胡英，张东，袁建征，黄绍坚，姚弟，徐凌，张才，秦前清

（1.中国石油勘探开发研究院物探技术研究所；2.武汉大学物理科学与技术学院；3.武汉大学测绘遥感信息工程国家重点实验室）

Laplace-Fourier域多尺度高效全波形反演方法

胡英1，张东2，袁建征2，黄绍坚2，姚弟2，徐凌1，张才1，秦前清3

（1.中国石油勘探开发研究院物探技术研究所；2.武汉大学物理科学与技术学院；3.武汉大学测绘遥感信息工程国家重点实验室）

针对常规Laplace-Fourier域全波形反演计算量大、耗时长的问题，提出一种多尺度高效Laplace- Fourier域全波形反演方法，并针对Marmousi和Overthrust模型进行数值模拟。Laplace-Fourier域多尺度高效全波形反演方法对于不同频率点选择大小不同的网格，并且根据Laplace衰减常数选择不同的模型计算区域深度，既不影响反演精度，又显著提高反演计算效率，同时由于反演网格数减少，反演稳定性也有所提高。Marmousi和Overthrust模型的反演结果验证了算法的有效性，同时在缺失低频信息时，Laplace-Fourier域多尺度高效全波形反演结果仍较好。图16表2参27

Laplace-Fourier域；全波形反演；多尺度网格；多尺度计算；反演精度；反演效率

0 引言

通过全波形反演重建地下介质速度结构的反演方法突破了传统射线理论的局限，相比于走时反演，全波形反演结果的分辨率更高，目前已经得到越来越广泛的研究和关注。全波形反演通常可在时间域或频率域中进行[1-3]。由于全局优化方法计算量太大，目前只能采用基于梯度的局部优化方法求解多维反演问题，但这类方法容易使目标函数陷入局部极小值[4]，从而不能得到正确的反演结果。多尺度反演方法可以减少局部极小点，降低陷入局部极小点的概率，提高反演精度[5]。从频率域反演角度来看，相对于高频分量，低频信息分量具有较少的局部极小点，但由于实际观测条件限制，通过地震记录获得准确的低频分量信息存在困难[6]。目前实际应用中都是通过其他途径获得较准确的初始模型用于全波形反演，从而降低陷入局部极小的风险[7]，如通过反射层析、走时反演和Laplace域反演等方法生成初始模型[8-9]。

2008年Shin和Cha第1次提出Laplace域全波形反演方法[10]：利用衰减波形记录的直流分量进行反演，产生一个对初始模型不敏感的宏观模型，以此作为初始模型参与频率域全波形反演。Laplace域全波形反演比频率域全波形反演更稳定，但其反演深度受偏移距和衰减常数影响较大。随后Shin又提出了Laplace-Fourier域全波形反演[11]：结合Laplace域反演和频率域反演，通过直流分量和低频衰减波形记录，能同时产生长波长和中波长数据，Laplace-Fourier域反演结果可作为频率域全波形反演的初始模型。尽管真实地震记录中，频率小于5 Hz的低频数据是不可靠的，但该方法仍然能够产生一个合理的平滑模型[11]。虽然Shin等人开展了一些关于Laplace-Fourier域反演的研究[12-13]，但总体上，Laplace-Fourier域全波形反演的理论和方法研究尚不充分。

Laplace-Fourier域全波形反演需选择不同的衰减常数与多个频率点组合进行反演计算，若采用同时计算的并行反演方法，则需占用巨大存储资源，限制其应用范围。另外也可采用所有频率点和Laplace衰减常数点从低到高依次组合的串行计算方法[14]，解决计算存储量大的问题，但其计算效率低，需要多层循环，运算时间长。

笔者在Shin等人研究基础上提出一种多尺度高效反演方法（结合多尺度网格和多尺度计算区域两种方法），既不影响反演精度，同时有效提高Laplace-Fourier域全波形反演串行计算的运行效率。

1 Laplace-Fourier域全波形反演

时间域波形u（t）的Laplace变换u˜( s)可以表示成如下形式：

其中s = iω + σ[7]。

本次研究Laplace-Fourier域全波形反演在二维声波方程基础上，通过对时间域波场进行Laplace-Fourier变换实现。采用有限差分方法进行正演，利用完全匹配吸收层（PML）对模型边界进行处理[15]。对二维标量声波方程进行Laplace-Fourier变换，得到Laplace-Fourier域二维声波方程：

通过有限差分将（2）式离散，写成矩阵形式：

式中A与复频率和介质参数、离散近似格式以及吸收边界条件有关[16]。（3）式可用LU分解法或迭代法求解得到波形记录[17]。假设d为Laplace-Fourier域的观测波场记录，u是通过初始模型正演的模拟波场记录。使用基于L2范数（Euclidean范数）的残差构造目标函数，第i个激发点、第j个接收点残差为：

目标函数为：

使用预处理梯度法实现目标函数最小化，模型参数m的更新迭代关系为：

采用抛物线拟合的方法求取αk，∇E表示目标函数的梯度方向，Ha为近似黑塞矩阵[18]，用于提高反演的稳定性。λ为经验值，本文取为5×10-4。

对实际数据进行反演时，真实的震源函数通常未知。本文采用震源估计方法，利用估计的震源代替原始震源。将（3）式中的震源项乘以一个复数比例系数e作为估计的震源，则（3）式改写为：

反演采用的速度模型越接近真实模型，估计的震源就越接近真实震源。

2 多尺度高效反演方法原理

常规Laplace-Fourier域全波形反演迭代时的网格间距和模型计算区域深度都固定不变，因此计算效率低。本文提出的多尺度高效反演结合频率域和Laplace域，通过调整网格间距大小和模型的计算区域深度减少反演网格数，提高反演效率。

2.1 Laplace域多尺度计算区域算法原理

为了研究衰减波形记录特点，对单道数据的全波形进行分析（见图1）。σ值足够大时，波形记录类似于狄拉克函数，振幅峰值出现在0.1 s左右，之后振幅趋于0。若σ值小，则存在后续波形记录，σ值越小，续至波越多。续至波反映模型的深层信息，这是实现Laplace域多尺度计算区域反演的基础。

模型最大反演深度取决于最大炮检距和Laplace衰减常数σ值[19]。模型最大反演深度一般小于最大炮检距的一半，若炮检距小，反演就不能更新模型的深部区域。另外σ值对反演模型深度影响也很大。从图1可知，当σ值变大时，续至波基本消失，因此无法更新模型深部区域。图2为最大炮检距为9 km、σ分别为2 s-1和12 s-1、迭代第2次的速度梯度数值图。可见，当σ值较小时，反演结果既有浅层信息也有深层信息；当σ值较大时，深层区域速度梯度为0，反演结果仅有浅层信息，反演只能修正浅层速度。

Laplace-Fourier域全波形反演需要选择一系列σ值，按照σ值大小依次进行反演。本文按σ值由大到小依次对每个频率点进行反演，从而实现模型由浅层到深层的修正，并把反演结果作为下一个频率点反演的初始模型。常规Laplace-Fourier域全波形反演方法无论σ值多大，都计算整个速度模型，因此当σ值较大时反演效率不高。对于Laplace-Fourier全波形反演，可根据σ值大小调整反演计算区域深度，当σ值较大时，反演计算区域相应减小。与固定计算区域算法相比，多尺度计算区域算法不仅可显著提高反演效率，而且由于未知模型参数减少，反演稳定性也相应提高。

为了导出σ值与反演区域深度的关系，需估计最大炮检距与最小炮检距条件下的地震波传播深度（见图3）。当R1接收到来自S1的初至波时，R接收到的来自S的地震波所能穿透的最大深度为OD（S和R相距很近，为便于分析，标识距离较大），则S1与R1之间的波场最大深度范围为OD1～OD（考虑非初至波的多次反射、折射所造成的能量损失）。

图1 衰减的时间域波形记录

图2 σ值为2 s-1和12 s-1时第2次迭代的目标函数梯度

图3 理想地下结构中的地震波传播

若波形记录振幅衰减为原来的5%，则认为此数据已衰减到足够小，那么对于添加指数因子e-tσ的衰减波场而言，可忽略时的原波场数据[20]。对于最小炮检距（图3中S与R的距离，可近似为零），若将地下结构近似为一个均匀介质，平均纵波速度为v0，此时地震波能到达的最大深度近似表示为：

对于最大炮检距，只考虑其中初至波所能传播的深度，假定观测数据的最大炮检距为Sm，在此最大炮检距下，地下介质的水平方向纵波平均速度近似为v1，竖直方向纵波平均速度近似为v2，此时地震波传播的最大深度可近似表示为：

由于实际波场能够到达的深度范围为h1～h2，故计算区域深度公式可表示为：

2.2 频率域多尺度网格算法原理

1995年Bunks提出一种时间域反演的多尺度方法[21]：通过低通滤波将地震数据分成几个频率段，从低频段到高频段依次进行反演，每个频率段选择网格大小不同。时间域反演的多尺度方法首先利用低频数据反演出光滑的初始模型，然后利用高频数据反演出模型的小尺度不均匀信息，最终获得高分辨率的反演结果[22]。低频率点时，目标函数的非线性度低，同时可选的网格间距大，网格点少，局部极小值点相应减少，因此不仅可以提高反演效率，还可降低反演陷入局部极小的概率，且容易应用于频域反演[23]。

本文将该方法应用于Laplace-Fourier域全波形反演，将频率点从低到高依次进行反演，低频率点的反演结果作为高频率点反演的初始模型。反演中需要多次正演，正演的稳定性直接影响反演的稳定性。本文采用Jo等提出的优化9点有限差分差分格式进行正演[24]。为保证正演算法稳定性，需压制频散，因此每个波长至少由4个网格点表示[24]。本文采用正方网格，正演模拟的网格间距满足以下条件：

由（14）式可得Δd，若vmin不变，fmax越小则λmin越大，Δd越大，对应网格点减少，计算效率提高。

常规Laplace-Fourier域全波形反演方法针对所有反演频率点采用相同的网格间距，因此反演效率不高。本文提出的多尺度网格反演策略根据频率点调整网格间距：频率低时选择粗网格，频率高时选择细网格。频率低时，粗网格可减轻计算负担且更容易收敛到全局极小点。从大网格扩展到小网格时，新增加的小网格点若在大网格点连线上，则由最近的2个大网格点速度根据距离加权平均计算该点速度；若不在大网格点连线上，则由最近的4个大网格点速度值根据距离加权平均计算该点速度。

本文提出的Laplace-Fourier域多尺度高效全波形反演方法流程见图4。

图4 Laplace-Fourier多尺度高效全波形反演方法具体流程

3 模拟结果

为了验证Laplace-Fourier域多尺度高效全波形反演方法的有效性，选用Marmousi[25]模型和Overthrust模型[26]进行模拟实验。

3.1 Marmousi模型反演

Marmousi模型的宽度为9 212 m，深度为3 000 m，横向和纵向网格间距都为12.5 m，共有737×240个网格（见图5a）。反演使用的合成数据集由时间域四阶交错网格有限差分得到，震源为主频15 Hz的雷克子波，时间采样间隔为4 ms，记录时间为3 s，炮点总计360个，均位于地表，炮点间距为25 m，每个炮点对应360个接收点，接收点间距为25 m，最大炮检距为9 000 m。初始模型为简单均匀递增模型（见图5b）。

Laplace-Fourier域全波形反演一般选用小于5 Hz的频率点。本文采用4个频率点（0，2.1，2.8，4.2 Hz），σ值为2～14 s-1（间隔为2 s-1）。一般实际数据反演中，每个频率点和Laplace系数点采用多分量同时反演的群策略，反演结果会更稳健。由于本文讨论的重点是如何提升Laplace-Fourier域全波形反演的计算效率，故不考虑该策略。表1为研究采用的多尺度高效反演参数，频率低时网格间距大，网格数少。σ值大时模型计算区域浅，网格数减少，当σ值为2、4、6、8 s-1时反演计算整个模型；σ值为10、12、14 s-1时反演深度减小一半。常规Laplace-Fourier域全波形反演方法所有频率点网格间距一样，固定为25 m，且对所有σ取值反演计算整个模型。每个Laplace-Fourier点最多迭代10次，故整个反演最多需要4 710次迭代。

图5 Marmousi模型Laplace-Fourier域全波形反演

表1 Marmousi模型的反演策略

对比常规Laplace-Fourier域全波形反演和本文提出的多尺度高效全波形反演结果（见图5c、5d），以及两者单道反演结果（见图6），发现两者反演结果基本一致（都反演获得宏观模型），差别较小，单道反演曲线基本重合，说明两种方法精度基本相同。常规反演耗时为10.767 h，而多尺度高效全波形反演耗时3.100 h，耗时缩短至常规反演耗时的28.8%，反演效率为常规反演的3.47倍。综上可知，在不影响反演精度前提下多尺度高效反演计算效率比常规反演高很多。

图6 Laplace-Fourier域多尺度高效全波形反演和常规全波形反演结果单道对比

σ值不同反演效果也不同：σ值较大，反演深度较浅，反演精度较低；σ值减小，反演深度增大，反演精度提高。图7为频率2.1 Hz时σ从14 s-1减小到2 s-1（间隔为2 s-1）的7个点反演结果，图8为图7所对应的层间相对标准差。从图8可看出随着σ值减小，有效反演深度增加，虽然有些衰减系数条件下反演结果异常，但总体上深层分辨率逐渐提高。

以多尺度高效反演结果（见图5d）作为初始模型进行频域全波形反演，结果见图9。由于实际数据中低频数据不可靠，选择较高的频率点进行反演，本文选择的频率点为5.2，7.3，9.5，12.2，14.9，17.1和20.0 Hz。从图9c和图10可看出，除最深层区域，Marmousi模型的每个细节均已反演出来，说明本文提出的多尺度高效反演方法产生的初始模型可用于后续频域反演。

3.2 Overthrust模型反演

为了进一步验证本文提出的多尺度高效反演方法的有效性，采用地表速度变化较复杂的Overthrust模型进行模拟实验。

Overthrust模型的宽度为20 025 m，深度为4 675 m，网格间距为25 m，共有801×187个网格点（见图11a）。反演使用的合成数据集由时间域四阶交错网格有限差分得到，震源为主频15 Hz的雷克子波，炮点共计200个，均位于地表，炮点间距为100 m，每个炮点对应200个接收点，最大炮检距为20 km。初始模型是一个简单的均匀递增速度模型（见图11b），速度从地表的2 600 m/s递增到模型底部的6 000 m/s。

反演采用的频率点和σ值与Marmousi模型模拟相同，表2为采用的多尺度高效反演参数。常规Laplace-Fourier域全波形反演对所有频率点采用相同网格间距（本文固定为50 m），且对所有σ取值都反演整个模型。

图7 不同Laplace衰减系数条件下反演结果（频率点为2.1 Hz）

图8 不同衰减系数层间相对标准差

图9 不同频率点的频率域反演结果

常规Laplace-Fourier域全波形反演和多尺度高效全波形反演结果（见图11c、11d）显示，由于Overthrust模型更加复杂，两种方法在断层处的反演效果均较差，其他区域反演结果较理想，且两种方法的反演结果很接近。对比Laplace-Fourier域多尺度高效全波形反演和常规全波形反演结果（见图12），两者差别较小，说明两种方法反演精度基本相同。常规反演耗时8.533 h，多尺度高效全波形反演耗时2.267 h，耗时缩短为常规反演耗时的26.6%，反演效率为常规反演方法的3.76倍。

将多尺度高效反演结果（见图11d）作为初始模型进行频域全波形反演，结果见图13。选择的频率点分别为5.2，7.3，9.5，12.2，14.9，17.1和20.0 Hz。从图13、14可见，除最深层区域，Overthrust模型每个细节均已反演出来，再次说明本文提出的多尺度高效反演产生的初始模型用于后续频域反演的可靠性。

图10 多尺度高效反演结果和目标模型

图11 Overthrust模型的Laplace-Fourier域全波形反演

表2 Overthrust模型的反演策略

3.3 低频数据缺失Laplace-Fourier域反演

为了进一步验证Laplace-Fourier域反演在低频缺失情况下的反演效果，对主频15 Hz的雷克子波进行滤波，将完全去除5 Hz以下频率分量的波形作为震源与Marmousi模型合成波形记录数据。合成数据集由时域四阶交错网格有限差分得到，时间采样间隔为4 ms，记录时间为3 s。炮点、接收点及初始模型设置与Marmousi模型反演相同。

图12 Laplace-Fourier域多尺度高效全波形反演和常规全波形反演结果

反演时，震源采用正演中的子波，选择5 Hz以下的4个频率点（0，1.5，2.7，4.2 Hz），σ值从12 s-1降低到2 s-1（间隔为2 s-1），反演结果见图15a。将此结果作为频率域全波形反演的初始模型，选择频率点分别为7.3，9.5，12.2，14.9，17.1和20.0 Hz，反演结果见图15b。对比缺失低频震源的反演结果（见图15）与未缺失低频震源的反演结果（见图5d、9g），以及缺失低频震源的反演结果与目标模型（见图16），说明缺失低频信息时，Laplace-Fourier域反演结果仍较好，与理论分析结果一致[27]。

图13 7个频率点频率域反演最终结果

图14 多尺度高效反演结果和目标模型

图15 缺失低频震源的Marmousi模型全波形反演

图16 缺失低频震源的反演结果和目标模型对比

4 结论

基于常规Laplace-Fourier域全波形反演，提出一种多尺度高效反演方法。频率点的高低决定反演网格间距大小，Laplace衰减常数大小决定反演模型计算深度，本文将两者结合应用于Laplace-Fourier域全波形反演，频率点低，网格间距大；衰减常数大，反演结果深度浅。

通过减少网格数和不同Laplace衰减系数下反演模型的计算深度，提高了反演效率。Marmousi和Overthrust模型实验结果表明，多尺度高效全波形反演与常规Laplace-Fourier域全波形反演精度基本相同，而效率显著提高。但多尺度高效全波形反演方法仍需进一步完善和改进：一方面，虽然其反演效率有很大的提升，但对于大型模型的反演耗时仍较长；另一方面，多尺度高效全波形反演与常规全波形反演结果仍有些许差异，后期需进一步研究解决。

符号注释：

A——复阻抗矩阵；c——声波在介质中的传播速度（Laplace-Fourier域）；d——观测波场记录；diag——取对角元素；Dk——正则化近似黑塞矩阵；e——比例系数；E——目标函数；f——Laplace-Fourier域震源；fmax——最大频率，Hz；F——震源向量；gk——目标函数梯度；h1——最小炮检距的地震波传播深度，m；h2——最大炮检距的初至波传播深度，m；hm——计算区域深度，m；Hp——近似黑塞矩阵；i，j，k，l——序号；I——单位矩阵；mk——第k次迭代的模型速度参数；N——波场记录点总数；Nr——接收点个数；Ns——炮点个数；p——Laplace-Fourier域压强波场；P——压强波场向量；P*——压强波场向量的共轭向量；s——复变量，由实部和虚部组成；Sm——最大炮检距，m；t——时间，s；u——模拟波场记录；u（t）——时间域波形记录；( s)——Laplace-Fourier域波形记录；v0——介质平均纵波速度，m/s；v1——水平方向纵波平均速度，m/s；v2——垂直方向纵波平均速度，m/s；vmin——模型最小纵波速度，m；x——水平坐标，m；z——垂直坐标，m；ω——角频率，rad/s；σ——Laplace衰减常数，s-1；δr——波场残差；δr*——波场残差的共轭向量；αk——搜索步长，无因次；λ——正则化因子；α、β——比例系数；Δd——网格间距，m；λmin——最小波长，m。

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（编辑 林敏捷）

An efficient multi-scale waveform inversion method in Laplace-Fourier domain

Hu Ying1,Zhang Dong2,Yuan Jianzheng2,Huang Shaojian2,Yao Di2,Xu Ling1,Zhang Cai1,Qin Qianqing3
(1.PetroChina Research Institute of Petroleum Exploration &Development,Beijing 100083,China;2.School of Physics and Technology,Wuhan University,Wuhan 430072,China;3.State Key Laboratory of Information Engineering in Surveying,Mapping and Remote Sensing,Wuhan University,Wuhan 430072,China)

Aiming at the problem that large computational resources and long computation time are required for the conventional Laplace-Fourier domain waveform inversion,an efficient multi-scale grid algorithm with variable computed area is proposed,and used in inversion modeling of the Marmousi and Overthrust model.This algorithm can choose a proper grid spacing automatically according to the different frequency,and adjust the depth of computing area according to the Laplace damping constant.This algorithm not only improves inversion efficiency significantly without the loss of inversion precision,but also improves the stability due to the decrease of grid number.Inversion results of the Marmousi and Overthrust model demonstrate the validity of the algorithm.In addition,the inversion results by the algorithm still can be approximate to the real model when low frequency information is missing.

Laplace-Fourier domain;full waveform inversion;multi-scale grid;multi-scale computation;inversion precision;inversion efficiency

国家科技重大专项“大型油气田及煤层气开发”(2011ZX05003-003)；中国石油天然气股份有限公司配套项目“中西部前陆冲断带地震勘探关键技术应用研究”（2011B-0406）

TE122

A

1000-0747(2015)03-0338-09

10.11698/PED.2015.03.10

胡英（1968-），女，四川绵阳人，博士，中国石油勘探开发研究院物探技术研究所高级工程师，主要从事地震资料处理技术应用和叠前深度偏移速度建模方法研究工作。地址：北京市海淀区学院路20号，中国石油勘探开发研究院物探技术研究所，邮政编码：100083。E-mail：hy@petrochina.com.cn

联系作者：张东（1963-），男，湖北武汉人，博士，武汉大学物理科学与技术学院副教授，主要从事信号与信息处理理论及其在地球物理勘探等领域应用研究工作。地址：湖北省武汉市武昌区八一路299号，武汉大学物理科学与技术学院，邮政编码：430072。E-mail：dongz@whu.edu.cn

2014-07-08

2015-04-02