，周光辉.介观耗散电容耦合电路量子化中的正则变换［J］.物理学报，2007，56（12）：7224－7229.

［4］ 阮文，谢安东，余晓光，等.脉冲信号作用下介观互感耦合电路的量子效应［J］.四川大学学报：自然科学版，2008，45（2）：379－382.

［5］ 杨庆怡，张卫平.非线性电阻介观电路在微变电流下的量子效应［J］.广西大学学报：自然科学版，2013，38（6）：1471－1475.

［6］ 阎占元.介观电路量子效应的研究［D］.华北电力大学，2006.

［7］ 王爱星，符五久，刘义保，等.有源介观RLC电路的量子涨落［J］.大学物理，2008，27（9）：27－29.

［8］ 彭桓武.阻尼谐振子的量子力学处理［J］.物理学报，1980，29（8）：1084－1089.

［9］ 阮文，雷敏生，嵇英华，等.热克尔态下介观LC电路的量子涨落［J］.物理学报，2005，54（5）：2291－2295.

［10］ WANG ZHONG－QING.Quantum fluctuations of a mesoscopic RLC electric circuit in thermal coherent states and thermal squeezed states［J］.Chinese Journal of Quantum Electronics，2005，22（1）：63－69.

［11］ 汪仲清.介观RLC电路在热真空态下的量子涨落［J］.物理学报，2002，51（8）：1808－1810.

［12］ 徐兴磊，李红.压缩真空态的激发态下介观串并联RLC电路的量子涨落［J］.郑州大学学报：理学版，2007，39（1）：67－70.

Quantum fluctuations of dissipative mesoscopic RLC series and parallel circuit in thermal vacuum state

KONG Ling－jie

（Department of Physics and Electronic Engineering，Heze University，Heze 274015，China）

By using canonical quantization method of damped harmonic oscillator，the quantum of dissipative mesoscopic RLC series and parallel circuit was realized in this paper.And on this basis，the quantum fluctuations of charge and inductance flux linkage as the same as voltage and current in circuit under thermal vacuum state which based on thermal field dynamics theory were also studied through this research methods.The results show that charge and inductance flux linkage as the same as voltage and current in circuit under thermal vacuum state respectively exist quantum fluctuations.And the quantum fluctuations and quantum fluctuations plot not only depend on device parameters in the circuit，but also depend on time and temperature.

dissipative mesoscopic RLC series and parallel circuit；quantization；thermal vacuum state；quantum fluctuations

O 431.2 ［学科代码］ 140·15 ［

］ A

（责任编辑：石绍庆）

1000－1832（2015）01－0095－06

10.16163／j.cnki.22－1123／n.2015.01.018

2014－08－26

山东省优秀中青年科学家科研奖励基金资助项目（BS2012CL001）；菏泽学院博士基金资助项目（XY10BS02）.

孔令杰（1985—），男，助教，硕士，主要从事信号与信息处理及介观物理量子效应研究.