郑庆云 宋一杰

（天津大学仁爱学院 天津 301636）

金融保险中最优分红问题的研究综述

郑庆云 宋一杰

（天津大学仁爱学院 天津 301636）

红利分配问题主要来源于对公司经营盈利进行处置的财务决策问题的研究。分红指公司根据将部分经营盈余分配给股东或者投资者，分红在一定程度上反映了公司的经营效益。如果分红太多，会降低公司的抗风险能力；同时如果股东预测公司未来的经营收益较好，会更希望将盈余留在公司资产中运营，以得到更多的回报。所以，采取怎样的分红策略，即何时分红和分红量的大小就成了热点研究问题。最优分红就是寻找一种分红策略使得期望累积折现分红达到最大。本综述立足于近十几年来的研究成果，围绕着当公司破产时融资和不融资两个方面进行梳理，以期对今后继续研究提供有益的参考。

一、研究背景

在1957年的第15届国际金融大会上，De Finetti介绍了一篇关于红利分配的文章，讨论了分红问题，提出最优分红策略应该使得破产前的期望折现分红总额最大，并在文中假设单位时间内的保费收入额为1或-1的情况下，证明最优分红策略存在并为边界策略，并且得到了确定最优分红界限的方法。受到前者的思想启发，Miyasawa在1962年研究了一般的随机过程，得到了最优分红策略为带状策略。1969年，Gerber首次研究了连续时间古典风险模型中的最优分红策略。二十世纪九十年代精算学者开始把随机控制理论用到保险风险模型中，最优分红问题的研究才有了进一步发展。

在经营过程中，保险公司会采用一些其他方法来降低风险并提高收益，如融资。Sethi et al［1］（2002）提出了引入融资的可能性，即当公司资产为负时，可以通过注资阻止破产。Dickson［2］（2004），Gerber el at［3］（2006）认为股东应该承担公司破产时刻的赤字。此时，最优分红问题就成了寻找最优注策略使得股东净收益最大化，即金融保险中的随机最优控制问题。

二、不带融资的最优分红问题

在最优分红的问题研究中，经典模型和扩散模型得到了较多的关注。经典模型中求解很困难，一般很难得到显示解。而扩散模型中多数情况下可以得到形式较为完美的显示解，引起学者的很大兴趣，人们希望扩散模型的研究结果也能给经典模型的求解带来启发。

对于经典模型，1969年，Gerber首先研究了离散时间的最优分红问题，随后通过令离散区间趋于零，将离散模型连续化，这样就得到了连续时间的最优分红问题，并证明最优分红策略为带状策略.Azcue［4］（2005）将最大分红累计折现期望值函数作为相应HJB方程的最小粘性解，得到最优分红策略是带状策略。Schmidli［5］（2008）用不同于粘性理论的方法处理最优分红问题，并证明了最优反馈解的存在性，给出了对应的HJB方程，且通过值函数构造了一种可行的带状策略，并证明了这种策略确实是最优分红策略。Fang&Wu［6］（2007）对常利率的复合泊松模型进行了讨论，并指出最优分红策略是阀值策略，Albrecher［7］（2008）讨论了常利率的古典风险模型的最优分红问题，并得到了相应的HJB方程的粘性解。而Yang［8］（2012）在随机利率下讨论了最优分红问题，在阀值策略下，得到其精确解.Gerber［9］（2010）研究了离散的复合泊松模型下的分红问题。Wang&Yin［10］（2011）研究了带再投资的复合泊松模型，通过刻画最优分红值函数和相应HJB方程的粘性解处理分红问题。Li etal［11］（2011）讨论了双复合泊松风险模型下按比例分红问题，证明了两个索赔都是指数分布下的最优策略为阀值策略。Ying［12］（2014）研究了当索赔计数为广义泊松过程时的扩散模型，在某些特殊情况下的最优分红策略为边界策略。通过以上介绍，也可以看到只能在某些特殊情况下才能得到最优分红策略或值函数的清晰解。

扩散模型的研究出现较晚，但是由于求解方面的优势引起人们的关注。受到Aamussen，Taksar，Paulsen，Gerber，H？jgaard等科学家的早期研究工作的的启发，近些年涌现了大量的文章。H？jgaard［13］（2001），Asmussen et al［14］（2000），Choulli et al［15］（2003），Paulsen［16］（2003），Gerber［17］（2004）这些文献中，都是在扩散模型下运用HJB方程来解决最优问题。2004年Friedrish&Walter在此基础上引入了效用函数，对值函数解的存在唯一性进行了证明，并对其收敛性进行了分析。2001年Sethi&Taksar进一步考虑了一般化的扩散过程，2003年Gerber and Shiu考虑了几何布朗运动模型中的随机分红和带边界的融资问题。同时，也有学者从其他方面对扩散模型进行的研究，如：Yang［18］（2005），He et al［19］（2008），Paulsen［20］（2013），Lin［21］（2010），等。

以上这些文献都是在不考虑融资的情况下进行的最优分红问题的讨论。而在保险实务中，若只考虑分红额最大，会大大提高公司的经营风险，若只考虑降低破产概率，就会损害到股东利益，同时人们也考虑到在公司破产时，股东也应有责任来清偿赤字，因此产生了公司融资策略的研究。

三、带融资的最优分红问题

融资是保险公司降低破产风险和使得分红最大化的重要手段，对金融实务有现实的指导意义，已经成为研究的前沿问题，得到了普遍关注。2007年Paulsen在分红和融资都带有固定和比例交易费用的扩散模型下，研究了使得“分红减融资”的净收益最大化的最优策略，并证明最优策略存在。Kulenko et al［22］（2008）首次考虑了古典模型下最优分红和融资问题，并证明对任意索赔分布，最优分红策略均为边界分红。随后，Bai&Guo［23］（2010）在连续时间的古典风险模型中考虑了分红和筹资均需固定交易费用时的最优分红和融资问题。

Zhang&Liu［24］（2012）研究了复合泊松模型中分红和融资均需比例和固定交易费用的最优分红与融资问题。He［25］（2010）研究了复合二项模型下的带融资的最优分红策略，证明了最优策略为边界策略。Wu&Guo［26］（2011）解决了双离散逼近Cramér-Lundberg风险模型，化简得到最优分红策略为边界分红。并由贝尔曼递归算法得到了最优分红边界和最优策略的近似方案。Fang［27］（2013）讨论了带有利息的Cramér-Lundberg风险模型，证明了最优分红策略是阀值策略，最优融资策略是在资产余额为负值时融资回零。Yao&Guo［28］（2013）考虑了分红和融资都带有比例交易费用，且融资还需缴纳固定交易费用的扩散模型，得到了依赖于模型参数的显示解。Paulsen［29］（2013）研究了跳扩散模型下最优分红问题，假设跳扩散是带有负跳的复合泊松过程。Yao et al［30］（2014）考虑了对偶模型下带有融资和固定交易费用的最优分红问题，在分红率受限且允许公司破产时，对应的极限结果显示，当收入符合超指数分布时，分红策略和值函数得到了清晰解。以上文献都是在2014年Dickson&Water提出“永不破产”的约束条件下进行的研究。

有一些文章也将是否带有融资的对分红情况的影响进行了比较。2007年Avram在光谱负lévy模型下，考虑了没有融资和资本注入永不破产的两种情况下的最优分红问题，并清晰描述了在边界策略下的最优策略和值函数。Arne L？kka&Mihail Zervos［31］（2008）讨论了扩散模型下通过带有分红和注资的最优分红问题，发现根据模型参数不同，最优策略要么是不需要注资的要么是注资永不破产的，这与2010年Avanzi在边界分红策略下研究的对偶扩散模型中带融资和比例交易费用的最优分红策略有相似的结论。Guo&Wu［32］（2012）在带有融资和比例成本及动态比例再保险模型下，通过构建无融资和永不破产这两个次优解解决了最优问题。Yin&Kam［33］（2014）讨论了跳扩散模型下带有融资和比例交易费用的最优分红问题，并分别研究了不带有融资和永不破产两种情况下的最优分红策略，并在特殊条件下给出了最优分红策略的显示解。

四、结束语

由于对金融保险实务有很重要的指导意义，关于红利分配的优化问题一直是研究热点，分红问题涉及到的风险模型很多，但是能有较为完美结论的很少，很多情况下得不到清晰的解和最优策略，而且高维风险模型中的分红策略的研究也存在很大的空间。另外，融资也会对分红策略的研究产生很大影响。正如上述所见，文章中的融资多集中在公司盈余为零时融资，很少在盈余非零时融资，随着保险事业的发展，这些热点问题仍然还有很大的研究价值。

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