邹　争，董从林，袁成清，毛树华，严新平

(武汉理工大学，湖北 武汉 430063)

基于二参数威布尔分布的水润滑橡胶尾轴承可靠性寿命分析

邹争，董从林，袁成清，毛树华，严新平

(武汉理工大学，湖北 武汉 430063)

摘要：保障船舶尾轴承的可靠性使用是保证船舶安全可靠运行的关键技术之一。针对水润滑橡胶尾轴承运行环境的复杂性、寿命失效数据难以收集等特点，对水润滑橡胶尾轴承模型进行适当简化，通过实验模拟，采用威布尔分布与极大似然估计相结合的方法建立数学模型来间接评估尾轴承的可靠寿命。结果表明，实际数据和数学模型具有较好的拟合精度；船舶水润滑橡胶尾轴承的中位寿命较平均寿命更为保守；进一步提高橡胶材料的承载、抗磨和抗老化能力对提高水润滑橡胶尾轴承的使用寿命极为有利。

关键词：水润滑橡胶尾轴承；威布尔分布；极大似然估计；可靠寿命

0引言

船舶水润滑橡胶尾轴承是船舶推进系统的关键支撑、易损部件。水润滑橡胶尾轴承具有众多优点，首先，使用水润滑橡胶尾轴承能有效避免油脂类润滑剂泄漏造成对江河湖泊的污染；其次，水润滑橡胶尾轴承具有较好的耐热性、耐磨性和密封性，也具有优异的抗冲击、吸震等力学性能。由于其可靠性使用寿命直接影响船舶的安全运行和经济效益，探索水润滑橡胶尾轴承的可靠性寿命并做出相应分析具有重要意义。因此，众多专家学者开展了对水润滑橡胶尾轴承的研究[1-2]，推动其在船舶领域的广泛应用。

然而，即使一批结构形式、尺寸、材料和加工方法上都相同的水润滑橡胶尾轴承，它们的使用寿命却各有长短，不尽相同，其原因是多方面的。首先，在交变载荷的作用下，水润滑橡胶尾轴承的使用寿命可能相差几倍甚至几十倍；其次，工作环境如温度和压力的变化也会对它的寿命产生很大的影响。因此，有必要通过数据统计方法来确定船舶水润滑橡胶尾轴承寿命与可靠性之间关系的分布函数及其特征值。现在较流行的用于评估机械设备或零件寿命的数学模型包括指数分布、正态分布、对数正态分布和威布尔分布[3]。对比前几种数学模型，威布尔分布兼容性好，对各种类型的数据拟合能力强，可以全面地描述船舶水润滑橡胶尾轴承不同失效期的失效过程与特征。因此，本文采用威布尔分布来评估水润滑橡胶尾轴承的综合寿命。

1基于二参威布尔分布的水润滑尾轴承可靠性寿命模型

1.1　水润滑橡胶尾轴承的威布尔分布模型

威布尔分布是由瑞典科学家威布尔(Weibull.W.)在1951年研究链的强度时提出的一种分布函数[4]。三参数威布尔分布的故障分布函数为：

(1)

式中：t为故障时间；m为形状参数；r为位置参数；t0为尺度参数。

威布尔分布的位置参数r为产品开始发生故障的时机，也称为最小的保险寿命或储存寿命。从理论上来说，由于船舶水润滑橡胶尾轴承存在一开始就发生故障的可能，当r=0，那么式(1)变成了二参数威布尔分布的数学模型。本文采用二参数威布尔分布对水润滑橡胶尾轴承的可靠性和寿命进行相关评估。

(2)

水润滑橡胶尾轴承故障密度函数为：

(3)

水润滑橡胶尾轴承可靠度函数为：

(4)

式中橡胶尾轴承的故障时间t可通过采集故障数据或实验模拟的方式间接评估获得，形状参数m和位置参数η则可通过不同的计算方式计算获得。评估出形状参数m和位置参数η后，即可获得任意可靠度下对应的水润滑橡胶尾轴承的寿命或任何寿命下对应的可靠度。

1.2　基于极大似然估计的威布尔分布的参数估计

计算评估威布尔分布的参数有多种方法，目前常用的方法有极大似然估计法、最佳线性无偏估计和最佳线性不变估计法、矩法和最小二乘法估计法等。文献[5-6]比较了以上各种计算方法的特点，结果表明极大似然估计法计算得出的数据能满足实际要求，因此本文选用极大似然估计法来求解基于威布尔分布水润滑橡胶尾轴承寿命评估模型的形状参数m和位置参数η。

水润滑橡胶尾轴承二参数威布尔分布的似然函数为：

(5)

两边同时取对数，可得水润滑橡胶尾轴承二参数威布尔分布的对数似然函数：

(6)

对式(6)中的二参数m,η分别求导：

(7)

观察可知，若直接令式(7)中的两式为0难以直接解出威布尔分布的二参，因此还需要做一系列的相应变换。于是令式(7)中第2式为0，则有：

(8)

将式(8)变形后有：

(9)

将式(9)带入式(6)后作相应变换有：

In[L(m,η)]=

(10)

经过上述计算和化简，最终式(10)变成了一个只与形状参数m有关的函数，通过数值计算找出能使极大似然函数取得最大值的m，再通过式(9)计算出尺度参数η，最终得到基于二参数威布尔分布的水润滑橡胶尾轴承可靠性寿命评估模型。

2水润滑橡胶尾轴承的模拟试验和数据分析

由于船舶水润滑橡胶尾轴承的生命周期太长，且其故障数据难以收集，给评估计算它的可靠性带来了一定的困难。本文将水润滑橡胶尾轴承模型简化，通过模拟试验得出相关数据，并基于试验数据来计算水润滑橡胶尾轴承威布尔分布模型的二参数。

众所周知，水润滑橡胶尾轴承和尾轴之间有一定的允许配合间隙。由于螺旋桨和尾轴自身重力的作用，通常尾轴承最下面一块板条所受的压力最大、变形最严重，因此尾轴承最下面一块板条最容易受到磨损。根据“短板理论”[7]，当尾轴承最易磨损的那块板条磨损达到一定的程度，使尾轴和尾轴承间的配合间隙大于最大允许配合间隙，即判定尾轴承失效，因此尾轴承的实际寿命可以用寿命最短的那块板条的寿命进行判定。

船舶水润滑橡胶尾轴承的简化模拟试验在SSB-100水润滑尾轴承试验台架上进行，试验装置如图1(a)所示，该台架可以实时测量摩擦系数和尾轴转速。与试块摩擦面配合的试验轴由45钢制成，其轴颈镶有ZQSn10-2衬套，衬套长175 mm，外径为149 mm。摩擦副采用喷水润滑的方式，润滑水系统可以调节水温和水量。试验采用丁腈橡胶板条作为试验材料，橡胶材料与铜H62板条粘合在一起，用夹具夹住铜质板条并向橡胶板条施加垂直压力，如图2所示。橡胶板条的具体参数如表1所示。分别在比压0.2，0.4和0.6 MPa下，6种不同转速(50，150，250，350，500和1 000 r/min)下进行不停机试验，总共是18种不同工况的试验，每种工况恒定载荷和转速，并进行8 h候的耐磨试验。由于其中1组试验失败，故得到17组有效数据。试验后将橡胶板条用烘箱烘干，分别用电子分析天平秤称量式样试验前后的质量，计算得出磨损量。

图1　SSB-100水润滑尾轴承试验台架Fig.1　SSB-100 test rig of water lubricated stern bearing

项目名称具体信息板条材料丁腈橡胶板条长度/mm50板条宽度/mm20橡胶厚度/mm10橡胶的密度/kg·m-31.725×103橡胶的弹性模量/Pa7.8×106橡胶的泊松比0.47

通过尾轴和尾轴承间的配合间隙判定丁腈橡胶尾轴承是否失效。在假定橡胶板条均匀磨损的前提下，用最大极限磨损厚度除以每小时的磨损厚度即可间接估算出试验橡胶板条的寿命，也就是承压最大的尾轴承板条的寿命。根据实际情况，由船舶水润滑橡胶尾轴承的设计标准可知，直径为150~250 mm尾轴承的最大允许配合间隙为5 mm[8]，相应计算公式如下：

尾轴承等效寿命=橡胶板条寿命=

公式简化后为：

按从小到大的排列顺序，相应的试验数据和计算结果如表2所示。

表2　尾轴承每小时的等效磨损量与对应的预测寿命

将上述评估数据代入式(10)中，用Matlab编写计算程序，一般来说m的取值为[0,10][9]，运行程序后得出当m^=1.60(1.597 7)时似然函数有最大值，其极大值所在的位置如图2所示。将m^代入式(9)可计算得出η^=13 768.07。

图2　极大似然函数随形状参数m的变化趋势Fig.2　Maximum likelihood function change with the　shape parameter “m”

根据故障分布函数的定义，设M为试验所用的橡胶板条的总数，在t时刻之前(包括t时刻)判定失效的橡胶板条的个数为m(t)，则经验故障分布函数可表示为：

(11)

将估算出的形状参数值m^和尺度参数值η^代入式(2)中，用Matlab作出故障分布函数F(t)随故障时间的变化曲线，并将由式(11)计算所得的由经验故障函数(t,F′(t))组成的散点描在趋势图上(见图3)。观察散点围绕故障分布函数曲线的分布情况，可以看出二者的拟合情况较好，这也说明用极大似然估计来解威布尔分布的二参数可行。

图3　故障分布函数与经验故障分布函数拟合曲线图Fig.3　The failure distribution function and experience　of failure distribution function fitting curve

3水润滑尾轴承可靠寿命评估

估出威布尔分布的二参后便能方便地计算尾轴承在不同失效时间的可靠度，或是不同可靠度下的失效时间。本文分析对比水润滑尾轴承的3个寿命，即平均寿命、额定寿命和中位寿命。

平均寿命可以用以下公式表征：

(12)

式(12)不易计算，可作适当变换，T的k阶原点距为：

(13)

(14)

得到：

(15)

令k=1， 可得平均寿命的计算公式：

(16)

额定寿命是可靠度取0.9时对应的寿命。将R(t)=0.9代入方程(4)中解得：

(17)

中位寿命为水润滑橡胶尾轴承的可靠度为R(t)=0.5的寿命，同样将R(t)=0.5代入方程(4)中，可得：

(18)

代入评估得出的形状参数值m^和尺度参数值η^，可计算得出平均寿命E(T)=12 344 h，额定寿命t0.9=3 373 h，中位寿命t0.5=10 949 h。

对比可见，中位寿命较平均寿命而言更为保守，可见利用可靠寿命来评估计算，对有需要的尾轴承进行及时的更换维修有利于降低故障率，提高经济效益。同时可靠度为0.9时的可靠寿命仅为3 373 h，过低的可靠寿命表明试验材料间的寿命差异较为巨大，这可能与试验橡胶板条的质量有关，进一步提高橡胶板条材料的承载、抗磨和抗老化能力对大幅提高尾轴承的寿命和可靠度极为有利。

4结语

本文对水润滑橡胶尾轴承进行了一定程度的简化，提出尾轴承的寿命由承压最大、磨损最快的最下面一块板条的寿命所决定，同时用试验的方法来间接获得了尾轴承的失效数据，然后建立了基于二参数威布尔分布的水润滑橡胶尾轴承寿命模型，得到了一些有意义的结论：

1)利用试验所得的数据，文中用精确度较高的极大似然估计对二参数威布尔分布数学模型进行了评估计算，分析结果表明极大似然估计评估出的故障分布函数与实际数据间有较高的拟合精度。

2)对比平均寿命，可靠寿命和中位寿命，结果表明可靠寿命更为保守，用可靠寿命进行计算评估，对尾轴承进行及时的更换修理有利于降低故障率，提高经济效益。计算所得的额定寿命较低，由尾轴承的失效机理可知，进一步提高橡胶材料的承载、抗磨和抗老化能力对提高尾轴承的可靠寿命极为有利。

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Analysis reliability life of water lubricated rubber stern tube bearing based on two-parameter weibull distribution

ZOU Zheng,DONG Cong-lin,YUAN Cheng-qing,MAO Shu-hua,YAN Xin-ping

(Reliability Engineering Institute,Wuhan 430063,China)

Abstract：The reliability of the ship stern tube bearing is one of the key technologies to ensure safe and reliable operation of ship. For the water lubricated rubber bearing stern, which is under complex operating environment and difficult to collect life failure data, an appropriate simplification water lubricated rubber stern bearing model has been proposed to establish the mathematical model to indirectly assess the reliability life of stern bearing through simulation experiments using the Weibull distribution combining with maximum likelihood estimation method. The results show that there is good fitting accuracy between actual data and mathematical model. The median life of water lubricated rubber stern bearing is more conservative than the average life. The further improvement on the bearing capacity, wear and anti-aging capability of rubber material is extremely beneficial to improve the service life of water lubricated rubber stern tube bearing.

Key words：water lubricated rubber stern bearing;weibull distribution;maximum likelihood estimation;reliability life

作者简介：邹争(1990-)，男，硕士研究生，主要从事船舶动力装置系统性能分析方面的研究。

基金项目：教育部新世纪优秀人才支持计划资助项目(NCET-12-0910)；湖北省高端人才引领培养计划资助项目(鄂科技通[2012]86号)；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(2012-II-018)

收稿日期：2014-03-26； 修回日期： 2014-04-08

文章编号：1672-7649(2015)02-0048-05

doi：10.3404/j.issn.1672-7649.2015.02.010

中图分类号：TH117.1

文献标识码：A