秦 进

（遵义师范学院数学与计算科学学院，贵州遵义563002）

一类三维混沌系统的动力学行为研究

秦 进

（遵义师范学院数学与计算科学学院，贵州遵义563002）

基于李雅普诺夫函数稳定性理论，研究了一类三维混沌系统的平衡点、全局指数吸引集等问题.并且给出了相应的计算机模拟，其结果与理论计算相吻合，从而验证了理论计算的正确性与可行性.

混沌系统；李雅普诺夫稳定性；平衡点；有界性

0 引言

混沌系统有着对系统初值和参数的敏感依赖性.Lorenz混沌系统作为第一个混沌系统深刻地揭示了混沌现象.Lorenz混沌系统、Rössler混沌系统、Chua’s电路混沌系统、Chen混沌系统、超混沌Lorenz系统、Lü混沌系统和统一混沌系统等是研究混沌系统的重要模型.混沌系统在非线性电路、混沌保密通信、图像加密、控制科学和信息科学中有着非常重要的应用［1－4］.

混沌系统的最终有界性是研究混沌系统的一个重要方向，它在混沌系统的控制、同步、混沌吸引子的Hausdorff维数、混沌吸引子的Lyapunov维数等方面有着非常重要的应用.［5－6］从技术上讲，求解一个混沌系统的最终界是一个非常困难的工作.由于Lorenz混沌系统有着重要的科学和工程应用背景，Leonov等人最先研究了Lorenz混沌系统的最终有界性.［7］随后，H.Nijmeijer等人研究了Lorenz混沌系统的有界性，得到了一系列比较深入的结果.［8］郁培等人进一步研究了Lorenz系统的全局吸引集，不仅给出了Lorenz系统正半轨线的最终界表达式，而且给出了正半轨线进入吸引集的速率表达式.［9］张付臣等人推广了廖晓昕等人的研究结果，进一步研究了一类金融混沌系统和一类三维混沌系统正半轨线的最终界.［10－12］吕金虎等人研究了一类高维混沌系统的最终有界性.［13］由于Lü混沌系统自身结构的特殊性，张付臣等人研究了经典Lü系统的最终有界性［14］，进一步研究了复Lorenz混沌系统和Lorenz系统不拓扑同胚的一个新三维混沌系统的最终有界性和全局吸引集［15－16］.

基于以上工作的启发，本文将研究一类三维混沌系统（1）的全局吸引集，本文的创新之处在于研究了∀a＞0，b＞0，c＞0时，系统（1）的全局吸引集，将不同参数时系统（1）的全局吸引集表达式统一到一个数学表达式之中，并且利用交集的思想得到了系统正半轨线最终界的一个较小估计.

1 动力学模型

一类新的三维混沌系统的数学模型为［17］：

2 主要动力学特性分析

2.1不变集

z轴为系统（1）的一个正向不变集，并且当把系统（1）限制在z上可以得到方程˙z＝－bz，由于这个方程的解为z（t）＝z（t0）e－b（t－t0），从而从z轴上任何点出发的轨线当t→＋∞时都趋于点（0，0，0）.

2.2耗散性和吸引子的存在性

2.3平衡点及稳定性

对于混沌系统（1），点S0＝（0，0，0）始终是系统（1）的一个平衡点.由于（1）的其他平衡点总是可以通过坐标平移，将此平衡点平移到坐标原点（0，0，0）.因此，我们只考虑系统（1）的平衡点S0＝（0，0，0）的稳定性.系统（1）在平衡点S0＝（0，0，0）的雅克比矩阵为

从而系统（1）在平衡点S0＝（0，0，0）的特征方程为

其中

根据Routh－Hurwitz准则，当m＞0，mh－s＞0，s＞0时系统（1）的平衡点S0＝（0，0，0）是渐近稳定的.系统（1）的其他平衡点的稳定性可以类似地考虑.

2.4全局吸引集

考虑一类自治动力系统

定理1 对任意的a＞0，b＞0，c＞0，λ＞0，令

则当V（X（t））≥L0，V（X0）＞L0（t≥t0）时，对于系统（1）的正半轨线有估计式

证明做广义正定、径向无界的Lyapunov函数

当V（X（t））≥L0，V（X0）＞L0（t≥t0）时，计算V（x，y，z）对时间t的导数

注1 （1）取参数a＝35；由定理1知系统（1）的正半轨线包含内，如图2所示.从图2中可以看出系统的正半轨线最终进入Ω与定理1的理论结果相吻合，表明了计算结果的正确性.

两组干预前SF-36各项评分无明显差异，干预后，均为观察组高于对照组，差异有统计学意义（P<0.05）。见表2。

（3）根据定理可以得到从吸引集Ωλ外的轨线进入吸引集的速率为指数速率.

定理2 对任意的a＞0，b＞0，c＞0，令

则当V2（X（t））≥L，V2（X0）＞L（t≥t0）时，对于系统（1）的轨线有指数估计式

证明做广义正定、径向无界的Lyapunov函数

计算函数V2（x，y，z）对时间t的导数，我们有

当V2（X（t））≥L，V2（X0）＞L（t≥t0）时，

注2 取参数a＝35，b＝；由定理2系统（1）的正半轨线包含在下列所定义的集合.如图3所示.从图3中可以看出系统的正半轨线最终进入Ω1与定理2的理论结果相吻合，表明了计算结果的正确性.

3 结论

利用动力系统的基本理论研究了一类混沌系统的一些基本的动力学行为，并且给出了相应的计算机模拟，其结果证明了研究结果的正确性与有效性.

［1］ 杜文举，俞建宁，张建刚，等.一个新四维混沌系统的分岔分析［J］.东北师大学报：自然科学版，2014，46（1）：80－87.

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Dynamical analysis of a class of chaotic systems

QIN Jin

（School of Mathematics and Computational Science，Zunyi Normal College，Zunyi 563002，China）

Equilibrium points and its stability，positively invariant sets，and global attractive sets are all important problems in dynamical systems.Based on Lyapunov functions theory，we have investigated the equilibrium points，global attractive sets of the new 3－D chaotic system.Base on the global attractive sets obtained in this paper，we can get the boundedness of all variables of the system.Finally，we give the simulations about our results in the paper.Numerical simulations is consistent with our computation.

chaotic system；Lyapunov stability；equilibrium point；boundedness solutions

O 241.84；O 29；O 242.1 ［学科代码］ 110·61 ［

］ A

（责任编辑：陶理）

1000－1832（2015）01－0048－05

10.16163／j.cnki.22－1123／n.2015.01.010

2014－07－18

国家自然科学基金资助项目（71461027）；贵州省科技厅·遵义市科技局·遵义师范学院联合基金资助项目（201209）.［作者简介］ 秦进（1975—），男，硕士研究生，副教授，主要从事混沌系统的有界性及其数学应用研究.