施元兰

正弦定理、余弦定理都是揭示三角形边角之间数量关系的重要定理，要求能够运用正余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.学了正、余弦定理后，不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼，当三角形中已知两边和其中一边的对角时，可能出现一解、二解、无解等情况，虽然书上也有相应的方法，可是一些同学茫然依旧.

近日在网上拜读了不少关于如何判断三角形的解的个数的文章，不少文章都认为在△ABC中，已知a，b和角A，常常可对角A应用余弦定理，并将其整理为关于c的一元二次方程c2-2bccosA+b2-a2=0，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解.

本人最近正好遇到当三角形中已知两边和其中一边的对角求解第三边的问题，发现这类观念有不当之处.

请看下例：

例1 在△ABC中，a=2，b=7，B=60°，则c= .

已知两边及其中一边对角利用正弦定理求解，解法如下：

在△ABC中，由正弦定理asinA=bsinB=csinC，

得sinA=asinBb=2·327=37，

因为sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB.

又因为a

因为sinA=37，所以cosA=467，

所以sinC=37·12+467·32=（46+1）143.

在△ABC中由正弦定理asinA=bsinB=csinC，

得c=bsinCsinB=7·（46+1）14332=46+1.

读者不难看出本例已知两边及其中一边对角，利用正弦定理程序的繁琐性、计算的复杂性不言而喻，下面请看利用余弦定理解决本例的过程：

在△ABC中，由余弦定理得

cosB=a2+c2-b22ac=22+c2-722×2×c=cos60°，即c2-2c-45=0，解得c=46+1（舍负），所以c=46+1.

本例利用余弦定理程序的简洁、计算的简单一目了然.本解法中对角B应用余弦定理，并将其整理为关于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0，由于该方程仅有一个正数解，故该三角形有且仅有一解.而下面笔者要举的两个例子一个是利用余弦定理时关于c的一元二次方程有两正根，三角形有两解；一个是利用余弦定理时关于c的一元二次方程有两个正根，但三角形却仅有一解.

例2 在△ABC中，已知a=8，b=7，B=60°，则c= .

本例如何利用正弦定理解决以及利用正弦定理解决的缺点不再赘述，下面利用余弦定理来解决问题：

在△ABC中，由余弦定理得

cosB=a2+c2-b22ac=82+c2-722×8×c=cos60°，

即c2-8c+15=0，解得c=3或c=5，

事实上，当c=3时，可以有a=8，b=7，B=60°；而c=5时同样可以有a=8，b=7，B=60°，故本题有两解.

本例中仅仅是将例1中边a的值做了改变，其最终结果导致我们在对角B应用余弦定理，并将其整理为关于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0时关于c的方程有两正数解，故该三角形有两解.再看下例：

例3 在△ABC中，已知，a=6，b=5，A=2B，则c的值是 .

本例可以先利用正弦定理结合A与B的关系求出cosB=35，然后求出sinB、sinA、cosA、sinC，最后再次利用正弦定理解决问题，下面请看求出cosB=35之后如何利用余弦定理解题的过程：

在△ABC中，由余弦定理得

cosB=a2+c2-b22ac=62+c2-522×6×c=35，

即5c2-36c+55=0，解得c=5或c=115，当c=5时，b=5，故c=b，又因为A=2B，所以2B+B+B=π，即B=π4，这与cosB=35矛盾，故c=5不合题意，舍去，

所以c=115.

由此例可知“已知a，b和角B，常常可对角B应用余弦定理，并将其整理为关于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解”，这样的观念是错误的.关于如何判断三角形解的个数的问题，《必修5》在第8页到第9页的“探究与发现”《解三角形的进一步讨论》中有详细说明，在此不再赘述.

本文例2和例3提醒我们：已知a，b和角B，常常可对角B应用余弦定理，并将其整理为关于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0，即使该方程有两个正根，三角形也不一定有两解，还应该结合条件，利用三角形内角和定理、大边对大角等进行检验，以防增根混入.

正弦定理、余弦定理都是揭示三角形边角之间数量关系的重要定理，要求能够运用正余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.学了正、余弦定理后，不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼，当三角形中已知两边和其中一边的对角时，可能出现一解、二解、无解等情况，虽然书上也有相应的方法，可是一些同学茫然依旧.

近日在网上拜读了不少关于如何判断三角形的解的个数的文章，不少文章都认为在△ABC中，已知a，b和角A，常常可对角A应用余弦定理，并将其整理为关于c的一元二次方程c2-2bccosA+b2-a2=0，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解.

本人最近正好遇到当三角形中已知两边和其中一边的对角求解第三边的问题，发现这类观念有不当之处.

请看下例：

例1 在△ABC中，a=2，b=7，B=60°，则c= .

已知两边及其中一边对角利用正弦定理求解，解法如下：

在△ABC中，由正弦定理asinA=bsinB=csinC，

得sinA=asinBb=2·327=37，

因为sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB.

又因为a

因为sinA=37，所以cosA=467，

所以sinC=37·12+467·32=（46+1）143.

在△ABC中由正弦定理asinA=bsinB=csinC，

得c=bsinCsinB=7·（46+1）14332=46+1.

读者不难看出本例已知两边及其中一边对角，利用正弦定理程序的繁琐性、计算的复杂性不言而喻，下面请看利用余弦定理解决本例的过程：

在△ABC中，由余弦定理得

cosB=a2+c2-b22ac=22+c2-722×2×c=cos60°，即c2-2c-45=0，解得c=46+1（舍负），所以c=46+1.

本例利用余弦定理程序的简洁、计算的简单一目了然.本解法中对角B应用余弦定理，并将其整理为关于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0，由于该方程仅有一个正数解，故该三角形有且仅有一解.而下面笔者要举的两个例子一个是利用余弦定理时关于c的一元二次方程有两正根，三角形有两解；一个是利用余弦定理时关于c的一元二次方程有两个正根，但三角形却仅有一解.

例2 在△ABC中，已知a=8，b=7，B=60°，则c= .

本例如何利用正弦定理解决以及利用正弦定理解决的缺点不再赘述，下面利用余弦定理来解决问题：

在△ABC中，由余弦定理得

cosB=a2+c2-b22ac=82+c2-722×8×c=cos60°，

即c2-8c+15=0，解得c=3或c=5，

事实上，当c=3时，可以有a=8，b=7，B=60°；而c=5时同样可以有a=8，b=7，B=60°，故本题有两解.

本例中仅仅是将例1中边a的值做了改变，其最终结果导致我们在对角B应用余弦定理，并将其整理为关于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0时关于c的方程有两正数解，故该三角形有两解.再看下例：

例3 在△ABC中，已知，a=6，b=5，A=2B，则c的值是 .

本例可以先利用正弦定理结合A与B的关系求出cosB=35，然后求出sinB、sinA、cosA、sinC，最后再次利用正弦定理解决问题，下面请看求出cosB=35之后如何利用余弦定理解题的过程：

在△ABC中，由余弦定理得

cosB=a2+c2-b22ac=62+c2-522×6×c=35，

即5c2-36c+55=0，解得c=5或c=115，当c=5时，b=5，故c=b，又因为A=2B，所以2B+B+B=π，即B=π4，这与cosB=35矛盾，故c=5不合题意，舍去，

所以c=115.

由此例可知“已知a，b和角B，常常可对角B应用余弦定理，并将其整理为关于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解”，这样的观念是错误的.关于如何判断三角形解的个数的问题，《必修5》在第8页到第9页的“探究与发现”《解三角形的进一步讨论》中有详细说明，在此不再赘述.

本文例2和例3提醒我们：已知a，b和角B，常常可对角B应用余弦定理，并将其整理为关于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0，即使该方程有两个正根，三角形也不一定有两解，还应该结合条件，利用三角形内角和定理、大边对大角等进行检验，以防增根混入.

正弦定理、余弦定理都是揭示三角形边角之间数量关系的重要定理，要求能够运用正余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.学了正、余弦定理后，不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼，当三角形中已知两边和其中一边的对角时，可能出现一解、二解、无解等情况，虽然书上也有相应的方法，可是一些同学茫然依旧.

近日在网上拜读了不少关于如何判断三角形的解的个数的文章，不少文章都认为在△ABC中，已知a，b和角A，常常可对角A应用余弦定理，并将其整理为关于c的一元二次方程c2-2bccosA+b2-a2=0，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解.

本人最近正好遇到当三角形中已知两边和其中一边的对角求解第三边的问题，发现这类观念有不当之处.

请看下例：

例1 在△ABC中，a=2，b=7，B=60°，则c= .

已知两边及其中一边对角利用正弦定理求解，解法如下：

在△ABC中，由正弦定理asinA=bsinB=csinC，

得sinA=asinBb=2·327=37，

因为sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB.

又因为a

因为sinA=37，所以cosA=467，

所以sinC=37·12+467·32=（46+1）143.

在△ABC中由正弦定理asinA=bsinB=csinC，

得c=bsinCsinB=7·（46+1）14332=46+1.

读者不难看出本例已知两边及其中一边对角，利用正弦定理程序的繁琐性、计算的复杂性不言而喻，下面请看利用余弦定理解决本例的过程：

在△ABC中，由余弦定理得

cosB=a2+c2-b22ac=22+c2-722×2×c=cos60°，即c2-2c-45=0，解得c=46+1（舍负），所以c=46+1.

本例利用余弦定理程序的简洁、计算的简单一目了然.本解法中对角B应用余弦定理，并将其整理为关于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0，由于该方程仅有一个正数解，故该三角形有且仅有一解.而下面笔者要举的两个例子一个是利用余弦定理时关于c的一元二次方程有两正根，三角形有两解；一个是利用余弦定理时关于c的一元二次方程有两个正根，但三角形却仅有一解.

例2 在△ABC中，已知a=8，b=7，B=60°，则c= .

本例如何利用正弦定理解决以及利用正弦定理解决的缺点不再赘述，下面利用余弦定理来解决问题：

在△ABC中，由余弦定理得

cosB=a2+c2-b22ac=82+c2-722×8×c=cos60°，

即c2-8c+15=0，解得c=3或c=5，

事实上，当c=3时，可以有a=8，b=7，B=60°；而c=5时同样可以有a=8，b=7，B=60°，故本题有两解.

本例中仅仅是将例1中边a的值做了改变，其最终结果导致我们在对角B应用余弦定理，并将其整理为关于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0时关于c的方程有两正数解，故该三角形有两解.再看下例：

例3 在△ABC中，已知，a=6，b=5，A=2B，则c的值是 .

本例可以先利用正弦定理结合A与B的关系求出cosB=35，然后求出sinB、sinA、cosA、sinC，最后再次利用正弦定理解决问题，下面请看求出cosB=35之后如何利用余弦定理解题的过程：

在△ABC中，由余弦定理得

cosB=a2+c2-b22ac=62+c2-522×6×c=35，

即5c2-36c+55=0，解得c=5或c=115，当c=5时，b=5，故c=b，又因为A=2B，所以2B+B+B=π，即B=π4，这与cosB=35矛盾，故c=5不合题意，舍去，

所以c=115.

由此例可知“已知a，b和角B，常常可对角B应用余弦定理，并将其整理为关于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解”，这样的观念是错误的.关于如何判断三角形解的个数的问题，《必修5》在第8页到第9页的“探究与发现”《解三角形的进一步讨论》中有详细说明，在此不再赘述.

本文例2和例3提醒我们：已知a，b和角B，常常可对角B应用余弦定理，并将其整理为关于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0，即使该方程有两个正根，三角形也不一定有两解，还应该结合条件，利用三角形内角和定理、大边对大角等进行检验，以防增根混入.