李广兵，唐先华

（中南大学数学与统计学院，湖南长沙410083）

一类二阶非线性微分积分方程两点边值问题

李广兵，唐先华

（中南大学数学与统计学院，湖南长沙410083）

研究了Banach空间中含一阶导数项的二阶非线性微分积分方程两点边值问题，通过建立一个新的比较定理，证明了该问题最大解和最小解的存在性.

微分积分方程；两点边值问题；单调迭代技巧

0 引言

本文考虑实Banach空间E中二阶非线性微分积分方程两点边值问题：

其中：J＝［0，1］，f∈C（J×E×E，E），A0≥0为常数，α0＞0，α1＞0，β0≥0，β1≥0，b0≤0，b1≤0，k∈C（D1， R＋）.D1＝｛（t，s）∈J×J｜t≥s｝，R＋表示所有非负实数集合.令

最近，许多文献利用单调迭代方法来研究微分或积分方程的边值问题［1－13］.特别地，文献［1］考虑了二阶非线性微分积分方程（1）的周期边值问题.但据我们所知，形如（1）和（2）的两点边值问题尚未发现相应的存在性定理.本文受文献［1］的启发，通过建立一个新的比较定理，研究了含有一阶导数项的二阶非线性微分积分方程两点边值问题（1）和（2）的最大最小解的存在性，拓宽了微分积分方程在实际中的应用.

1 比较定理

设P是E中的锥，E中的半序“≤”由锥P导出.称P是正则的，如果E中的每个按序有上界的增序列必有极限.

引理1 设k（t，s）：［0，1］×［0，1］→R非负连续，p（t）∈C2（［0，1］，E）满足

其中：M＞0；N为常数，且满足

则

证明对任意φ∈P＊（P＊是P的对偶锥）.令m（t）＝φ（p（t）），则m（t）∈C2（J，R＋）且由（3），（4）式

可得：

下面用反证法.假设（7）式不成立，则存在t0∈［0，1］，使得

若t0∈（0，1），则m′（t0）＝0，m″（t0）≤0.以下分两种情形：

情形（ⅰ）N≤0.由（8）式可知，当0≤s≤t0时，有m（s）≤m（t0）＝m0.注意到k（t，s）≥0，则

于是，由（3）式可得

注意到m0＞0，即上式可简写成

这与（5）式矛盾.

情形（ⅱ）N＞0.若∀t∈［0，t0］，有m（t）≥0，则由（3）式可知

这与m″（t0）≤0矛盾.故存在t1∈［0，t0］，使得

由于m（t0）＞0，则t1≠t0，即t1∈［0，t0）.∀t∈［0，t0］，有

另一方面，

注意到λ＜0，则上式化简得

这与（6）式矛盾.

若t0＝0.由（8）式可知，m（0）＞0，则m′（0）≤0.于是，由α0＞0，β0≥0可得

这与b0≤0矛盾.

若t0＝1.由（8）式可知，m（1）＞0，则m′（1）≥0.于是，由α1＞0，β1≥0可得

这与b1≤0矛盾.

综上所述，（8）式成立.

引理2［4］设E是半序Banach空间，x0，y0∈E，x0≤y0，D＝［x0，y0］，A：D→E是一个算子.若满足下列条件：

（ⅰ）A是增算子；

（ⅱ）x0是A的下解，y0是A的上解；

（ⅲ）A是连续算子；

（ⅳ）A（D）是E中的相对列紧集.

则A在D中必有最小不动点x＊和最大不动点y＊，并且若分别以x0和y0为初始元素，作迭代序列：

则有

且

2 主要结果

令

对任意的h（t）∈C（J，E），考虑下列线性微分积分方程两点边值问题：

其中：M＞0；N为常数满足（5），（6）式，且

直接验证知，线性微分积分方程两点边值问题（11），（12）等价于下列积分方程：

其中：

利用常规方法（如压缩映射原理）可知，线性积分方程（14）对任给h∈C（J，R）都有唯一解uh∈C（J，R）.定义

下面考虑非线性微分积分方程两点边值问题（1），（2）.

定理1 设锥P是E中的正则锥，且对∀r＞0，集f（J，Br，Br）有界，其中Br＝｛u∈E‖u‖≤r｝，又设存在v0（t）∈C2（J，E），w0（t）∈C2（J，E），使得v0（t）和w0（t）分别是二阶非线性微分积分方程边值问题（1），（2）的下解和上解，即：

并且

再设存在常数M和N，满足（5）或（6）式，且满足（13）式及

则非线性微分积分方程两点边值问题（1），（2）在

中存在最小解v＊（t）和最大解w＊（t），并且存在单调迭代序列｛vn（t）｝和｛wn（t）｝，在J上分别一致收敛于v＊（t）和w＊（t）.

证明对任给的u∈D，定义算子如下：

设K由（15）式定义，令A＝KF.下面证明A是增算子.设u1，u2∈D，u1≤u2，则由（16）式及F的定义可知Fu1≤Fu2.

令y1＝Au1，y2＝Au2，则由K的定义知：

令m（t）＝y1（t）－y2（t），由上述几式可得

由引理1可知，m（t）≤0，即

这表明A是增算子.下面证明

令v1＝Av0，则由K的定义可知∀t∈J，有

令n（t）＝v0（t）－v1（t），由于v0是问题（1），（2）的下解，则

由引理1可知，n（t）≤0，即v0≤Av0，同理可证Aw0≤w0.令

则由A是增算子及归纳法容易证明：

由A的定义可知，显然A是连续算子.最后证明A（D）是C（J，E）中的相对列紧集.由于P是正则的，则.又P正规，由（19）式和f（J，Br，Br）的有界性及（14）式可知，｛vn（t）｝在J上是等度连续的，从而｛vn｜t＝0，1，2，…｝是C（J，E）中相对紧集.注意到P正规及（19）式，可得｛vn（t）｝在J上一致收敛于某个v＊（t）∈C2（J，E），根据A的连续性可知，v＊（t）是问题（1），（2）的解.同理可证，｛wn（t）｝在J上一致收敛于某个w＊（t）∈C2（J，E），且w＊（t）是问题（1），（2）的解.若u∈C2（J，E）是问题（1），（2）在［v0，w0］中的任意解，则根据引理1，容易验证v＊（t）≤u（t）≤w＊（t）.

因此，根据引理2可知结论成立.

当A0＝0时，即（1）式不含导数项u′时，我们得到下面的结论.

定理2 令A0＝0.设锥P是E中的正则锥，且∀r＞0，集f（J，Br，Br）有界，其中又设存在v0（t）∈C2（J，E），w0（t）∈C2（J，E），使得v0（t）和w0（t）分别是二阶非线性微分积分方程边值问题（1），（2）的下解和上解，并且

再设存在常数M和N，满足（5）或（6）式，且满足（13）式及

则非线性微分积分方程两点边值问题（1），（2）在

中存在最小解v＊（t）和最大解w＊（t），并且存在单调迭代序列｛vn（t）｝和｛wn（t）｝在J上分别一致收敛于v＊（t）和w＊（t）.

［1］ 张晓燕，孙经先，苏军.Banach空间中二阶非线性微分积分方程周期边值问题［J］.工程数学学报，2005，22（3）：555－558.

［2］ CHEN YUBO，ZHUANG WAN.On monotone iterative method for periodic boundary value problems of nonlinear integrodifferential equations［J］.Nonlinear Anal，1994，22：295－303.

［3］ CHEN FANGQI，CHEN YUSHU.On monotone iterative－method for initial value problems of nonlinear second－order integrodifferential equations in Banach space［J］.Appl Math Mech，2000，21（5）：459－467.

［4］ GUO DAJUN.Initial value problems for second－order integro－differential equations in Banach space［J］.Nonlinear Anal，1999，37：289－300.

［5］ 郭大钧，孙经先，刘兆理.非线性常微分方程泛函方法［M］.济南：山东科技出版社，1995：1－75.

［6］ 高云柱，叶莉瑛.二阶非线性常微分积分方程周期边值问题［J］.北华大学学报：自然科学版，2004，5（6）：485－487.

［7］ HAO ZHAOCAI，LIU LISHAN.Global solutions of initial value problems for nonlinear integro－differential equations of mixed type in Banach space［J］.Indian J Pure Appl Math，2002，33（9）：1417－1430.

［8］ LIZ E，NIETO J J.Boundary value problems for second order integro－differential equations of Fredholm type［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，1996，72（2）：215－225.

［9］ 马如云，白定勇.二阶非线性边值问题解的存在唯一定理［J］.纯粹数学与应用数学，1998，14（2）：61－64.

［10］ 苗凤华，宋玥蔷.一类三点边值问题正解的存在性和唯一性［J］.东北师大学报：自然科学版，2014，46（2）：9－11.

［11］ SONG GUANGXING.The solutions of initial value problems for second－order integro－differential equations in Banach space［J］.Acta Math Sinica，2004，47（1）：71－78.

［12］ SU HUA，LIU LISHAN，et al.Global solutions of initial value problems for nonlinear second－order Integro－differential equations of mixed type in Banach spaces［J］.Math Anal Appl，2007（330）：1139－1151.

［13］ 王文波，裴明鹤.二阶非线性微分积分方程Robin边值问题解的存在性［J］.北华大学学报：自然科学版，2004，5（6）：481－484.

Two－point boundary value problems to a class
of nonlinear second order integro－differential equations

LI Guang－bing，TANG Xian－hua
（School of Mathematics and Statistics，Central South University，Changsha 410083，China）

In this paper，by establishing a new comparison result，the existence of maximal and minimal solutions of two－point boundary value problems for nonlinear second order integro－differential equations in Banach spaces is obtained.

integro－differential equations；two－point boundary value problem；monotone iterative technique

O 175.6 ［学科代码］ 110·34 ［

］ A

（责任编辑：陶理）

1000－1832（2015）01－0026－05

10.16163／j.cnki.22－1123／n.2015.01.006

2013－06－22

国家自然科学基金资助项目（11171351）.

李广兵（1990—），男，硕士研究生，主要从事微分方程动力系统研究.