□凌 龙 钱学明

近年来，随着经济规模的迅速扩大和工业化进程的加快，大气污染日趋严重。2013年1月，我国中东部地区相继出现大范围雾霾，城市能见度降低，空气质量差，对交通安全和人们的日常生活造成了严重影响。目前，雾霆天气的发生已经无法避免，如何减少雾霾天气造成的损失和伤害，降低雾霾天气污染物对人们身体健康的毒害，成为众多专家学者关注的焦点［1～2］。不难发现，雾霾问题的解决在于预防和治理，而其基本任务是要迅速建立有效的监测系统。为此，我们需要解决两个基本问题。其一，天气状况的预报依赖于模型，雾霾作为一种天气现象，需要建立符合其内在规律的数学模型。其二，雾霾环境的有效监测在于能否确定最佳的测量时间。研究发现，大气污染呈现为一个扩散输运过程，其特点是系统的状态不但依赖于时间而且依赖于空间，且具有复杂的动态特性。陈英杰等［3］通过扩散过程的动力学分析，建立了大气污染的三维反应扩散模型。基于此类模型，Qian［4］进一步讨论了扩散过程中移动控制下的优化测量方案。

一、区域雾霾环境的模型描述

本文考虑一类线性反应扩散方程描述区域雾霾的天气

其中x 表示一维空间的位置，x∈［0，ι］，时间t∈R+，N(x，f)表示雾霾环境中t 时刻x 处污染物的浓度，ɑ ＞0 为扩散系数。系统满足初始条件N(x，0)=N0(x)和Dirichlet 边值条件N(0，t)=N(l，t)=0。φ(x)＞0 为吸收衰减函数，且φm≤φ(x)≤φM。

二、模型的稳定性分析

定理:区域雾霾环境的线性扩散模型(1)在其初、边值条件下，若满足α ＞0 成立，则(1)是全局指数稳定的。

证明:对于动态系统(1)，我们取Lyapunov 函数如下

计算沿系统(1)轨迹的时间导数

以下讨论系统的指数稳定性。为此，考虑

于是，eαtV(t))=V(0)+(eαtV(t))ds≤V(0)，不难计算得到V(t)≤e-atV(0)。

因此，‖N(x，t)‖2≤ρ0e-at。即系统(1)是全局指数稳定的。

三、测量时间优化方案

事实上，雾霾天气的产生来源于大气气溶胶的影响［5］。研究表明，大气气溶胶的测量可用于雾霾的定量。换言之，我们通过测量大气气溶胶来间接确定雾霾的浓度。

因此，对于区域雾霾的线性扩散模型，系统的测量输出可以写成以下形式。

其中U(x，t)为仪表测量输出的电压值，U0为太阳地外常量，σ 为大气中所含气团量，一般取σ=1/sinθ(θ 是太阳光入射到地面的夹角)，D(x，t)为气溶胶光学厚度，与雾霾浓度N(x，t)线性相关，即D(x，t)越大，N(x，t)越大，反之亦然。因此，D(x，t)可用来表征雾霾浓度N(x，t)。w(x，t)表示不同位置的测量噪声。假设w(x，t)为独立分布的白噪声，且满足E{w(x，t)}=0，E{w(s，t0)wT(x，τ)}=I。

为了得到系统的最佳测量时间，我们将仪表的测量输出在t=t0的领域内线性化。利用泰勒公式，则(4)式可写为U(x，t)=g(x，t0)+t=t0(t-t0)+o(ρ)+w(x，t)，其中，g(x，t)=U0e-σD(x，t)。

考虑到g(x，t0)+t=t0t0与t 无关，且忽略高阶项，则可近似写为

其中h(x，t0)=|t = t0= -|t=t0。

设输出误差平方准则函数为

利用加权最小二乘法计算可知，时间估计误差的方差最小时，时间估计值满足:

通过以上分析可知，μ 与最佳测量时间t0有关，且其取最大值时时间估计误差的方差最小。因此，使μ 取得最大值的t0即为所求最佳测量时间。

四、数值例子

图1 雾霾浓度的时空分布

系统在［0，1］上测量输出为U(x，t)=U0e-σD(x，t)+w(x，t)。设最佳测量时刻为t1，我们考虑μ(t1)，计算可知当t1=0．02时，μ 最大。于是，t1=0．02 为系统的最佳测量时间。

［1］张军英，王兴峰．雾霾的产生机理及防治对策措施研究［J］．环境科学与管理，2013，38(10):157～159

［2］周广强，陈敏，彭丽．雾霾科学监测及其健康影响［J］．科学，2013，65(4):56～59

［3］陈英杰，刘玉良，刘萍．三维大气污染反应扩散方程模型［J］．哈尔滨师范大学自然科学学报，2014，5:1～3

［4］X．Qian．Optimal monitoring in reaction-diffusion model of the atmospheric pollution［J］．Journal of Simulation，2015，3(2):3～6

［5］何杰，董国波，李英姿，等．使用太阳光度计测大气雾霾［J］．物理实验，2013，33(11):1～3