巩欣亚， 张 煜， 张永战， 沈 宏， 潘永华， 高惠滨(. 南京大学物理学院，江苏 南京 20093； 2. 中国科学院 大气物理研究所，北京 00029)



竖直液柱与水平液面作用激起毛细波探究

巩欣亚1，2， 张 煜1， 张永战1， 沈 宏1， 潘永华1， 高惠滨1
(1. 南京大学物理学院，江苏 南京 210093； 2. 中国科学院 大气物理研究所，北京 100029)

探究竖直液柱自由下落到水平液面上，液柱底部受扰激起的表面毛细波传播出现稳定的波节、波腹，如同“驻波”形式的实验现象。利用Navier-Stokes方程分析表面毛细波的传播规律；对比实验探究不同初始条件下，竖直液柱与水平液面相互作用激起毛细波的现象。结果表明,下落高度及水平液面性质有关；纯净深水液面与浅水液面的对比实验表明，浅水液面上液柱底部更易激起稳定毛细波，相同条件浅水液面上激起的毛细波波数较大，波长较短；油膜液面上竖直液柱底部的毛细波被抑制，出现一段笔直液管，并在液柱中部激起稳定的毛细波形。

毛细波； 液体表面张力； 竖直液柱； 驻波； 水平液面

0 引 言

用手指截住自由下落的细水流，保持竖直液流处于稳定的层流状态，当手指距离水龙头口约几cm处时，在液柱底部可观察到稳定的波节和波腹现象，如同“驻波”形式(见图1)。将手指不断抬高，竖直液流受到的扰动增大，表面毛细波不再保持稳定形式，连续的液流将断裂成大液滴。若截住下落液柱的手指上沾有油污或肥皂，液柱底部的毛细波将受到抑制，出现一段光滑的笔直液段，而在液柱中部激起稳定的毛细波形。

图1 水龙头下竖直液柱表面的波动现象

水平液面上液体表面流速v与表面毛细波波数k(=2π/λ)的关系[1]：

v2=Tk/ρ+g/k

(1)

式中：T为液体表面张力；ρ为液体密度；g为重力加速度。Lord[2]根据式(1)提出通过对液流速度和液体表面张力波波长的光学测量，计算流动的液体表面张力系数的方法[3-5]。随后Yoshimasa等[1，6]先后观察并初步讨论了竖直液柱表面的毛细波传播现象。Awati K[7]在理想流体的基础上引入牛顿黏性力的作用，分析了黏性流体中液体表面毛细波的传播。Setterwall[8-9]首先注意到了液体表面活性物质对表面毛细波的影响，Matthew等[10]建立数学模型验证分析了竖直液柱底部的表面毛细波受到抑制，在液柱中部出现稳定毛细波形的现象。

本文针对下部水平液面的深度和表面性质对竖直液柱底部能否产生稳定的毛细波形，以及毛细波形的变化有着重要的影响，建立理想流体的基本物理模型，推导出影响竖直液柱表面出现稳定的“驻波”波形的条件。根据物理模型的分析，设计出稳定的实验装置和对比实验方案，分别使自由下落的竖直液流冲击到纯净的深水液面、浅水液膜表面以及薄层油膜液面上。通过控制初始条件的变化探究竖直液柱表面激起的表面毛细波波形对不同实验条件的响应。

1 基本物理模型

竖直液柱在自由下落过程中，液柱中的液流速度受到重力作用加速；同时，只要液流保持稳定连续，根据连续方程可得液柱的截面半径随着下落高度也有缓慢减小。

柱坐标系下，垂直方向z以向下为正，设定常流量为Q，密度为ρ，黏性系数为ν，液体表面张力系数为σ，液柱中液流初始流速为U0，初始截面半径为a。在大雷诺数Re=Q/(aν)条件下忽略黏性流体的作用，假设竖直液柱的流速只与下落高度z有关，流速表示为U(z)，截面半径为r(z)。根据流体力学方程组推导竖直液柱在重力作用和液体表面张力作用下，液柱中液流速度和液柱截面半径随下落高度的变化[10-12]：

(2)

(3)

(4)

表示随着下落高度z增大，液柱中的液流速度U(z)增大，液柱截面半径r减小。

下面分析长直液柱表面受到小扰动激起毛细波的波动情况。设平衡半径为R0，径向小扰动为ε(ε≪R0)。液柱截面半径r=R0+ε·exp(ωt+ikz)，其中，k=2π/λ为毛细波数，ω=2πυ为圆频率。根据竖直液柱的Navier-Stokes方程，结合边界条件解得表面毛细波的传播方程[11]：

(5)

式中：V为波动速度；In(x)表示第一类贝塞尔函数；

f(x)=(1-x-2)·I1(x)/I0(x)

是对有限截面半径的竖直液柱的修正，f(1)=0，f(10)≃0.94，f(50)≃0.99[1]。因此当kR0有限但逐渐增大时，f(kR0)逐渐趋近于1，竖直液柱退化为水平液面，传播方程形式与式(1)相同。

在自由下落的竖直液柱表面看到稳定的毛细波传播，将式(4)与(5)比较，即令表面毛细波的传播速度与液柱下落的流速相同，在实验室参考系下将看到稳定的“驻波”形式。用液柱截面半径r代替平衡半径R0，在初始流速U0、下落总高度H和毛细波波数k之间，具有如下关系：

(6)

因此，可以设计定量实验验证液柱表面毛细波与初始条件的关系，进一步实验探究与不同水平液面作用，液柱表面毛细波的变化。

2 实验方案设计

设计实验装置如图2所示，可用于定量调节初始条件，并准确测量毛细波形的变化：右边的大量筒、流量计和潜水泵组成稳定的循环水系统；流量计和竖直千分尺可分别定量调节竖直液柱的初始流量Q=πa2U0和下落高度H；左边的大、小水池构成连通器，保证实验中水平液面的稳定；固定的CCD摄像头连续记录竖直液柱表面的毛细波形，再利用图片处理软件截取稳定毛细波段，并计算平均波数和平衡截面半径之积。

图2 实验装置示意图

实验对比竖直液柱与深水液面、浅水液面和油膜液面的相互作用：①竖直液柱自由下落到实验水池中，视为与无限大深水液面的相互作用；②在实验水池中加入固体介质，使其上表面恰好没入水平液面形成浅水液膜；③在深水液面表面缓慢滴入清油，待其自然扩散成薄层油膜后，使竖直液柱自由下落到油膜液面上。

3 实验结果

在相同初始条件下，竖直液柱与深水液面、浅水液面和油膜液面的相互作用，都激起了稳定的表面毛细波，但具体形式有微小变化。如图3所示：(a)深水液面上，竖直液柱底部出现稳定的毛细波形；(b)浅水液面上，液柱底部激起的毛细波形与深水液面相比，波长变短，波数变大，且更易达到稳定状态；(c)油膜液面上，液柱底部毛细波受到抑制，出现一段笔直的光滑液段，在液柱中部激起稳定的毛细波形。

(a)深水液面(b)浅水液面(c)油膜液面

图3 竖直液柱与不同水平液面相互作用激起毛细波实验图

3.1 竖直液柱与深水液面相互作用

图4表示在不同初始条件下，竖直液柱与深水液面相互作用液柱底部激起毛细波形的变化，图中：Q表示初始流量，L/h；H表示液柱下落高度，mm。由图4看出，初始流量Q保持一定时，随下落高度H逐渐减小，竖直液柱表面毛细波波长增大，波数减小，而竖直液柱的平衡截面半径随下落高度的变化不大；由图4(a)、(d)、(g)(或图4(b)、(e)、(h)，图4(c)、(f)、(i))看出，下落高度H保持一定时，随Q增大，液柱表面毛细波波长减小，波数增大。

(a)Q=10，H=15．9(b)Q=10，H=12．1(c)Q=10，H=9．2(d)Q=14，H=11．6(e)Q=14，H=11．6(f)Q=14，H=8．6(g)Q=18，H=15．5(h)Q=18，H=11．5(i)Q=18，H=8．7

图4 不同初始条件下竖直液柱与深水液面相互作用激起毛细波实验图

3.2 竖直液柱与浅水液面相互作用的对比实验

相同初始条件下，对比实验探究竖直液柱在深水和浅水液面上激起毛细波形的变化。改变实验条件，验证竖直液柱与纯净水平液面作用，表面毛细波的kr与初始条件间的线性变化关系。

图5为竖直液柱与(a)深水、(b)浅水液面相互作用，表面毛细波的kr与下落液柱高度H的线性拟合曲线。表1为不同初始流量下kr—H线性拟合曲线的相关参数，不同流量分别对应图5中的一条拟合曲线。在竖直液柱与纯净水平液面的相互作用中，kr—H拟合曲线的斜率始终为正，表示当初始流量一定时，表面毛细波的kr与下落高度H正相关；当初始流量逐渐增大时，kr—H拟合曲线的斜率逐渐增大。对比深水和浅水液面，初始流量相同时，浅水液面的kr—H曲线斜率比深水液面的大。

竖直液柱与纯净水平液面相互作用激起液体表面的扰动，其中一部分扰动能量将以毛细波形式沿竖直液柱表面传播；另一部分能量将耗散在水平液面上。在浅水液面上，竖直液柱向下冲击坚硬的固体表面，激起的扰动将沿竖直液柱向上反射，因此液柱表面的毛细波波长较短，波数较大，携带扰动能量较大。若液柱的下落速度过大，还将出现湍流现象，难以观察到稳定的毛细波形。

(a) 深水液面

(b) 浅水液面

Q/(L·h-1)深水液面浅水液面截距斜率相关系数截距斜率相关系数60．13840．00910．97-0．05890．01070．9670．18930．00970．98-0．01310．01200．968-0．18660．01180．99-0．00570．01250．9290．23810．01030．980．07600．01280．9810-0．16920．01420．950．46870．01290．9711-0．09930．01460．990．44480．01440．9212-0．12010．01550．990．47970．01450．9813-0．42360．01760．990．18730．02130．9714-0．05060．01830．99150．32230．01750．97

3.3 竖直液柱与油膜液面相互作用

图6为在深水液面表面加入一层薄油膜，竖直液柱与油膜液面作用激起的毛细波实验图。如图所示，可将竖直液柱化分为调整段、驻波段和笔直液段。设水的液体表面张力系数为σ，油膜的液体表面张力系数为σ′(σ′<σ)。由于吉布斯-马朗格尼效应[13-15]，使得液体从液体表面张力低的地方向液体表面张力高的地方流动，竖直液柱底部的毛细波形将被抑制，出现一段表面光滑的笔直液段，其高度h与液体表面张力系数的梯度Δσ=σ-σ′有关[5]：

(7)

竖直液柱中部重新激起稳定的“驻波”波形，可以看作初始流量Q和实际下落高度(H-h)条件下，竖直液柱与纯净水平液面作用激起的毛细波动。

图6 竖直液柱与油膜液面相互作用的毛细波形实验图

图7表示竖直液柱与油膜液面相互作用的实验结果：(a)笔直液段。当初始流量一定时，液柱底部的笔直液段高度h随下落高度H增大而减小；当下落高度一定时，底部笔直液段高度h随初始流量Q增大而减小。(b)驻波段。当初始流量一定时，竖直液柱表面毛细波的kr与(H-h)成正比关系；当初始流量逐渐增大时，kr—(H-h)拟合曲线的斜率也逐渐增大。油膜液面上驻波段的性质与纯净水平液面相似。

4 结 语

本文在理想流体的理论模型下，讨论了影响竖直液柱表面波动形式的因素，解释了竖直液柱与水平液面相互作用，液柱表面及其毛细波的现象。设计了一整套稳定可控的实验装置。定性分析竖直液柱与纯净深水液面相互作用的实验现象，并通过定量实验验证了表面毛细波的kr与初始流量Q和下落高度H之间存在线性关系。

通过对比实验，分析讨论了纯净水流分别冲击到深水液面、浅水液面以及油膜液面上时激起的液柱表面毛细波波形的变化。发现在相同条件下，与纯净深水液面相比，浅水液面上竖直液柱底部激起的毛细波波长较短，kr—H拟合曲线的斜率较大。油膜液面上竖直液柱底部的毛细波被抑制，出现一段表面光滑的笔直液段，在液柱中部激起稳定的毛细波形，毛细波的kr与(H-h)具有线性相关关系。根据竖直液柱与不同水平液面相互作用激起毛细波形的微小变化，可以对水平液面性质的微小变化作精密的检测。

(a) 笔直液段

(b) 驻波段

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Capillary Waves on Vertical Jets Impinging upon Different Types of Liquid Surfaces

GONGXin-ya1,2,ZHANGYu1,ZHANGYong-zhan1,SHENHong1,PANYong-hua1,GAOHuibin1
(1. Department of Physics, Nanjing University, Nanjing 210093, China;2. Institute of Atmospheric Physics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100029， China)

When small cylindrical fluid jets impinge upon liquid surfaces, a stationary field of capillary waves can be excited on the base of the vertical jets. Theoretical description of the phenomena is derived from transformation of Navier-Stokes equation. Comparative experiments showed that the form of wave pattern excited on vertical jet depends on the jet’s initial conditions and type of liquid surface. Further results are presented by theoretical and experimental investigation: 1) The form of wave pattern is influenced by several matters, the major ones are the initial flow velocity, jet’s downward distance and type of liquid surface. 2) Under the same initial conditions, the capillary wave pattern excited on a shallow water base is more stable than which excited upon a deep water base; and the capillary wavelength is shorter and wave number is smaller. 3) When fluid jets impinge upon a thin oil surface base, the field of stationary wave is suppressed on the bottom of the jets, and excited somewhere above.

capillary wave; liquid surface tension; vertical jet; stationary wave pattern; liquid surface

2014-04-04

南京大学教育部大学生创新训练计划项目(XZ1110284090)资助

巩欣亚(1990-)，女，四川成都人，硕士，主要研究方向为大气物理及流体力学。

Tel.:13021121846;E-mail: gongxinya13@mails.ucas.ac.cn

潘永华(1971-)，女，浙江义乌人，高级工程师，现主要从事大学物理实验和演示实验教学研究。

Tel.: 025-89680302；E-mail：pan_yong_hua@sina.com

O 353.3

A

1006-7167(2015)02-0029-05